高等数学（上册）课件总 第3-4 章 一元函数积分学及其应用5 - -微分方程

第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics一元函数积分学及其应用高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第一节

不定积分的概念与性质课前导读3一、原函数一、原函数不定积分的概念二、不定积分二、不定积分二、不定积分二、不定积分二、不定积分二、不定积分二、不定积分二、不定积分y1xOy=x33+C3y=x3图3-1三、基本积分公式三、基本积分公式四、不定积分的性质四、不定积分的性质四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质例6

求不定积分:四、不定积分的性质【举一反三】求不定积分:四、不定积分的性质【举一反三】

求不定积分:四、不定积分的性质【举一反三】

求不定积分:四、不定积分的性质【举一反三】

求不定积分:四、不定积分的性质内容小结1.原函数与不定积分的概念若在区间上，则称为在上的原函数;原函数的全体称为函数即的图形称为的积分曲线.2.基本积分表的不定积分，内容小结1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质的任意两个原函数之间仅相差一个常数.或或由此可见微分运算与积分运算是互逆的.内容小结1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质4.直接积分法即利用基本积分公式和简单变换直接计算不定积分的方法.作为基本功，要熟练掌握之.内容小结1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质的任意两个原函数之间仅相差一个常数.或或由此可见微分运算与积分运算是互逆的.内容小结1.原函数与不定积分的概念2.基本积分表3.不定积分的主要性质4.直接积分法即利用基本积分公式和简单变换直接计算不定积分的方法.作为基本功，要熟练掌握之.1.求下列不定积分课堂练习1.求下列不定积分解随堂测D综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第三章第一节

不定积分的概念与性质第三节有理函数的不定积分第二节不定积分的换元法与分部法课前导读45课前导读46积化和差一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)凑微分的步骤一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)也可以用下列方法解决：一、第一类换元法(凑微分法)一、第一类换元法(凑微分法)二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法二､第二类换元法内容小结1.第一类换元法（凑微分法）设具有原函数可导，则有换元公式公式应用关键:2.常见凑微分公式化为将内容小结1.第一类换元法（凑微分法）2.常见凑微分公式3.第二类换元法（代换法）设是单调可导函数，且又设具有原函数则其中是的反函数.内容小结1.第一类换元法（凑微分法）2.常见凑微分公式3.第二类换元法（代换法）注

:(1)倒代换可起到降低分母次数的作用，当积分表达式中分母的次数较高时，可考虑用此法；(2)掌握第二换元积分法的要领是适当的变量替换然后进行积分计寻找算.这里将常用第二换元法的积分类型总结成一表以便查用.4.基本积分表（续）常见凑微分公式常见第二换元法的积分类型第二换元积分法积分类型换元公式正整数）或或或1.求下列不定积分2.设求课堂练习1.求下列不定积分解(1)原式1.求下列不定积分解(2)解一原式1.求下列不定积分解(2)解二原式1.求下列不定积分解1.求下列不定积分解(4)令则于是原式2.设求解令则从而随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法三､分部积分法内容小结1.分部积分公式2.应用要点:积分容易者选为求导简单者选为3.分部积分公式应用小结(1)若被积函数是幂函数(指数为正整数)和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，可设幂函数为使其降幂一次;内容小结1.分部积分公式2.应用要点3.分部积分公式应用小结(2)若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为(3)若被积函数是幂函数与对数函数或三角函数的乘积，可设对数函数或三角函数为内容小结1.分部积分公式2.应用要点3.分部积分公式应用小结(4)若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积，可任意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的1.求不定积分课堂练习1.求不定积分解随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第三章第三节有理函数的不定积分课前导读138有

理

函

数课前导读139最

简

分

式一、真分式的分解一、真分式的分解一、真分式的分解二.有理函数的不定积分二.有理函数的不定积分二.有理函数的不定积分二.有理函数的不定积分三、三角函数的有理式三、三角函数的有理式三、三角函数的有理式三、三角函数的有理式四、可化为有理函数的简单无理根四、可化为有理函数的简单无理根四、可化为有理函数的简单无理根内容小结1.有理函数的积分任何代数分式总可用长除法化为多项式与真分式之和，而真分式总可用待定系数法（或赋值法）分解为下列四种部分分式（即简单分式）之和:而多项式和上述四种简单分式均可积出，故任何有理函数的积分均可积出.内容小结1.有理函数的积分2.三角函数有理式的积分三角函数总可以通过万能变换:化为有理代数式，故三角函数有理式总可化为有理函数.内容小结1.有理函数的积分2.三角函数有理式的积分3.简单无理函数的积分常用根式代换，将无理函数有理化，再积分之.4.注意事项有理函数和三角有理函数的积分理论上均可采用上述方法进行积分，但往往计算量较大，因而对具体问题计算时，应观察分析是否能采用更简便的方法.求下列不定积分1.课堂练习求下列不定积分解(1)由原式1.求下列不定积分解(2)令则原式1.随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案不定积分习题课积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分一、主要内容1、原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数．2、不定积分(1)定义(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3)不定积分的性质3、基本积分表是常数)5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.常见类型:6、第二类换元法第二类换元公式常用代换:7、分部积分法分部积分公式8.选择u的有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；

