2026年中考数学二轮复习：高效培优练08 几何最值问题原卷版

专题08几何最值问题

A题型01将军饮马＜

》技巧提炼

方法总结：

1.模型识别：动点在定直线上运动，求两定点到动点距离之和（PA+PB）的最小值。

2.核心原理：两点之间线段最短。

方法

解题步骤：

1.找定点A、B和动点P所在直线/

总结

2.作定点A关于直线1的对称点At

3.连接AB交直线1于点P,该点即为所求

4.线段A'B的长度即为PA+PB的最小值

5.差的最大值：求|PA—PB|最大值（延长线或对称）

1.对称点找错：必须确保对称轴是动点所在的直线，而非其他直线。

易错

7忽略特殊情况：当定点连线与动点所在直线垂直时，最值点位置需特别注意。

辨析工模型选择错误：准确识别题目属于哪种模型变式，如两动点问题误用单动点方法。

4.忽略定长线段：将军遛马问题中容易忽略定长的条件。

♦例题剖析

【典例01】（2025•山东济宁•模拟预测）如图，矩形/8c。中，4B=2,4D=3,点E、F分别为jD、

QC边上的点，且所=2,点G为石尸的中点，点尸为8c上一动点，则PZ+PG的最小值是（）

A.3D.4C.5D.6

【典例02】（2025•湖南岳阳一模）如图，已知点。是直线【外一定点，力4是直线/上的动线段,

初=5,连接力C、BC,S“蟾=15.求当力C+8C取最小值时sinNC8力的值.小聪在解题过程中发现:

“借助物理学科的相对运动思维，若将48看作静线段，则点。在平行于直线/的直线上运动”.请你参考

小聪的思路求当AC+BC取最小值时，sin/CB4=

♦巩固训练

【训练01】（2026•安徽池州•一模）如图1,在。中，/4=90。，点。是4c上一定点，点尸从

点4出发，沿边48TBe运动到点C.连接4，PD,设点尸运动的路程为x,PA+PD=y.其中y

关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标〃，的值为（）.

A.1

B-5D，I

5

【训练02]（2025•四川遂宁•一模）如图，点E在等边△/4C的边8。上，BE=4,射线CQ_L8C,垂

足为点C,点P是射线C。上一动点，点户是线段上一动点，当即+叱的值最小时，BF=5.则

£P+EP这个最小值是（

A.9B.10C.56D.3近

【训练03]（2025•陕西榆林•三模）问题探究

（1）如图1,在四边形力4。。中，AB=CD,AB//CD,若8c=4,则力。的长为

(2)如图2,在等腰△/8C中，.44=<C,NBAC=45。，点。是4c的中点，点E、尸分别为边48、AC

上的动点，连接力。、DE、DF、EF,若力。=2,求△£）即周长的最小值;

问题解决

（3）2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续挂进为期三年

的“体重管理年''行动，各地枳极探索为居民健康减“负为了提高全民健身环境，某地欲建•个形如五

边形力4CEO的健身中心，如图3,AD//BC,N4BC=NF=90。,力。=8。=500米，。尸=300米，

。产=400米，力C是一条走廊，将四边形力C尸。规划为力量训练区，4力〃。区域规划为有氧器械区，在

4C上确定点P、。(点P在点。左侧)，且满足P0=1OO应米，沿线段A。、P。、DP摆放某种小型

健身器材，请计算4。+。。+Q0的最小值.

A题型02胡不归・

1.模型识别：动点P在直线/上运动，求PA+〃・PB(OVkVl)的最小值。

2.核心原理：构造特殊角转化线段，将k-PB转化为一条实际线段。

3.解题步骤：

(1)过点B作射线，使射线与直线1的夹角为a,满足sina=4

(2)过点A作该射线的垂线，垂足为C,交直线/于点P(最优动点)

(3)线段AC的长度即为PA+k・PB的最小值

方法

总结

4.关键技巧：当k>l时，先提取系数上转化为/IP4+PB］形式，使系数小于1

1.记错角的构造：需使sina=A,而非cosa或tana,避免转化错误。

易错

2.找错垂线对象：垂线需过定点A(非动点P),指向构造的射线。

忽略人的范围：中考中〃多为1、虫等，对应30°、60°特殊角，需熟记特殊角三角函数值

辨析3.

