第二十五章 一元二次方程 章末复习 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章一元二次方程2026人教版·九年级上册章末复习知识结构设未知数，列方程实际问题实际问题的答案一元二次方程ax2+bx+c=0一元二次方程ax2+bx+c=0的根配方法公式法因式分解法降次题型突破题型1

二次根式、最简二次根式、同类二次根式例1．下列各式中是二次根式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可．题型突破题型1

二次根式、最简二次根式、同类二次根式例2．下列根式中，与是同类二次根式的是（）A.B.C.D.D【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答．【技巧总结】1.化简：根号内不含开得尽方因子、不含分母，分母无根号。2.判同类：先化最简，再看被开方数是否相同。3.运算：合并同类二次根式，乘法用，除法有理化分母。题型突破题型1

二次根式、最简二次根式、同类二次根式题型突破题型2根据二次根式有意义条件求范围例3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥-3 B．x≥3 C．x≠-3 D．x≠3

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条件作答即可．B题型突破题型2根据二次根式有意义条件求范围例4．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x>-3 B．x=-3 C．x≠-3D．x≥-3A【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数不能为负数．根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可．题型突破题型2根据二次根式有意义条件求范围【技巧总结】1.偶次根式：被开方数需≥0，分母含根式时不能为0。2.奇次根式：被开方数为全体实数。3.分式组合：同时满足分母不为0和根式有意义，取交集。4.隐含条件：化简前先依原式列不等式，避免漏解。题型突破题型3根据二次根式有意义求值与化简例5.若，则x-y的值为

．【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零．-1题型突破题型3根据二次根式有意义求值与化简例6．若，则x2025+2025y

．2【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得x-1≥0且1-x≥0，解得x=1，再代入求出y的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键．题型突破题型3根据二次根式有意义求值与化简【技巧总结】1.由意义列式：偶次根式被开方数≥0，结合分母≠0，求出字母范围。2.化简代入：范围常隐含非负性（如a-2≥0,2-a≥0得a=2），直接化简原式求值。3.注意零与正负：避免平方开方时丢符号。题型突破题型4

含隐含条件的参数范围化简二次根式例7．化简：=

．【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根式的基本性质进行化简．题型突破例8．化简二次根式=

．【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．题型4

含隐含条件的参数范围化简二次根式【技巧总结】1.抓隐含条件：由被开方数非负、分母非零及等式约束（如a-3与3-a同时有意义）推出参数具体值或范围。2.判断符号：利用范围确定根号内字母的正负，去根号时加绝对值。3.化简合并：根据符号去掉绝对值，再合并同类项。题型突破题型4

含隐含条件的参数范围化简二次根式题型突破题型5复杂的复合二次根式化简题型突破题型5复杂的复合二次根式化简题型突破题型5复杂的复合二次根式化简【技巧总结】1.配方法：将根号内化为，关键找两数积为根号下整数部分，和为有理数。2.设元法：整体平方或设解方程。3.消去法：利用平方差公式或共轭有理化，将嵌套逐层拆解。题型突破题型6二次根式的混合运算例10．计算：题型突破题型6二次根式的混合运算例10．计算：题型突破题型6二次根式的混合运算【技巧总结】1.先化简：各根式化为最简，合并同类二次根式。2.巧用公式：乘法分配律、平方差、完全平方公式简化计算。3.分母有理化：遇分式乘共轭因式化去分母根号。4.整体代换：复杂式子先变形再代入，避免繁琐计算。题型突破题型7二次根式中的分母有理化题型突破题型7二次根式中的分母有理化题型突破题型7二次根式中的分母有理化题型突破题型7二次根式中的分母有理化【技巧总结】1.单一项：分子分母同乘根号本身，如。2.两项和差：乘共轭因式（互为共轭），用平方差消根号。3.复杂分母：先分解部分分式或提取公因式，再有理化。题型突破题型8二次根式运算中的新定义型问题例12．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n=（1）计算48※75的结果；（2）计算(3※2)×(8※12)的结果.【技巧总结】1.读定义：明确新运算规则（如a⊕b=）。2.代公式：按规则代入数字或式子，保留括号。3.化简计算：严格进行二次根式化简、分母有理化等常规步骤。4.验结果：检查是否符合定义域及最简形式。题型突破题型8二次根式运算中的新定义型问题题型突破题型9二次根式运算中的规律探究问题例13．观察下列各式及其验证过程：(1)按照上述规律，直接写出的结果是_________；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．(1)按照上述规律，直接写出的结果是_________；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．题型突破题型9二次根式运算中的规律探究问题题型突破题型9二次根式运算中的规律探究问题【技巧总结】1.观察特例：计算前几项结果，化为最简二次根式。2.找变与不变：注意根号内整数、系数的变化模式，区分循环或递推规律。3.猜想通项：用n表示规律，验证首项。4.合并化简：运用平方差、分母有理化简化通项表达式。1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（B

）A.x2＋2y－1＝0B.x2－1＝0C.D.x＋3＝0B课堂练习2.

关于x的方程5x2－mx－1＝0的一根为1，则m的值为（B）A.6B.4C.

－4D.－6B3.

已知关于x的一元二次方程（k＋4）x2＋3x＋k2＋3k－4＝0的一个根为0，则k的值为

⁠.1课堂练习4.

小红、小星在解方程2（x－3）＝（x－3）2时，解答过程如下：小红的解法解：第一步：两边同除以x－3，得：2＝x－3.第二步：x＝5.小星的解法解：第一步：2（x－3）－（x－3）2＝0.第二步：（x－3）（2－x－3）＝0.第三步：x－3＝0或2－x－3＝0.第四步：x1＝3，x2＝－1.课堂练习4.

小红、小星在解方程2（x－3）＝（x－3）2时，解答过程如下：（1）上述小红、小星的解法是否正确？若不正确，判断从第几步开始出现错误；解：（1）小红、小星的解法都是错误的.判断如下：小红的解法第一步开始出现错误，小星的解法第二步开始出现错误；（2）请用一种合适的方法解此方程.解：（2）∵2（x－3）＝（x－3）2，∴2（x－3）－（x－3）2＝0，∴（x－3）（2－x＋3）＝0，∴x1＝3，x2＝5.课堂练习5.

解下列一元二次方程：课堂练习（2）(x–3)2=6–2x.解：方程变形，得(x–3)2+2(x–3)=0.左边分解因式，得(x–3)(x–3+2)=0，即(x–3)(x–1)=0.于是

x–3=0，或

x–1=0，即

x1=3，x2=1.（1）(x–3)2–49=0；解：移项，得(x–3)2=49，由此可得x–3=±7，即

x1=10，

x2=–4.课堂练习6.

若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

D

）A.

k≥4B.k＞4C.

k≤4D.k＜4D7.关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是（

C

）A.2 B.3 C.4 D.5C8.

已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m－2＝0.（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（1）证明：依题意可得：Δ＝（2m＋1）2－4（m－2）＝4m2＋9＞0，故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；课堂练习课堂练习（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值.（2）解：由根与系数的关系可得：x1＋x2＝－（2m＋1），x1x2＝m－2，由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－（2m＋1）＋3（m－2）＝1，解得m＝8.9.

手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”.如图所示（单位：cm）的手卷长1000cm，宽40cm，“引首”和“拖尾”完全相同，其宽度都为100cm.若“隔水”的宽度为xcm，“画心”的面积为15200cm2，则x＝