随机变量及其分布【12大重点题型】（期中专项训练）原卷版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

随机变量及其分布【12大重点题型】

条件概率的计算

1.(24-25高二下•重庆南岸•期中)从编号1〜1()的1()张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件从“第一

次抽到数字为5的倍数”，事件8：“第二次抽到的数字小于第一次“，则P(B|/1)=()

A-D,算

A，5c葛

2.(24-25高二下•湖南长沙•期中)已知「(力)=*,P(B)=|,户Q4U8)=也则夕(川后)二()

A-\B-\C.：O.\

3.(24-25高二下•北京顺义・期中)学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选

中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为()

A.白B.：C.《D.\

4.(24-25高二下•河南•期中)某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制.甲、乙两同学进行淘汰赛，假设

每局比赛中甲获胜的概率均为|,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率

是.

5.(24-25高二下•湖北宜昌•期中)某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂生产

的气球合格率为90%,乙厂生产的气球合格率为80%.

(I)从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率；

(2)如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率.

1/15

题型2条件概率与其他知识综合

（高二下•北京•期中）设力，是一个随机试验中的两个事件，若尸⑷（）（）

6.24-2584PF=JPAB=

"，则下列错误的是（）

A.P（fi）=1B.=1

•5N

C.P（AB）=D.PQ4+B）=£

7.（24-25高二下•江苏盐城•期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整

除的条件下，它能被3整除的概率为（）

A♦aB.SC.|D.1

8.（24-25高二下•广东惠州•期中）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经£桥、尸桥、G桥、H

桥及/桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点.现有5名志愿者参加其中二座桥一G桥、〃桥及“桥

的服务，要求这三个服务点都有人参加，设事件力为“甲在G桥服务点”，事件B为“乙和丙分到一起“，则下列

结论中错误的是（）

A.事件A与事件8相互独立B.P（A）=1

96

c.P（B）=-D.P（B|4）二元

9.（24-25高二下•河北•期中）春节期间小明一行6人去哈尔滨旅游，根据旅游攻略发现有R、C三个美

食打卡点，己知在三个美食打卡点均有人前往的条件下，4打卡点恰好有2人打卡的概率为.

10.（24-25高二下•重庆•期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛.该比赛共分两轮，第一轮

回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”.根据

平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：

甲乙丙

211

第一轮回答正确的概率

322

111

第二轮回答正确的概率

223

若三人各自比赛时互不影响.

（1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；

（2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率.

2/15

题型3随机变量的分布列问题

11.（24-25高二下•江苏南京•期中）若随机变量《的分布如下表:

-2-1123

P0.20.12m0.25m

则P（|f|<2）的值为（）

A.0.3B.0.4C.0.55D.0.85

12.（24-25高二下•北京平谷•期中）随机变量X的分布列如下表所示：

X1234

p0.3m0.12m

则P(X<2)=()

A.0.5B.0.2C.0.3D.0.4

13.（24-25高二下•广东深圳•期中）设随机变量X的分布列为

X1234

P4k0.63kk

则P(|X—2|<1)=()

A.0.95B,0.85C.0.75D.0.65

14.（24-25高二下•辽宁沈阳•期中）己知随机变量X的分布列如下表所示，其中。是常数，贝

）=.

X123・・・50

aaaa

P・・・

26122550

15.（24-25高二下•广东佛山•期中）甲、乙两个不透明的箱子口各装有9个大小和质地完全相同的球.其

中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球.

3/15

（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从甲箱中任取2个

球.设取出的2个球的得分的和为X.求随机变易X的分布列：

（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概

率.