22

♦例题剖析》

【典例01】(2023•安徽黄山•模拟预测)如图，在平面直角包标系中，二次函数尸立/一正》_石的

'22

图象与x轴交于点力，C两点，与y轴交于点从对称轴与x轴交于点。，若P为y轴上的一个动点，

【典例02】(2026•重庆•一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=尔+法-3("0)与》轴交

于点力(TO),点5(3,0),与y轴交于点C,连接4C、BC.

图1

(1)求该抛物线的表达式;

(2)如图1,若点P为线段4。下方抛物线上一动点，过点P作PQ〃y轴交6C于点。，过点P作PE_L/C

交直线4c于点E,M、N为V轴上的动点(点M在点N的下方)且MN=1,连接PM、BN.当

3P。-可所最大时，此时点尸的坐标及的最大值;

(3)在(2)的条件下，将该抛物线沿射线4C方向平移如个单位长度得到新抛物线V，点厂在新抛物

线V上，连接尸尸.若NFPD+NABC=NACB,请直接写出所有符合条件的点尸的坐标，并写出求解点

户的坐标的其中•种情况的过程.

♦巩固训练，

【训练01】(2024•四川成都•模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以

下探究.

【尝试初探】

(1)如图①，在四边形川?中，若N4?C=N/QC=9()。，4B=4D=5,乙%。=120。，求力C的长：

【深入探究】

(2)如图②，在四边形力ACD中，若48c=4。。=90。，NBCD=45。,AC=86，求4。的长：

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形川%7)中，若/"C+4QC=180。，ZJDC=60°,AD=AB=20延长力4c8

相交于点E,DEICE,夕是线段力。上一动点，连接尸O,求2OP+CP的最小值.

x轴从左至右依次交于力，A两点，与N轴交于点C,经过点A的直线y=+b与抛物线的另一交

点为。.

Hy

备用图

(1)若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

(2)在(1)条件下，设b为线段4。上一点(不含端点)，连接力F，一动点M从点力出发，沿线段/厂

以每秒I个单位的速度运动到尸，再沿线段尸。以每秒2个单位的速度运动到。后停止.当点尸的坐标

是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【训练03】(2023•广西柳州•二模)已知抛物线尸6+云+《"())过点力(1，。)，川3,0)两点，与N轴

交于点C,。。=3,

♦用图

(I)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P为抛物线上位于直线8c下方的一动点，当△P8C面积最大时，求点。的坐标；

(3)若点。为线段OC上的一动点，问：力0+半。2是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不

存在，请说明理由.

A题型03阿氏圆・

分技巧提炼

1.模型识别：动点P在圆0上运动，求k-PA+PB(kWl)的最小值。

2.核心原理：构造相似三角形，将A-PA转化为一条无系数的线段。

3.解题步骤：

方法(1)确定圆心0、半径八定点A、B和系数A

(2)连接圆心0与带系数的定点(如B)

(3)根据々值在OA二取点C,使生="=衣(内构型)或向外延长取点(外构型)

OPOA

(4)证明△OPCs/XOAP,得PC=k・PA

(5)原式转化为PC+PB,最小值即为BC长度

4.内外构型区分:

(1)内构型：定点均在圆外，时向内取点构造相似

(2)外构型：至少一个定点在圆内，攵＞1时向外取点构造相似

1.错把普通圆当阿氏圆：只有动点到两定点距离成固定比例的圆才是阿氏圆。

易错2系数A大于1直接算：心＞1时，一定要先提取系数，把片变成小于1,再构造相似。

辨析3,相似三角形找错定点：必须连接圆心和动点、带系数的定点，相似比例对应错误会导致全错。

4.内外构型混淆：圆内定点用外构，圆外定点用内构，位置判断错误会导致构造方向错误

♦例题剖析

【典例01】（2023•广东深圳•模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”乂称“阿波罗尼斯圆“，已知平面上两点

PA

A、B,则所有满足G「=攵（A＞0且4H1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗

PB

尼斯发现,故称“阿氏圆”.

【模型建立】如图1所示，圆O的半径为广，点4、8都在圆。外，P为圆。上一动点，已知

连接尸4、PB,则当“尸4+k尸5”的值最小时,P点的位置如何确定?

图1图2图3

第1步：一般将含有〃的线段P8两端点分别与圆心。相连，即连接。8、OP；

OCOF

第2步：在上取点C,使得。尸=。。.。8,BP—=—,构造母子型相似△OCT—△OQB（图

OPOB

2）；

第3步：连接4C,与圆O的交点即为点P（图3）.

