精算师考试计算能力提升训练（含答案）

精算师考试计算能力提升训练（含答案）1.某笔本金按年复利5%计息，第3年末的终值与按年单利5.25%计息的同期终值相等。2.生命表中x岁的生存人数l_x等于x+1岁生存人数l_{x+1}与x岁年度死亡人数d_x之和。3.非寿险业务的单位风险纯保费等于该类业务总期望损失除以风险单位总数。4.对于等额期末付永续年金，利率上升1个百分点时，年金现值的下降幅度与原利率水平呈负相关关系。5.采用未来法计提传统寿险保单的净责任准备金时，准备金金额等于未来给付现值减去未来应交均衡净保费的现值。6.若单次损失服从参数为μ=10、σ=2的对数正态分布，则单次损失的数学期望为10。7.某溢额再保险合同约定自留额为100万元，分保比例为80%，则原保险人对保额200万元的保单承担的最高赔付责任为40万元。8.采用修正均衡净保费法计提寿险责任准备金时，首年净保费低于均衡净保费，后续年度净保费高于均衡净保费。9.已知市场3年期即期利率为4%，2年期即期利率为3.5%，则第3年的一年期远期利率为4.5%。10.聚合风险模型中，若索赔次数服从泊松分布，则总损失的方差等于索赔次数期望与单次索赔额方差的乘积。1.某人每年年初存入银行1万元，存款年利率为4%，按年复利计息，第5年末可取出的本利和为（）万元。A.5.2465B.5.4163C.5.6330D.5.89832.已知x岁的人一年生存率p_x=0.98，x+1岁的人一年生存率p_{x+1}=0.97，定价利率i=2%，则x岁的人投保2年期定期寿险、保额10万元的趸交净保费为（）元。A.4682B.4789C.4902D.50213.某财产险公司承保同类型机动车10000辆，已知单辆车年期望损失为1200元，费用附加为纯保费的25%，利润附加为总保费的5%，则单辆车的年交总保费为（）元。A.1500B.1579C.1642D.17224.某寿险保单采用未来法计提净责任准备金，已知第t年末未来给付现值为24万元，未来剩余应交均衡净保费的现值为9万元，则第t年末的净责任准备金为（）万元。A.12B.15C.18D.215.已知市场1年期即期利率为3%，2年期即期利率为4%，3年期即期利率为4.5%，则第2年到第3年的一年期远期利率为（）。A.4.5%B.5.2%C.5.5%D.6.0%6.某溢额再保险合同约定自留额为50万元，分保限额为10线，现有保额为300万元的保单，发生保险责任范围内的赔款180万元，则原保险人需要承担的赔款金额为（）万元。A.30B.40C.50D.607.某年金产品为10年期期初付年金，每年给付金额为2万元，定价利率为3%，则该年金的趸交净保费为（）万元。A.17.06B.17.57C.18.10D.18.648.某非寿险保单的损失服从均值为2000元的指数分布，保单约定绝对免赔额为500元，赔付比例为80%，则单位保单的期望赔付金额为（）元。A.623B.756C.928D.12469.某养老金计划采用确定给付模式，员工退休后每年年末领取3万元，领取期限为20年，若折现率为4%，则员工退休时点的养老金负债现值为（）万元。A.38.72B.40.77C.42.56D.44.3110.已知某风险的索赔次数服从参数为λ=5的泊松分布，单次索赔额服从均值为1000元、标准差为200元的正态分布，则总损失的标准差为（）元。A.2089B.2280C.2450D.26101.下列关于利息计算的说法，正确的有（）。A.相同名义利率下，计息频率越高，实际利率越高B.期末付年金现值等于同期期初付年金现值乘以(1+i)C.等额永续年金的现值随利率上升而下降D.远期利率一定高于同期即期利率E.相同本金和利率下，t>1时按单利计算的终值低于复利终值2.下列因素中，会直接影响传统寿险均衡净保费计算结果的有（）。A.定价利率B.预定死亡率C.预定费用率D.保单保额E.预定退保率3.非寿险费率厘定过程中，属于纯保费计算方法的有（）。A.损失率法B.纯保费法C.判定法D.分类费率法E.