题型4\求离散型随机变量的均值

16.（24-25高二下•天津滨海新区•期中）已知随机变量X的分布列:

）

B.--C.—g+机D.—m

17.（24-25高二下•江苏无锡•期中）已知f的分布列如下表所示，设q=2f-2,则仅外=（）

18.（24-25高二下•河南•期中）在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5,0.6,0.4,

且这三人是否能按时正确解答该题相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X,则E（X）

=()

A.1.8B.1.7C.1.6D.1.5

19.（24-25高二下•湖南常德•期中）一个不透明的袋子中装有3个黑球，几个白球（n£N*）,这些球除颜

色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为义，设X为取出白

球的个数，则E（X）=.

20.（24-25高二下•天津东丽•期中）甲、乙两同学进行一-场羽毛球比赛，采用五局三胜制，即若一•人先胜三

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局，则该人获胜比赛结束.假设在每局比赛中，甲获胜的概率为|,乙获胜的概率为看各局比赛结果相互独

立.

(1)求甲以3:1的局分获胜的概率；

(2)设X表示比赛结束时进行的局数，求X的分布列及数学期望E(X).

题型5z求离散型随机变量的方差、标准差

21.(24-25高二下•山东临沂•期中)随机变量X的可能取值为0、1、2,若P(X=0)=",F(X)=1,则。(X)

工23

A.3C.2D.4

22.(24-25高二下•江苏盐城•期中)已知随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=",E(X)=1,则标

准差为()

A.1B.|C.手D.萼

S355

23.(24-25高二下•重庆・期中)设OvaV2,随机变量X的分布列为

当随机变量X的方差D(X)取得最小值时，Q=()

A，32C，3D，4

24.(24-25高二下•江苏徐州•期中)盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放

回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为X,则D(X)=.

25.(24-25高二下•北京•期中)某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青

少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下(单位：人)：

青少年组中年组老年组

5/15

愿意不愿意愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303()60403010

第三款501()80201030

假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率

(1)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记X为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求X的分布列

和数学期望E(X)；

⑵用加=l(i=1,2,3)”表示顾客愿意购买第i款新品，=0(i=1,2,3)”表示顾客不愿意购买第i款新品.直

接写出方差。(打),0(G)的大小关系.

题型6均值、方差的性质

26.(24-25高二下•云南昭通・期中)已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X+2)=9,则。(2X+3)=

()

X-10a2

111

Pb

644

A•言B.mC.若D.崇

27.(24-25高二下•天津•期中)设随机变量X的分布列如下表格，旦随机变量X的数学期望E(X)=S则E

JL4

(bX+a)=()

X012

bb

Pa

23

2A11D至

A.5B12JC1224

28.(24-25高二下•辽宁抚顺・期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则()

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A.F(3X-2)=10,D(3-2X)=20B.F(3X-2)=10,0(3-2X)=-20

C.E(3X-2)=14,D(3-2X)=20D.E(3X—2)=14,。(3—2X)=-20

29.(24-25高二下•安徽合肥・期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表：

X0125

Pa2a+0.2a+0.22a

则。(2X+6)=.

30.(24-25高二下•广东清远•期中)在科研经费不断投入和科技人员的努力下，近年来我国在智能手机的

设计、生产、销售等方面取得了迅猛的发展.2021年国家统计局数据显示国内智能手机的产量为12.72亿部,

产量占全球出货量的90%以上.某商店计划开展某品牌高端智能手机的销售，将采用正常销售，打折销售，

清仓销售三种方式共售卖1000台手机.预计每台手机的利润X分别为：正常销售600元，打折销售300元,

清仓销售20元，且随机变量X的分布列为

Xa30020

P0.8b0.05

(1)求本次销售的总利润的期望值;

(2)求。(X+100).