【问题解决】如图，。。与y轴、x轴的正半轴分别相交于点“、点N,半径为3,点4（0,2）,点

。，点P在弧MN上移动，连接尸人PB.

（I）P4+2P8的最小值是多少？

⑵请求出（1）条件下，点P的坐标.

【典例02】（2025•吉林长春•二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两

点力、B,则所有满足4=%尸B的点尸的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,

故称“阿氏圆”.如图①，在RtZ\/BC中，/＜。4=90。,。4=4,。1=6,。。的半径为2,P为圆上一动

点，求力P+?P最小值.

OHD

图⑤

第一步：如图②，连结圆心C与动］

第二步：以半径C7为公共边，构造“母子”型相似△CPMs^CBP.

第三步：计算CM的长度，由可得C育M二C合P二］1,即CM=,1CP=1.

第四步：4P+；8P=4。+必\如图③，当小尸、”三点共线时力P+38尸最小，此时/P+gsP=.

【模型探究】如图④，在△48C中，AC=\,AB=2,D为48上一点，小明同学认为当力0=g时，CD

的长是8c长的一半，于是给出如下证明：

•.­AC=\AB=2,AD=-,

72

AC\AD\

:•------——,-------——

AB2AC2

CDAC1

'~BC~'AB~2

：.CD=1BC

2

请补全缺失的证明过程.

【模型应用】如图⑤，在扇形C。。中，/。。。=90。,。。=6,04=3,04=5，点。为扇形上一动点,

贝lj2AP+PB的最小值为

♦巩固训练

【训练01】(2024•安徽•模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，二次困数y=x、/)x+c的图象交x

轴于力(-1,0),B两点,18=4,。为抛物线顶点.

图1图2

(1)求b,。的值;

(2)点P为直线力C下方抛物线上一点，过点尸作尸。轴，垂足为点。，交力。于点〃，是否存在

。河=3月必？若存在，求出此时P点坐标：若不存在，请说明理由；

⑶如图2,以8为圆心，2为当径作圆，N为圆8上任一点，求CN+g/lN的最小值.

【训练02】(2024,广东广州•三模)已知，如图1,尸49为。。的割线，直线PC与。。有公共点C,且

PC2=PAxPB.

⑴求讦：①/PC4=NPBC：

②直线PC是。。的切线；

(2)如图2,作弦CQ,使连接4。、BC,,若4D=2,8c=6,求。。的半径；

(3)如图3,若。。的半径为JLPO=M，MO=2,/尸OM=90。，。。上是否存在一点0,使得

PQ+*0M有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由.

【训练03】(2025•吉林•二模)【问题原型】如图①，在RtZ\48C中，NC=9()o,N8=3()c,4C=2,P是

线段8C上任意一点，试探究,%+的最小值.

【问题探究】如图②，小明首先以8C为一边作NC8M=30。.然后，作PH上BM,由三角函数的定义，

将;PB转化为PH.于是求P,4+；P8的最小值就转化为求的最小值.当点力、尸、〃在一条直

线上时，即可求出尸力+；尸8的最小值.

以下是小明的部分求解过程：

由【问题探究】的作法可知

过点B作射线BM使ZCBM=30°,作尸HJ.BM于H

NABM=ZABC+NCBM=60°

在Rt△力〃。中，AC=2

求解过程缺

I失I

请补全剩余的求解过程；

【问题应用】如图③，在口力4。。中，/。48=45。,48=6,80=2,尸为边上的一动点，直接写出

心+当尸。的最小值.并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点P的位置.（保留作图痕

迹）；

【问题迁移】小明在此基础上想求解+x）的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型

直接写出最小值.

