2026年高考数学一轮练习：正弦定理、余弦定理（附答案）

§4.8正弦定理、余弦定理

分值：100分

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・海口模拟）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,sin则sin8等

2

于（）

37

A.-B.-

43

C.-D.-

34

2.在△ABC中，cosC=1,AO4,BC=3,则cos8等于（）

A.-B.-

93

C.-D.-

23

3.（2024.长沙模拟）已知在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且三边之比a：b：c=2：3：4,

sinX-2sinF

则等于（）

sin2C

A.iB，4C.2D.-2

22

4.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin4W=；,则△ABC的形状为（）

22c2

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.（2024.榆林模拟）在△A8C中，角4,B,C的对边分别是〃，b,c,且三边满足从=3+4-4鱼，£?=-,则

4

△A8C的面积为（）

A.2-V2B.4-2V2

C.2+\QD.4+2V2

6.（2025・上海模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b>c,若且c-2Z?+2gcos00,则

该三角形外接圆的半径为（）

A.lB.V3C.2D.2V3

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,则下列条件能确定2个三角形的是（）

A.A=-,b=\,c=2

4

B.B=Y»b=l,c=2

C.T4=-,b=3a=y/3

6t

D.B=-,b=W,a=2

4

8.已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是（）

A.若t?cosA=bcosB,则△A8C是笔腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,则AABC是等腰三角形

C.若则△ABC是等边三角形

cosAcosBcosC

D.若8=60。，b2=ac,则△ABC是直角三角形

三、填空题（每小题5分，共1（）分）

9.（2024•开封模拟）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b.c,若cosOja=3从则cos

A=.

10.（2024・成都模拟）在△"「!=>,AC=\,延长84到点/）,使得A力二VLZADC=-,贝IA8的长

46

为.

四、解答题（共27分）

11.（13分）（2024•新课标全国H）记人钻。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+百cosA=2.

⑴求A；（5分）

⑵若。=2,V2/?sinC=csin2B,求△4AC的周长.（8分）

12.（14分）（2025・南昌模拟）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10,N8AC=%

J

ZDAC=-,BD交AC于点、E.

4

（1）求B。2：（7分X2）求AE（7分）

A

BD

E

10能力拓展

13题6分，14~16题每小题5分，共21分

13.（多选）在△A8C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若。=VT5,a2+b2-c2=abs\nC,«cosB+bsinA=c,

则下列结论正确的是（）

A.tanC=2B.A=-C.Z?=x/2D.A4BC的面积为6

4

14.在△ABC中,sin（B-A）=-,2cr+e=2tr,则sinC等于（）

4

A.-B.—C.-D.l

322

15.已知△ABC的面积sW（/+c2）（其中b,c为△ABC的边长），则AABC的形状为.

16.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在AABC中，角4,8,C所对的

边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=^J（cb）2--.根据此公式，若«cosB+（Z?-V2c）cosA=0,且

b2+c2-a2=y/2，则AABC的面积为.

答案精析

l.A2.A3.C

4A「si冷髭,

.1-cosA1b

,.・.cosAA=b-,

222c

...b2+c2-a2b

・cos4=----2-b--c----=c-,

/.Z?2+C2-«2=2Z?2,.\b2+a2=c2,

•••△ABC为直角三角形，且C=90。）

5.A［因为b2=(a+c)2-4y/2=a2+c2+2ac-4\/2,所以。?+。2一82=4企_2QC,

因为8三，由余弦定理得，

4

22acac

所以ac=4&-4,

故△A8C的面积

Sjcsin*(4企-4)X专

=2-6

6.A[Va=>/3,/.c-2b+2acosC=0,

AsinC-2sin/?+2sinAcosC=0,

AsinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

AsinC-2sinAcosC-2sinCeosA+2sin4cosC=0,

/.sinC-2sinCeosA=0,

VsinOO,coSi4=1,

V4e(0,7t),：.A=^,

设该三角形外接圆的半径为r,由正弦定理得号=4=2=2-，

smzlV3

2

：.r=\.]

