2027高考数学一轮总复习：基本不等式（附答案）

基本不等式

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共

94分

一、单项选择题

1.已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12,则孙的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.4

2.（湘教版必修第一册P39例7改编）已知0V<2,则J%（1的最大值为（）

A.-B.—

22

C.-D.—

44

3.（2026•山东济宁模拟）已知x+y=4,且x>0,）>0,则1+即勺最小值是（）

A.1B.V2

C.2D.2V2

4.（2025♦北京卷）已知。>0,Z?>0,则（）

A.a1-\~b1>2abB.-+-—

abab

C.〃+b>7abD.—h--7=

abTab

5.（2026•安徽六安模拟）已知4,B两地的距离是200km.根据交通法规，两地

之间的公路车速应限制在50〜100km/h.假设油价是8元/L,以xkm/h的速度

行驶时，汽车的耗油率为（3+总）L/h,司机每小时的工资是56元，那么最经济

的车速是（）

A.24y/5km/hB.55km/h

C.60km/hD.8()km/h

6.已知公>0,Z?>0,2a+b=ab,则含+£的最小值为()

A.4B.6

C.4&D.3+2近

二、多项选择题

7.下列说法正确的有()

A.若卡：,则2x+白的最大值是一1

B.若心>一2,则激»4

C.若x>0,)>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最大值是2

D.若人<1,则立手有最大值一5

8.(2025•江西上饶二模)若正实数。，b满足。+8=1,则()

A.VH+逐的最大值是V2

B.工+：的最小值是9

ab

C.(l+〃)(l+b)的最大值是3

D.层+2"的最小值是三

4

三、填空题

9.若存在工£(0,+8),使丁尚一2。成立，则。的取值范围是______.

x2+3x+l

10.已知正实数x,y满足x+2y=l,则:+：的最小值为.

四、解答题

11.(13分)某水产公司队在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育亩池,

其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为2()00?,深度为2m,育苗池的四

周均设计为2m宽的语路.设育苗池底面的一条边长为_rm(10WxW20),甬路的

面积为So?.

X

2222

_31

(1)求S与X之间的函数关系式；

(2)已知育苗池四壁的造价为200元/N,池底的造价为600元/m"甬路的造价为

100元/n?,若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价.

12.（13分）甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超

过80km/h,已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，

可变成本是速度平方的;，固定成本为〃元.

（1）将全程运输成本M单位：元）表示为速度。（单位：km/h）的函数，并指出这个函

数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？

■思维拓展

13.设正实数x,y,z满足4.v2—z=0,则节的最大值为（）

A.0B.2

C.1D.3

14.（多选）三元基本不等式：“当小江c均为正实数时，生产2遍应，即三

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时，等号成

立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（）

A.若x>0,则寸+2引3

X

B.若OVxVl,则f（l—

C.若x>0,则2r+L23

D.若0<X<1,则X（1—

15.若〃>0,比>0,贝H+匕的最小值为______.

ab2

参考答案

1.C[由已知，得12=4x+3)，22,4x・3y,即12—2/4x・3y,解得xyW3,

当且仅当4x=3y时取等号.]

2.B3.A

4.C[因为加＞(),比＞0,所以次+加22",当且仅当〃=/?时，等号成立，所以

A选项错误；取〃=/?=」则工+工=6,而2=9,所以B选项错误；因为•+/?

3abab

^2yfab＞Vabf所以C选项正确；因为十+322船=高，所以D选项错误.故

选C.]

5.C[设车速为x,由题意可知，行车的总费用为

y=[56+8(3+总)]+詈，其中50^x^100.