图③

匚题型04隐圆

♦技巧提炼

1.模型识别：满足以下任意条件，动点轨迹为圆：

(1)定点定长（圆的定义）

⑵定边时直角（轨迹为圆，定边为直径）

⑶定边对定角（轨迹为圆，定边为弦）

方法

2.核心原理：圆上点到定点距离最值原理。

3.解题步骤：

总结

(1)识别动点轨迹为圆的特征条件

⑵确定轨迹圆的圆心和半径

⑶转化为点到圆的距离问题

(4)最大值=点到圆心距离+半径，最小值=点到圆心距离一半径

4.常见场景：直角所对弦为直径、等弦对等角、四点共圆等。

易错1.轨迹判断错误：未能准确识别定边对定角、定点定长等隐圆条件。

2.圆心定位错误：直角三角形的外心为斜边中点，定弦定角的圆心在弦的垂直平分线上。

辨析3.最值计算错误：混淆最大值和最小值公式，或忘记加减半径。

♦例题剖析

【典例01】（2026•江苏苏州•模拟预测）矩形48co中，48=4,40=8,点石为矩形48co内一点,

使得4£9=90°.将△川必绕点4顺时针旋转90。，得到“尸G,则CG的最小值为（）

A.2扬-2B.2727-4C.4J10-4D.2病-2

【典例02］（2025•贵州•模拟预测）如图，在Rt△力中，AC=BC=3,ZJCT=90°,将边长为1的

正方形BDEF绕点、B旋转一周,连结AE,点M为花的中点,连结FM,则线段FM的最大值为

♦巩固训练

【训练01】(2026•安徽六安•一模)在矩形48CQ中，4B=6,BC=8,点、F在BC上,点£在4。上,

连接E尸，将矩形沿E/折叠，点48的对应点分别为点”，G.

图I

(1)如图1,当点G落在CO边上时，连接4G.

①求黑的值；

②若BF=5,求的长；

(2)如图2,若保持8/=5,点E在力。上移动(可与点4。重合)，试确定QG的长度范围.

【训练02】(2026•陕西西安•三模)问题探究

(1)如图①，。月是△力8c的中位线，点”在。夕上，DF=2BF,连接F/并延长，与C8的延长线相交

于点若8C=4,则线段CW的长为.

(2)如图②，在RtZ\/出C中，，4C_L8C,AC=4,BC=6,P是△48C内部的一个动点，且满足

NPCA=NPBC,求线段/P的最小值.

问题解决

(3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地/4C。，用于班级种植，是两个工具房，分别在

C。边上，且CF=2BE,沿石尸铺设一条运送通道，再从点.4铺设一条垂直于后”的小路4W,在点M

处修一个肥料存放点，点。处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥

料，需要沿CN铺设一条小路，要求CN尽可能的短，已知.48=50m,BC=40m.请问CM是否存在

最小值？若存在，求出CM的最小值；若不存在，请说明理由.(工具房、肥料存放点、水房的大小均

忽略不计)

(2)如图2,若点。为△力8c内部一点，且N8DC=135。，连接4。，点E为力。的中点，连接用等

式表示线段8。，BE,的数量关系，并证明；

⑶若点。满足N4OC=135。，当=正时，请直接写出力。的最小值.

A题型05垂线段最短・

》技巧提炼

1.模型识别：求点到直线距离、三角形高的最值、三角形面积最值等。

2.核心原理：直线外一点到直线，垂线段最短。

3.解题步骤：

方法

(1)找定点，过定点作关于直线的垂线

(2)垂线交直线于一点

总结

(3)垂线段长即为最小值

4.面积最值应用：当三角形底边固定时，面积最大等价于高最大，即顶点到对边所在直线的垂线

段最长。

易错1.垂足位置错误：垂足必须在直线(或线段)上，而非延长线上。

2.忽略动点范围：动点可能有运动范围限制，最值点可能不在可行域内。

辨析3.与将军饮马混淆：垂线段最短是单线段最值，将军饮马是双线段和的最值。

♦例题剖析

【典例01】(2026•安徽合肥•一模)在平面直角坐标系中，点。在直线尸-x+l上运动，将点。绕原点

顺时针旋转90。，得到点。'，连接则。。'的最小值为()

A.7B.—C.V2D.1

22

【典例02】（2026•陕西商洛一模）如图，在中，=点£是/。的中点,

点M是边8C上的动点，点。是48所在直线上的动点，连接ME、MP,若"P+A"1的最小值是10,

贝lj△44c的面积是.

♦巩固训练》

【训练01】（2026•河北张家口一模）如图，已知△45C的面积是12,JC=6,点。是力。上的动点,

点E是48的中点，点尸和点。关于点E成中心对称，则/F的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【训练02】（2026•青海西宁•一模）如图，已知△力BC中，4c8=90。，48=8,N84C=15。，点P是力。

上一个动点，从4点出发，沿着力运动，82+；力尸的最小值是.

