高等数学课件 第四章 微分方程

第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics微分方程高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例第一节

微分方程的概念课前导读3一､微分方程的引例一阶微分方程的概念y321(1,2)Ox图4-1mx=x(t)xO图4-2内容小结微分方程的基本概念(1)凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.数的阶数(3)代入微分方程使方程成为恒等式的函数称为该方程的解.(4)若微分方程的解中含有任意常数，且任(2)微分方程中出现的未知函数的最高阶导称为该微分方程的阶.与微分方程的阶数相同，这意常数的个数样的解称为微分方程的通解.内容小结微分方程的基本概念(5)确定了通解中任意常数以后的解，称为微分方程的特解.(6)用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.(7)求微分方程满足初始条件的解的问题(8)微分方程的解的图形(曲线)(9)微分方程的通解的图形，称为初值问题.方程的积分曲线.称为微分方程的积分曲线族.称为微分1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.课堂练习1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.解因为将其代入题设方程，得故是原方程的解.1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.解故是原方程的解.由条件得代入函数的表达式中，得所求特解随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第一节

微分方程的概念第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例内容导航第三章课前导读35内容小结1.可分离变量微分方程分离变量得两边积分得计算不定积分即得到微分方程的通解.1.求微分方程的通解.课堂练习1.求微分方程的通解.解移项得和差化积两边积分所求通解为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.可分离变量微分方程2.齐次方程作变量代换则方程化为可分离变量方程1.方程是否可以转化为齐次方程？2.求齐次方程的通解.课堂练习1.方程是否可以化为齐次方程？解方程两边同时对求导：原方程可以转化为齐次方程.2.求齐次方程的通解.解令则代入原方程并化简得从而原方程的通解为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.一阶线性方程(1)线性齐次方程其通解(2)线性非齐次方程作变换其通解1.求微分方程的通解.2.设函数可微且满足关系式求课堂练习1.求微分方程的通解.解因为故原方程化为从而所求通解为2.设函数可微且满足关系式求解原方程两边对求导得即其通解为代入初始条件得从而所求的函数为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第一节

微分方程的概念第二节一阶微分方程第四节微分方程的实际案例第三节二阶微分方程内容导航第三章课前导读83内容小结1.型用逐次积分法，连续积分次，可得其解.2.型引入参数法求解，设则代入原方程降阶得到关于的一阶方程求出后，再由方程解出所求未知函数内容小结1.型2.型3.型引入参数法求解，设则代入使原方程降阶，再解之.1.求方程的通解.课堂练习1.求方程的通解.解对所给方程连续积分三次，得这就是所求得通解.随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.线性微分方程解的结构线性相关与线性无关的概念定理1(叠加原理1)定理2(通解结构1)定理4(叠加原理2)定理3(通解结构2)定理51.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？（1）（2）2.给出阶线性微分方程的个解，问能否写出这个微分方程及其通解？课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？（1）（2）解（1）因常数，故该函数组线性无关；（2）因常数，故该函数组线性无关.完2.给出阶线性微分方程的个解，问能否写出这个微分方程及其通解？答不一定能写出微分方程及其通解.因为所提问题中：（1）没有明确微分方程是“齐次”还是“非齐次”；（2）没有明确微分方程的个解是“线性无关”还是“线性相关”.综合练习题练习题答案表4-2内容小结1.齐次方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程;(2)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解.2.二阶常系数线性齐次方程的通解齐次方程特征方程内容小结2.二阶常系数线性齐次方程的通解特征方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根3.阶齐次方程的通解阶常系数齐次线性微分方程的解法齐次方程特征方程特征方程的根通解中的对应项若是的重根若是重共轭复根注:而特征方程的每一且每一项各含一故(1)的通解为次代数方程有个根,个根都对应着通解中的一项,个任意常数.阶常系数齐次线性微分方程的解法综合练习题练习题答案内容小结二阶常系数非齐次线性方程用待定系数法求特解1.型可设特解其中不是根是单根是重根，而是次多项式.内容小结1.型2.型或可设特解其中按不是特征根或是特征根依次取0或1.3.可推广到阶常系数非齐次线性微分方程情形1.写出微分方程待定特解的形式.2.求微分方程的通解.3.求微分方程的通解.4.求微分方程的通解.课堂练习1.写出微分方程待定特解的形式.解设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根），完2.求微分方程的通解.解特征方程的根为对应齐次方程的通解为再求出非齐次方程的一个特解因为1不是特征根，故应取如下形式将其代入原方程，得比较同次幂系数得故所求特解为所以原方程得通解为3.求微分方程的通解.解对应的齐次方程的特征方程为特征根为故该齐次方程的通解为因而不是特征根.故可设原方程的特解形式则求出并代入原方程，化简、整理后可得3.求微分方程的通解.解即于是故所求通解则求出并代入原方程，化简、整理后可得随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第一节

微分方程的概念第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例内容导航第三章课前导读课前导读167P=mg图4-3ohAybPa图4-4opsA(a,0)HyM(x,y)

Tx图4-5o图4-6oxx20-x1.一质量为的物体，在黏性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律.课堂练习2.一质量为的物体，在黏性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律.解取物体下落的那条铅直线为轴，且设当时根据牛顿第二定律，得为比例常数）.分离变量得积分得即解得2.一质量为的物体，在黏性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体的运动规律.解注意到，当时，上式两边积分得即完随堂测随堂测答案基本概念一阶方程

类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容1、基本概念微分方程

凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解

代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件

用来确定任意常数的条件.初值问题

求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．(4)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次，得通解．

型解法代入原方程,得特点

型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数