题型74随机变量的均值与方差的综合应用

31.(24-25高二下•福建•期中)已知随机变量已满足P(6=1)=P"P(S=0)=l-pi，i=<

P2<1，则()

A-E&)VE(&),D(fO<D(f2)B.E(—)VE(%),吸)>吸)

C.E(G)>E(a)，D(f】)vD(&)D.£(&)>£(a)，2)

32.(24-25高二下•山东青岛•期中)投资44两种股票，每股收益的分布列如下表：

7/15

股票力收益分布列

收益*-202

概率0.10.30.6

股票B收益分布列

收益Y012

概率0.30.40.3

下列说法正确的是（）

A.投资股票力的期望收益较小

B.投资股票8的期望收益较小

C.投资股票A的风险比投资股票B的风险小

D.投资股票H的风险比投资股票A的风险小

33.（24-25高二下•浙江宁波•期中）互不相等的正实数孙不，％3，无4W{2,4,5,9},飞,芍2，々3因4是孙工2，%3，%4的任

意顺序排列，设随机变昂XV满足：[厂m,{mi乎飞,min*，如&则（）

[V=min（max{xZpXi2},max{A-i3,x/4}J

A.F（X）<F（r）,D（X）>D（nB.E（X）VE（y）,D（X）=Z）（y）

C.E（X）>E（y）,D（X）>D（y）D.E（X）>E（y）,D（X）=D（y）

34.（24-25高二下•湖南•期中）人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到

其他行业.某公司推出的A【软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”为了解某地

区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了100名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能

（每人只能选一项），统计结果如下:

软件功能视频创作图像修复语言翻译智绘设计

大学生人数30203020

假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响.

（1）从该地区的大学生中随机抽取I人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；

（2）采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人,再从这5

人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X,求X的分布列，数学期望以及方差.

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35.（24-25高二下•福建莆田•期中）我市拟建立一个博物馆，果取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建

筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,

已知这6个招标问题中，甲公司能正确问答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为右甲、

乙两家公司对母题的回答都是相互独立，互不影响的.

（1）求甲公司答对题数的分布列；

（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

二项分布的概率最大问题

36.（24-25高二上•江苏常州•期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错

开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程

中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为g,向右下落的概率为|,最后落入底部的格子中.格子从

左到右分别编号为0,1,2，…,10,则小球落入（）号格子的概率最大.

012345678910

A.5B.6C.7D.8

37.（24-25高二下•安徽阜阳•期中）重阳节,农历九月初九,二九相重,称为“重九”，又称“登高节”，由

于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动.某社区在重阳节开展敬老活动,

已知当天参加活动的老人中女性占比为今现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k

名女性的可能性最大，贝义的值为（）

9/15

A.8B.7或8C.9D.8或9

38.(24-25高二下•湖南•期中)为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次

抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件4=，了解deepseek”，8="学生为女生”，据统

计P(4|8)=5P(8L4)=a将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解

dccpscck的学生的人数为X,则当P(X=k)取得最大值时的k(k€N")值为()

A.16B.17C.18D.19

39.(24-25高二下・江苏南京•期中)某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏

州、成都、重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个(不要求每个城市必

须要有学生选择).若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有个学生选择前往

北京或上海研学的概率最大.

40.(24-25高二下•山东烟台•期申)分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点

上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行.某公司使用分布式计算系统

处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响.

(I)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5,求恰好有2个节点处理该

任务成功的概率；

(2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6,若处理该任务成功的

节点数为k(kEN)的概率最大，求A的值；

(3)若公司现有〃个任务，为提高效益，考虑两种优化方案：

方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6,每个节点处理各个

任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元：

方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7,每个节点处理各个

任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元

根据这两个方案利润S的期望值判断哪个方案更优？(利润=收益一成本)

题型9二项分布的均值与方差

10/15

41.(24・25高二下•河北承德•期中)若随机变量X~B(10,0.4),则E[2X+0(-X)]=()

A.4.4B.5.6C.8D.10.4

42.(24-25高二下•山西•期中)小明射击三次，每次射中的概率均为今且每次射击互不影响，射中一次得

5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为X,则D(X)=()

A.YB.12C.15D.18

43.(24-25高二下•山东泰安期中)已知随机变量X〜B(弭p),若E(X)=4,丫=2X+3,D(F)=3.2,则下列

结论正确的是()

32

A.n=4B.P(X=2)=

C.p=0.6D.n=6

44.(24・25高二下•安徽蚌埠・期中)设随机变量X〜其中nN4且n£N+，p€(0,1),若

E(3X)=E(12—X),D(X)=|,则。(pX+n)=.