【训练03】（2026・陕西西安•一模）如图，在菱形力族刀中,点E为4。边上一点，将沿着翻折

得到C厂.点6为3中点，连接QG,过点尸作尸〃1/8于点〃.若力8=10,1@11/84。=3,则尸〃+。6

的最小值为

A

A题型06费马点4

“技巧提炼

1.模型识别：在三角形内求一点P,使PA+PB+PC最小。

2.核心原理：旋转60。化折为直，四点共线时取最小值。

3.解题步骤：

(1)将AAPC绕点A逆时针旋转6()。到4AQE位置

(2)易证4APQ是等边三角形，PA=PQ

(3)PA+PB+PC=PQ+PB+QE

(4)当B、P、Q、E四点共线时取得最小值，最小值即为BE长度

4.费马点性质：在三角形三个内角都小于120°时，费马点是与三角形三个顶点连线两两夹角为

120°的点

易错1.旋转方向错误：必须按正确方向旋转60°,否则无法构造等边三角形。

2.共线条件忽略：最小值仅在四点共线时取得，需严格证明共线性。

辨析3.角度限制忽视：三角形内角必须都小于120°,否则费马点在最大角的顶点处。

♦例题剖析》

【典例01】(2025•湖北武汉•模拟预测)如图，点七是边长为2的正方形/灰力内一点，连接8£,力七,

点。在线段。C上运动，连接EP,则4E+EP+8E的最小值是

【典例02】(2024•陕西西安•模拟预测)(1)问题背景

如图1,。为△力8C内部一点，连接尸4PB、PC,将△/PC绕，点C顺时针旋转60。得到“'?'C,连

接尸产，

由PC=A'C,ZPCPf=60°,可知△尸CP为三角形，故PP=PC,又PA=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'NA'B,由可知，当4,P,F,4在同一条直线上时，

P4+P4+PC取最小值，如图2,最小值为H8,此时的尸点为该三角形的“费马点

(2)问题解决

如图3,在ZUAC中，三个内角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,求H4+P4+PC的最

小值；

(3)问题应用

如图4,设村庄4B,。的连线构成一个三角形，且力C=6km,8c=4x/5km,/4cB=30。.现欲在△力8c

内部建一中转站P沿直线向4B,。三个村庄铺设电缆，已知由中转站夕到村庄4B,。的铺设成本

分别为1000元/km.1000元/km.10006万元/km.是否存在合适的〃的位置,可以使总的铺设成本

最低，若存在请求出成本的最小值.

图3图4

巩固训练

【训练01】（2022•广东广州一模）如图，在R/A4BC中，的C=90。,AB=AC,点尸是/出边上一动

点，作PD工BC于点D,线段.4。上存在一点Q,当。力+QB+QC的值取得最小值，且力。=2时，则

【训练02】（2025•贵州黔东南•一模）阅读材料，并解决问题:

【思维指引】（1）如图1等证&ABC内有一点P,若点P到顶点力、B、C的距离分别为3,4.5,求NUB

的度数.

解决此题，我们可以将18P绕顶点力旋转到△/CP处，此时“CP三△4行，连接P7,借助旋转的

性质可以推导出△以「是三角形：这样利用旋转变换，我们将三条线段21、PB、尸。转化到一个

三角形中，从而求出N/IPA=。：

【知识迁移】（2）如图2,在△力8c中，ZCJ5=90°,AB=AC,从F为上的点且NE4尸=45。，

请判断E/，BE,EC的数量关系，并证明你的结论.

【方法推广】（3）如图3,在△力8C中，480=30。，48=2,8C=3,点P为△力8C内一点，连接

P4PB、PC,直接写出++的最小值.

【训练03】（2025・山东烟台•二模）阅读材料，并解决问题:

【思维指引】（1）如图1等边A"。内和一点P,若点P到顶点4B、C的距离分别为3,4,5,求N717招

的度数.

解决此题，我们可以将△44。绕顶点力旋转到△4C严处，M^ACP'=^ABP,连接PP,借助旋转的

性质可以推导出△口尸'是三角形：这样利用旋转变换，我们将三条线段24PB、PC转化到

一个三角形中，从而求出N/1P8=；

【知识迁移】（2）如图2,在等腰直角△力8c中，NCAB=90。,AB=AC,E、尸为8c上的点且

Z£JF=45°,请判断ERBE,R?的数量关系，并证明你的结论.