由基本不等式，

得产160(—+白》gOX2尸盘=亨(元)，

当且仅当变=『(50＜刀＜100),即当x=60时，等号成立，因此，最经济的车速

X36

是6()km/h.故选C.J

6.D[由。＞(),/?＞(),2a+b=ab,4=3＞0,即力＞2,易知。＞1,

0-2

所以也+±=2+Q=3+—+〃-123+2I—•(a-1)=3+2V2,

a-lb-2a-1a-1y]a-l'7

当且仅当二-=Q—1,即口=鱼+1时，等号成立，此时b=2+遮，

a-1

所以"+“-的最小值为3+2企.故选D.]

a-1b-2

7.ABD[对于A,因为xg,

所以2x~1＜0,1—2心＞0,

所以2r+—=(2x-l)4--+1=-[(1-2%)4--1+1

2x-l'J2x-lLk7l-2xj

^-2(l-2x)•—+1=-1,当且仅当1一2%=」一,

7l-2xl-2x

即x=0时，等号成立，此时2x+J—有最大值一1,故A正确：

21

对于B,因为心>一2,所以x+2〉0,所以搭=42+熹》

2+2,j2=4,当且仅当、x+2=~r==f即x=2时，等号成工，故B正

确；

对于C,因为x>0,y>0,所以x・2yW(等了，即右丁《宜等，因为工+23，+

2»=8,所以2q=8-(x+2y),所以8—(%+2)，)工巨尹，整理得(x+2y)2~M(x

+2)，)-3220,解得x+2)W—8(舍去)或x+2)，24,当且仅当x=2y,即x=2,

y=l时，等号成立，所以x+2y的最小值为4,故C错误；

对于D,因为x<l,所以1一£>0,则^j2=&T)'+(xT)+9=_|(]_%)+_2_]+

lW-2g+l=-5,当且仅当一Q—1)=一旦，即工=一2时，等号成立.故D

X—1

正确.]

8.ABC[对于A,y/a+Vb=y/a+b+2yfaEWJa+b+(a+b)=

V2,当且仅当a=b=:时取等号，A正确；

对于B,4-=(a+b)Q4-=5++^^54-2=9,当且仅当g=

¥，即。=工，b=2时取等号，B正确；

b33

对于C,(1+〃)(1+/?)W(叶学生)2=：,当且仅当。=6=；时取等号，C正确；

2

对于D,4=1—〃，0</?<1,贝"。2+2序=(1­。)2+2/=3/一2/?+1=(6—1)+|

当且仅当力=三时取等号，D错误.故选ABC.]

33

9.(-8,1]

1().1+2或[正实数K,y满足％+2y=l,有工+土=工+3=工+工一2,

xyxyxy

则-+-=-+--2=(-+-)(x+2y)-2=l+-+^21+2I--

xyxy\xyj/yxylyx

=l+2或,当且仅当三=2，

yx

即工=&一1,丫=三廿时，等号成立，

所以二+土的最小值为1+2&.]

xy

11.解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为子m,则S=(x+4)(注詈

+2x4)—600=8x+等+32,10WxW20.

(2)设总造价为卬元，则狡=200X2(6x+'吧)+600X3X200+1005

=2400.v+^^-^+360000+800%+^-^+3200=3200x+^-^+363

XXX

200,10WxW20,

其中320()工+竺”2213200%・三巫=96()0(),

X7X

当且仅当3200X=721°0°,即工=15引10,20］时，等号成立，故w=3200%+

三■吧+3632002459200,所以当x=15m时，总造价最低，最低总造价为459

X

200元.

12.解：(1)由题意，得可变成本为工“2元，固定成本为Q元，所用时间为

4

所以y=二竺&I;2+Q)=1000定义域为(0,80J.

(2)y=l000Qv+^)^l000X2j|=l0006(元)，当

即时，等号成立.

因为0<oW80,

所以当0<。<1600时，货车以o=2VHkm/h的速度行驶，全程运输成本最低：

当600时，函数)，=10()0(8+£)在(0,8()］上单调递减，故货车以8()km/h

的速度行驶，全程运输成本最低.

13.C［因为正实数式，y,z满足4A2—3xy+,2—z=0,则2=4.^—3冲+优

则与=4N±y+y2=由《乘Y=1，当且仅当把=上

yx

即y=2"时取等号.故把的最大值为1.］

Z

14.AC［对于A,x>0,x2+-=x2+-+-^33%2・-・-=3,当且仅当/=

%xxy/x