45.(24-25高二下•上海宝山•期中)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调

研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工厂试生产的另一批零

件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，证明：3m=n；

(2)用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的分布列、数学期望和方差.

题型10超几何分布的均值与方差

46.(24-25高一下•天津河东•期中)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来

自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到.用%表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是

()

A.随机变量X的所有取值为0,1,2,3,4

B.甲班恰有2名同学被选到的概率为P(X=2)=瑞

C.随机变量X〜8(4,9

11/15

D.随机变量X的期望为g

•5

47.(24-25高二下・江苏泰州•期末)已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙

有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取•条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为fl，。，

心/2的期望分别为伙八)/(&)，方差分别为。(G),D(&)，则()

A.E(fi)=E&M&)<。&)B.E(G)=E&M&)>

C.E(fi)V£(&)，〃(&)V〃(&)D.>〃(七)

48.(24-25高二下•吉林•期中)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球：进行

如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为Xi，期望方差分别为E(X0,

。(扁)；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为X2,期望和方差分别为E(X2)，D

(X2)，则下列判断错误的是()

A.X2〜伙20,0.4)

B.0(X1)>。(万2)

c.E(XD=E(X2)

20-kk

D.变最Xi分布列是P(Xi=k)=rVrr，k=0,1,2,-20

49.(24-25高二下•河北沧州•期中)已知圆周率n=3.14159265-,用四舍五入法把TT精确到

0.1Q01O00L0.000L0.00001的近似值分别为/MX3M，&，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大

于刘的个数为X,则。(X)=.

50.(24-25高二下•山东临沂•期中)某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在

整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130

，记分数不低于130分为优秀.

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率:

(2)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机

12/15

抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数学期望.

题型1I正态分布的概率计算

51.(24-25高二下•福建典门•期中)已知随机变量X~N(2〃2),且P(XS4)=0.64,MP(O<X<2)=

()

A.0.14B.0.22C,0.28D.0.36

52.(24-25高二下•江苏徐州•期中)对某市数学考试成绩的数据分析，成绩X服从正态分布N(92,42).从该

市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在96〜100分之间的概率约为()

参考数据：若随机变量X〜N(〃,o2),+«0.683,P(fi-2a<X<+2a)0.954,P

(/i-3a<X<(i+3d)«0.997.

A.0.1355B.0.1585C.0.271D.0.317

53.(24-25高二下•山西吕梁•期中)某班有48名学生，最近一次的市联考数学成绩X〜N(95,〃)，若XW

［70,120］的学生人数为36,则P(X>120)=()

A.0.2B.0.15C.0.125D.0.25

54.(24-25高二下•黑龙江•期中i已知随机变量f服从正态分布可(〃,扭)，若P(f<2)=P(f>8)=0.13,

则P(2<f<5)=.

55.(24-25高二上・江西,期末)某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布N(60,100),规定：分

数高于80分为优秀.

(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；

(2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80］内的学生人数.

参考数据:若X〜N(〃"2),则P(〃一。〈X工〃+。)=0.6826,PR—2"XK〃+2。)=0.9544,P

(〃一3(7VXW〃+3a)=0.9974.

13/15

题型12正态分布的实际应用

56.(24-25高二下♦云南•期中)据统计，某市高三男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布X〜N

(175,9),则在全市10000名高三男生中，身高不在(169,184)之间的人数大约是()

参考数据：亡0.6827,P(〃-+《0.9545,

P(〃一3。MX工〃+3。)=D.9973

A.216B.221C.237D.241

57.(24-25高二下•宁夏银川・期中)我校高中