经验费率法4.下列关于寿险责任准备金计提的说法，正确的有（）。A.其他条件相同的情况下，定价利率越高，计提的准备金越低B.采用过去法和未来法计提的净准备金结果始终相等C.修正准备金法下首年计提的准备金低于均衡净保费法下的准备金D.毛保费准备金等于净准备金加上费用准备金E.准备金计提金额与剩余保险期限无关5.下列关于再保险赔款分摊的计算逻辑，正确的有（）。A.成数再保险下，原保险人和再保险人按约定比例分摊所有赔款B.溢额再保险下，分保比例随保单保额的变化而变化C.事故超赔再保险下，原保险人承担的赔款不超过每次事故的自留额D.险位超赔再保险下，再保险人对每次事故的所有保单赔款承担全部责任E.成数溢额混合再保险下，成数部分的分保比例固定，溢额部分的分保比例随保额变化6.聚合风险模型的计算假设中，属于基础假设的有（）。A.单次索赔额相互独立B.索赔次数与单次索赔额相互独立C.单次索赔额服从相同分布D.索赔次数服从泊松分布E.总损失服从正态分布7.下列关于损失分布拟合的说法，正确的有（）。A.参数法需要预先假设分布类型，拟合效率更高B.非参数法不需要假设分布类型，更适用于数据量充足的场景C.厚尾损失分布更适合用指数分布拟合D.对数正态分布适合拟合右偏的损失数据E.卡方检验是验证分布拟合优度的常用方法8.利率变动对下列精算计算结果的影响方向，表述正确的有（）。A.利率上升，寿险趸交净保费下降B.利率上升，非寿险未到期责任准备金上升C.利率上升，年金产品的定价上升D.利率上升，养老金计划的负债现值下降E.利率下降，寿险保单的退保率通常上升9.健康险精算计算中，需要考虑的核心风险因素包括（）。A.发病率B.疾病持续时间C.医疗费用通胀率D.退保率E.管理费用率10.保险公司偿付能力计算中，属于核心负债计算项目的有（）。A.寿险责任准备金B.非寿险未决赔款准备金C.预定收益型保单的保证给付部分D.实收资本E.未分配利润1.某30岁男性投保20年期定期寿险，保额50万元，保费按年均衡交纳，交费期为20年。已知30岁的年生存率p_30=0.998，各年龄年度死亡率逐年递增0.0001，定价利率为3%，费用附加为均衡净保费的30%，利润附加为毛保费的4%。要求：（1）计算该保单的年交均衡净保费（简化计算时，可假设20年的连续年金现值系数为14.88，20年期定期寿险趸交保费系数为0.0182）；（2）计算该保单的年交毛保费。2.某财产险公司2021-2023年家财险业务经营数据如下：2021年承保保单12000张，总赔款支出720万元；2022年承保保单15000张，总赔款支出1080万元；2023年承保保单18000张，总赔款支出1260万元。已知历史赔款的趋势因子为每年递增5%，费用附加为纯保费的28%，利润附加为总保费的3%，2024年预计承保20000张保单。要求：（1）计算2024年家财险的单位保单纯保费；（2）计算2024年家财险的单位保单毛保费。3.某财险公司与再保险公司签订成数溢额混合再保险合同，合同约定：成数分保部分的保额上限为100万元，原保险人自留比例为60%，分出比例为40%；超过100万元的部分采用溢额分保，原保险人自留额为100万元，分保限额为8线。现有保额为700万元的保单，发生保险责任范围内的损失350万元。要求：（1）计算原保险人需要承担的赔款金额；（2）计算再保险公司需要承担的总赔款金额。1.精算计算中，定价假设（包括利率、死亡率、费用率、退保率）的变动会对寿险产品的定价结果和准备金计提结果产生显著影响。请结合计算逻辑，分别说明上述四项假设悲观变动（即对保险公司不利的变动）时，对产品定价和责任准备金的影响方向，并说明背后的计算原理。2.非寿险精算中，常用的损失分布拟合方法包括参数法和非参数法，在极端风险场景（如巨灾风险）下，两类方法的计算结果往往存在较大差异。请结合计算原理，说明两类方法的核心差异，以及在巨灾风险计量中如何选择适用的计算方法并验证结果合理性。标准答案及解析一、判断题1.参考答案：√。