7.CD[对于A,因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定I个三角形；

对于B,由正弦定理可知，sin。=£等=空=6>1,无解，

b1

故B选项的条件不能确定三角形；

对于C,由正弦定理可知，sin/竺旦孥枭，又局，即鹿仁，IT),所以8三或Bg，故C选项

aV32\6/33

的条件能确定2个三角形；

对于D,由正弦定理可知，sinA二等=等4¥<1,

又《4"即4£,TT),

又易知sinA=*>sin；=W,则$皿4=在有两个解，

V3423

故D选项的条件能确定2个三角形」

8.BC［对于A,若acosA=bcos8,则由正弦定理得sinAcosA=sin8cos8,

.\sin2A=sin2B,则2A=23或2A+28=180。，即A=8或4+8=90。，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，

故A喑误；

对于B,若Z?cosC+ccosB=b,则由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin(5+C)=sinA=sinB,即A=B,贝

ABC是等腰三角形，故B正确；

对于C,^―=—^―,则由正弦定理得"4=*^='^，贝hanA=tanfi=tanC,即A=B=C,即△ABC

cos4cos/?cosCcos/lcosBcosC

是等边三角形，故c正确；

对于D,由于8=60。,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(小4=0,解得a=c,故ZUBC是等边

三角形，故D错误.]

9.-在

6

解析在△48C中，cosC=l,a=3b,

由余弦定理可得

-a2+b2—c29b2+b2-c22

cosC-----—=---——=-,

2ab23bb3

解得c=y/6b,

再由余弦定理可得

.b2+c2-a2b2+6b2-9b2x/6

8sA=2b巫b二不.

10坐

3

解析•・•在△ABC中，AC=\,ZACB=-,延长8A到点。，使得4＞在，ZADC=^,

46

・•・由正弦定理得

4。_AC

sinz./»CDsinz.ADC

ADsinz.ADC_V2

可得sinNACO二

AC2

可得,：.ZBAC=ZACD-ZADC=^,48。=咤招,

・•・在△48。中，由正弦定理得

AB_AC

sinz.ACBsinz.ABC'

即名二j,解得AB=^.

sin-sinj3

11.解（1）方法一常规方法（辅助角公式）

由sinA+V3cosA=2,

可得A+^cosA=1,

即sin(4+g)=l,

由于AH。，兀)衿传，引，

故娉=b

解得,4=2

6

方法二常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sinA+x^3cosA=2,

又si/A+cos2A=1,

消去sinA得到

4COS2A-4V3COSA+3-0J

(2COSA-V3)2=0,

解得cosA二日,

又AE(0,兀)，故A=T

6

(2)由题设条件和正弦定理得，

Vz/jsinC=csin280asinSsinC=2sinCsin8cosB,

又8,CW(0,兀)，则sinBsinCWO,

进而cos8=W,得到8=2,

24

于是。=兀/-8=工,

sinC=sin(n-/4-B)=sin(A+B)

=sinZcosB+cosAsinB

_>/2+V6

4，

由正弦定理可得，

abc

sinAsinBsinC'

fiP-T-n=T-n=~-7W,

sm-sin-sin一

解得b=2y/2,c=V6+V2,

故△48C的周长为2+V6+3V2.

12.解⑴因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10,ZBAC=^,ZDAC=^,BO交AC于

34

点E,可得A8=ACCOSN8AC=10X£=5,AD=ACeosZDAC=10Xy=5V2,因为NBA。=NBAC+N

D?\C=-+-,所以cosNBAD=cos-cos--sin-sin-

343434

_1xV2V3xV2_y2-V6

2'TT''"24-，

所以在△A8O中，BD^AB^ACP-TABADcosABAD

=25+50-2X5X5V2X号渔

4

=50+2575.

⑵因为sin/BAQ=sinC+个）

_V，6+V2

二^-，

又因为SAAHI^S^ARFT^S^ADE,

所以LABAQsinZBAD=-ABAEsin^BAE+^AEADsinZEAD,

222

即*X5X5&X^^」X5XAEX色」XAEX5&xW,

242222

解得4E=5百-5.

13.ABD［因为a2+b2-c2=absinC,

222

而卜J「a+b-c

所以COSC=———

lab

absinCsinC

lab~~T~'

所以tanC=2吟=2,故A正确；

cosC

因为（zcosB+/?sinA=c,利用正弦定理可得

sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

即sin8sinA=cosAsinB,

因为B£（0,兀）,所以sinBWO,所以lanA=l,又A£（0,兀），所以A三，故B正确；

4

因为tanC=2,CG（0,n）,

所以sinC=萼,cosC=^,

OD

又A=^,所以sinA=cos