【方法推广】（3）如图3,在△48c中，448。=30。,力8=4,8。=6,点p为等边△48C内一点，连接

PA、PB、PC,直接写出4+&P8+PC的最小值.

题型强化训练

一、单选题

1.（2024•安徽•模拟预测）如图，矩形4AC力中，40=46对角线",8。交于点。，ZBOC=\200,E为

4C上一动点.F为DE中前,则下列结论正确的是（

A.OE的最小值为3GB.。户的最小值为2G

C.尸O+”的最小值为2近D.△06的周长最小值为2+2万

2.（2026•安徽芜湖•一模）如图，在等腰直角△力4c中，ZBAC=90°t48=4C=4.点。为8c的中点,

NEDF=90°,其两边分别与WC,48交于点E,F（不与4,B,。重合）.取的中点连接

并延长交3C于点G,连接石G,FG.则下列结论中正确的是（）

A.物的最小值为4B.M6+MC的最小值为2丽

C.⑺所周长的最小值为4+3A/5D.四边形力EG/面积的最小值为4

3.（2025•安徽蚌埠•三模）如图，在“8C中，JC=6,ZJC5=30°,p在力C的中点处，M是直线8c

上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转90°,得到线段PN,连接力N.有以下结论：①线段PM

的最小值是T；②线段MN的最小值是逑；③△，〃义面积的最小值是葭；④线段4N的最小值是

3°

喑.其中正确的结论有I

)

A.1个B.2个

4.（2026•安徽阜阳•一模）如图，在△力8c中，ZJCB=90°,4=30。，BC=\.点。在力夕边匕点E

在“A的延长线上，连接CO,CE,且力。=8E.则下列结论错误的是（）

A.8+。七的最小值为3+2

B.CD的最大值为将-2

2

C.。+2力。的最小值为立+1

D.周长的最小值为b+2

22

二、填空题

5.（2025・河南周口•三模）如图，在正方形/8CQ中，E是边4B上的一点，将线段4E绕点E顺时针旋转,

得到线段防（EE在正方形/必CO内），连接再将线段W绕点。逆时针旋转90。，得到线段

CG,连接尸G,BG.若48=4,AE=3,则FG的长的最小值为,4G的长的最小值为.

6.（2025・河南漂河•一模）如图，在△ZAC中，^ABC=90，ZC=30\片《=3,。是边4C上的一动点,

连接8。，以8。为直角边按如图所示的方向作RtAOBE,使得/。8£=90。，且8氏8Q=1：JJ，尸是边

BC上的一点，所=6,连接环，则BE的长的最小值为.，切的长的最小值为

7.（2025•河南南阳•二模）如图，在RtZ\48C中，48=8,BC=6,。是N4C8平分线上的任意一点,

连接力。.把力。绕点力逆时针旋转90。得到力E,连接OE,CE,则的最小值为,"的最

小值为

8.（2025•河南濮阳•一模）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸

片力4。。，他在边48和力。上分别取点E和点使力E=4W=1,又在线段用。上任取一点N

（点N可与端点重合），再将AE/N沿NE所在直线折直得到随后连接。4,小王同学通过多

次实践得到以下结论:

①当点N在线段MO上运动时，点4在以点上为圆心的圆弧上运动;

②当达到最大值时，4到直线AD的距离达到最大;

③。4的最小值为2逐-2：

④达到最小值时.MV=5-6

你认为小王同学得到的结论正确的是

三、解答题

9.（2025•吉林长春•模拟预测）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，XABC

是等边三角形，边长为6,点必、N分别是边力。、8c上的点（必、N均不与三角形顶点重合），且

AM=CN,连接M/V,试探究MN的最小值.

【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图②，过点M作116c

且M0=CN,连接力。，通过平行四边形的性质可推出.，•="）,故将问题转化为探究CO的最小值，只

要得出的度数不变，即可确定点。在射线力。上运动，进而求出。的最小值.下面是部分证明

过程：

证明：是等边三角形，

NACB=60°,

vMD//BC,MD=CN,

四边形MNCD是平行四边形：

:.MN=CD,

vAM=CN,MD=CN,

AM=MD,

•••Z.MAD=Z.MDA,

证明过程缺失

•••点。在射线上运动，

.•.当CO_L4。时，C力取最小值（填写依据：