解析：复利终值=（1+5%）^3=1.157625，单利终值=1+35.25%=1.1575，二者近似相等，表述正确。2.参考答案：√。解析：生命表的基本关系为l_x-l_{x+1}=d_x，即l_x=l_{x+1}+d_x，表述正确。3.参考答案：×。解析：单位风险纯保费就是单位风险的期望损失，总期望损失等于单位纯保费乘以风险单位总数，无需额外除法，表述错误。4.参考答案：√。解析：期末付永续年金现值为1/i，利率上升Δi后的现值变动比例为Δi/(i(i+Δi))，原利率i越高，变动比例越小，二者呈负相关，表述正确。5.参考答案：√。解析：未来法计提净责任准备金的核心公式为：tV=未来给付现值-未来净保费现值，表述正确。6.参考答案：×。解析：对数正态分布的期望为exp(μ+σ²/2)，代入参数得exp(10+2)=exp(12)≈162754，远大于10，表述错误。7.参考答案：×。解析：溢额再保险的分保比例为溢额占总保额的比例，保额200万元时，自留100万元，分保100万元，分保比例为50%，原保险人最高赔付责任为100万元，表述错误。8.参考答案：√。解析：修正均衡净保费法的核心是降低首年净保费，将首年费用缺口分摊到后续交费年度，因此后续年度净保费高于均衡净保费，表述正确。9.参考答案：×。解析：远期利率f_2,3=(1+4%)^3/(1+3.5%)^2-1≈5.01%，不等于4.5%，表述错误。10.参考答案：×。解析：泊松分布下总损失方差为λE(X²)=λ(Var(X)+(E(X))²)，不等于λVar(X)，表述错误。二、单选题1.参考答案：C。解析：期初付年金终值=1((1.04^5-1)/0.04)(1.04)≈5.6330万元，A为普通年金现值，B为普通年金终值，D为错误计算结果。2.参考答案：B。解析：趸交净保费=100000(vq_x+v²p_xq_{x+1})，v=1/1.02≈0.9804，q_x=0.02，q_{x+1}=0.03，代入计算得≈4789元，A为单利计算结果，C为未乘生存概率的结果，D为错误计算结果。3.参考答案：B。解析：设总保费为P，P=1200(1+25%)+5%P，解得P=1500/0.95≈1579元，A为未计算利润附加的结果，C为利润附加按纯保费计提的结果，D为费用附加按总保费计提的结果。4.参考答案：B。解析：净责任准备金=未来给付现值-未来净保费现值=24-9=15万元，A为额外扣除费用的结果，C为额外增加费用的结果，D为未扣除保费的结果。5.参考答案：C。解析：远期利率f_2,3=(1+4.5%)^3/(1+4%)^2-1≈5.5%，A为3年期即期利率，B为1-2年远期利率，D为错误计算结果。6.参考答案：A。解析：原保险人自留比例=50/300=1/6，承担赔款=1801/6=30万元，B为错误比例计算结果，C为按自留额全额赔付的结果，D为错误计算结果。7.参考答案：B。解析：期初付10年期年金现值系数=((1-1.03^-10)/0.03)1.03≈8.7861，趸交保费=28.7861≈17.57万元，A为普通年金现值结果，C、D为错误计算结果。8.参考答案：D。解析：指数分布下E[(X-d)+]=θe^{-d/θ}=2000e^{-500/2000}≈1557.6元，乘以赔付比例80%得≈1246元，A、B、C为错误计算结果。9.参考答案：B。解析：期末付20年期年金现值系数=(1-1.04^-20)/0.04≈13.5903，负债现值=313.5903≈40.77万元，A为期初付年金结果，C、D为错误计算结果。10.参考答案：B。解析：总损失方差=λ(Var(X)+(E(X))²)=5(200²+1000²)=51040000=5200000，标准差=√5200000≈2280元，A、C、D为错误计算结果。三、多选题1.参考答案：ACE。解析：B选项错误，期初付年金现值等于期末付乘以(1+i)；D选项错误，收益率曲线倒挂时远期利率低于即期利率；其余选项表述正确。2.参考答案：ABDE。解析：C选项预定费用率影响毛保费，不影响净保费计算；其余选项均直接影响净保费结果。3.参考答案：ABDE。解析：C选项判定法属于非数量化的定价方法，不属于纯保费计算方法；其余选项均为纯保费计算方法。4.参考答案：ABCD。解析：E选项错误，准备金计提金额与剩余保险期限直接相关，剩余期限越长，未来收支现值变动越大；其余选项表述正确。5.参考答案：ABCE。解析：D选项错误，险位超赔再保险下，再保险人仅承担超过自留额的部分赔款，而非全部责任；其余选项表述正确。6.参考答案：ABC。解析：D选项泊松分布是索赔次数的常用假设而非基础假设，E选项总损失正态分布是近似假设而非基础假设；其余选项为聚合风险模型的基础假设。7.参考答案：ABDE。解析：C选项错误，指数分布属于薄尾分布，不适合拟合厚尾损失；其余选项表述正确。8.参考答案：ADE。解析：B选项错误，利率上升，未到期责任准备金现值下降；C选项错误，利率上升，年金现值下降，定价下降；其余选项表述正确。9.参考答案：ABCDE。解析：所有选项均为健康险精算需要考虑的核心风险因素，直接影响赔付和成本计算。10.参考答案：ABC。解析：D选项实收资本和E选项未分配利润属于所有者权益项目，不属于负债；其余选项为核心负债计算项目。四、案例分析题1.答题要点及评分标准：（1）年交均衡净保费计算：趸交净保费=5000000.0182=9100元，年交净保费=9100/14.88≈611.56元（3分，计算逻辑正确2分，结果正确1分）（2）年交毛保费计算：设毛保费为P，P=611.56(1+30%)+4%P，解得0.96P=795.03，P≈828.16元（3分，计算逻辑正确2分，结果正确1分）解析：均衡净保费为趸交净保费除以交费期年金现值系数，毛保费需要覆盖净保费、费用附加和利润附加，利润附加按总保费计提时需要通过方程求解。2.答题要点及评分标准：（1）单位纯保费计算：2021年单位损失=720/12000=600元，调整到2024年=600(1+5%)^3≈694.58元；2022年单位损失=1080/15000=720元，调整到2024年=720(1+5%)^2≈793.8元；2023年单位损失=1260/18000=700元，调整到2024年=700(1+5%)=735元；平均纯保费=(694.58+793.8+735)/3≈741.13元（3分，趋势调整正确2分，平均结果正确1分）（2）单位毛保费计算：设毛保费为P，P=741.13(1+28%)+3%P，解得0.97P=948.65，P≈977.99元≈978元（3分，计算逻辑正确2分，结果正确1分）解析：历史损失需要按趋势因子调整到保单生效年度，消除通胀等因素的影响，再计算平均纯保费，毛保费计算逻辑同寿险。3.答题要点及评分标准：（1）原保险人赔款计算：成数部分保额100万元，对应赔款=350(100/700)=50万元，原保险人承担5060%=30万元；溢额部分保额600万元，对应赔款=350-50=300万元，溢额部分自留比例=100/600=1/6，原保险人承担3001/6=50万元；总承担赔款=30+50=80万元（3分，分部分计算正确2分，结果正确1分）（2）再保险人总赔款=350-80=270万元（3分，计算逻辑正确2分，结果正确1分）解析：成数部分按固定比例分摊，溢额部分按自留额占溢额总保额的比例分摊，二者相加为原保险人总承担赔款，剩余部分由再保险人承担。五、论述题1.答题要点及评分标准（共11分）：（1）利率悲观变动（利率下降）：定价时利率下降导致未来给付现值上升，保费定价上升；准备金计提时利率下降导致未来给付现值上升，准备金计提金额上升。原理：精算现值与利率呈反向变动关系（2分）（2）死亡率悲观变动（死亡率上升，针对寿险保障型产品）：定价时死亡率上升导致给付现值上升，保费定价上升；准备金计提时死亡率上升导致未来给付现值上升，准备金计提金额上升。原理：死亡率是给付事件发生的概率，概率上升则期望给付现值上升（2分）（3）费用率悲观变动（费用率上升）：定价时