哪个在前哪个选作u.9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式令（2）三角函数有理式的积分定义

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．二、典型例题例1解例2解例3解例4解(倒代换)例5解解得例6解例7解例8解例9解例10解例11解测验题测验题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第四节定积分的概念与性质课前导读210y1x=1xOy=x2图3-2一､实例分析xOyy=x2

图3-3一､实例分析一､实例分析曲边梯形的面积if()iyy=f(x)aAbBOxx1xi-1xn+1xi图3-4一､实例分析一､实例分析二､定积分定义二､定积分定义二､定积分定义二､定积分定义二､定积分定义二､定积分定义三､定积分的几何意义yabOxf(x)＞0图3-5f(x)＜0yabOx图3-6三､定积分的几何意义yxOA1A2A4A3++--图3-7图3-8

y123y=x-3Ox三､定积分的几何意义三､定积分的几何意义四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质yabcdxOξ图3-9四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质四､定积分的性质内容小结1.定积分的定义定积分是特殊和式的极限分割求和取极限分割、求和、取极限三个步骤，反映了无限分割与无限求和的思想.定积分的值完全由被积函数和积分区间确定，而与积分变量的记法无关，即定积分在几何上表示某曲边梯形的面积.内容小结一.定积分的定义二.定积分的可积性(1)有限区间上的连续函数一定可积；(2)有限区间上有界且只有有限个间断点的函数也可积.三.定积分的性质内容小结1.规定

:2.线性:3.可加性:(为常数).、三.定积分的性质内容小结5.广义保号性:6.不等式

:7.绝对值不等式:内容小结8.估值不等式:设及分别是在区间上的最大值及最小值，则9.定积分中值定理:如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点使1.证明不等式2.求极限课堂练习1.证明不等式证设则当时，故函数在区间上单调增加，从而根据定积分不等式，得2.求极限解设则在区间上连续，利用不等式性质，从而随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第五节微积分基本定理课前导读253

积分学中要解决两个问题:

第一个问题是原函数的求法问题,前文已经对它做了讨论,第二个问题就是定积分的计算问题.

如果按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的.

因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键.我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念.

但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在的深刻的内在联系,即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式,从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学.牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.一､变速直线运动的路程一､变速直线运动的路程二､积分上限函数积分上限函数(x)=axf(t)dtyy=f(t)abOtxx+Δx图3-12二､积分上限函数(x)Δyy=f(t)abOtxx+Δx图3-13二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数二､积分上限函数三､微积分学基本定理三､微积分学基本定理三､微积分学基本定理yy=5y=2x12Ox图3-14三､微积分学基本定理yy=1-2xy=2x-11112Ox图3-15三､微积分学基本定理yxy=-sinxy=sinxπ2π3π2-图3-16三､微积分学基本定理y1y=xy=x2xO图3-17三､微积分学基本定理S1S2xOy1-1y=x3图3-18三､微积分学基本定理三､微积分学基本定理三､微积分学基本定理内容小结1.积分上限函数及其导数(1)积分上限函数(2)积分上限函数的导数2.牛顿－莱布尼茨公式若是在上的一个原函数，即则微积分基本公式内容小结2.牛顿－莱布尼茨公式微积分基本公式沟通了微分学与积分学之间的关系，指出了微分与积分是互为逆运算的关系.微积分基本公式1.积分上限函数及其导数课堂练习1.设在上连续，则与是的函数还是与的函数?它们的导数存在吗？如果存在等于什么？2.用定积分定义和性质求极限3.计算定积分1.设在上连续，则与是的函数还是与的函数?它们的导数存在吗？如果存在等于什么？解与都是的函数.它们的导数都存在，且2.用定积分定义和性质求极限解原式3.计算定积分解由定积分的性质1，可知完随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分第六节定积分的换元法和分部法课前导读295一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法(1)一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法一､定积分的换元法随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法二､定积分的分部法内容小结1.定积分换元公式设在上连续，函数满足条件:(2)在上具有连续导数，且其值域不超出则注:

公式从左边到右边是换元法，从右到左内容小结1.定积分换元公式注:公式从左边到右边是换元法，从右到左是凑元法

.运用定积分换元公式时，换元须换限，未换元(凑元)不换限；换元后，直接计算得到结果，而不必回代原变量.2.分部积分公式设函数在区间上具有内容小结1.定积分换元公式2.分部积分公式设函数在区间上具有连续导数，则或1.求定积分2.设在上连续,且求课堂练习1.求定积分解原式2.设在上连续,且求解随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第八节反常积分第七节定积分的几何应用和物理应用课前导读342课前导读343一、平面图形的面积yxOSy=f(x)ab图3-19SyxOy=f(x)ab图3-20S1S2S3abyy=f(x)c2c1xO图3-21一、平面图形的面积S1yxOy=a2-x2bababay=baa2-x2图3-22一、平面图形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积abyxOSy=g(x)y=f(x)图3-23一、平面图形的面积yxOSba(y)(y)x=φx=ψ图3-24一、平面图形的面积Sy=axyOxaay=x2a图3-25一、平面图形的面积一、平面图形的面积y2=2xy=x-4OxyS1S24B(2,-2)A(8,4)图3-26一、平面图形的面积Ｘ型区域分割一、平面图形的面积44A(8,4)B(2,-2)-2x=y+4x=y22Oxy图3-27一、平面图形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积44A(8,4)y+dyyB(2,-2)-2x=y+4x=y22Oxy图3-27一、平面图形的面积极坐标xOθM(r,θ)r图3-28一、平面图形的面积yyyxxO(x,y)M(r,

θ)θr图3-29一、平面图形的面积xOθ=αθθ=βθ+dθdθr=r(θ)图3-30一、平面图形的面积dθ2πr=r(θ)图3-31Ox一、平面图形的面积Oxαβ图3-32r=r2(θ)r=r1(θ)一、平面图形的面积阿基米德螺线OrO2πr=aθ2πa图3-33一、平面图形的面积r=a(1+cosθ)PrOx2ayθ图3-34一、平面图形的面积y=xOx2ayy=x4π图3-35双纽线一、平面图形的面积内容小结求平面图形的面积:1.直角坐标系情形2.参数方程情形3.极坐标系情形1.求正弦曲线和直线轴及所围成的平面图形的面积.2.求由曲线及直线所围成的平面图形的面积.3.计算阿基米德螺线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积.课堂练习1.求正弦曲线和直线轴及所围成的平面图形的面积.解如图,曲线位于轴上方,而当时,曲线位于轴下方,故所求面积为时,当2.求由曲线及直线所围成的平面图形的面积.解如图,与先求出曲线交点的纵坐标,解方程组得(舍去)面积微元:所求面积为3.计算阿基米德螺线上相应于从0变到的一段弧解如图,在指定的这段螺线上,的变化区间为相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似等于从而得到面积微元与极轴所围成的图形的面积.中心角为的圆扇形的面积.为半径所求面积为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案二、空间立体的体积圆柱圆锥圆台图3-36旋转体Oy=f(x)axxx+dxb图3-37二、空间立体的体积ydxaxbxOf(x)图3-38xbaf(x)yxx+dx图3-39二、空间立体的体积ydcxOx=g(y)dVy=g2(y)dy图3-40旋转体二、空间立体的体积xaxx+dxObyy=a2x2ba-图3-41二、空间立体的体积二、空间立体的体积二、空间立体的体积-aaxOθPy图3-42二、空间立体的体积yxy=4y=2y=1xO图3-43二、空间立体的体积yat2aaaxOa图3-44二、空间立体的体积xS(x)yy=f(x)xabO图3-45二、空间立体的体积baxx+dxOx图3-46二、空间立体的体积平面截圆柱体的体积yO-RRxxyx2+y2=R2图3-47二、空间立体的体积二、空间立体的体积yO-RRxxyx2+y2=R2图3-47xzyx+dxaxO图3-48二、空间立体的体积内容小结1.旋转体的体积设旋转体由图形绕轴旋转而成的，则该旋转体体积生成旋转体的三种方式绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周内容小结1.旋转体地体积2.已知平行截面面积的立体的体积设连续函数表示过点且垂直于轴的截面面积，则该立体的体积1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.2.求由曲线与直线绕旋转一周所生成的旋转体的体积.所围成的图形及课堂练习2.求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积.解画出草图，选为积分变量，体积微元为所求体积为旋转，绕1.求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.解画出草图，解得交点为及于是，所求绕轴旋转而成的旋转体的体积并由方程组所求绕轴旋转而成的旋转体的体积随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案三、曲线的弧长yM1M2Mi_1MiB=MnA=M0Ox图3-49三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长三、曲线的弧长内容小结1.平面曲线弧长的概念设曲线弧的弧长为在弧上插入分点定义其中2.求弧长的公式(1)直角坐标系情形内容小结1.平面曲线弧长的概念2.求弧长的公式(2)参数方程情形(3)极坐标系情形1.计算曲线的弧长2.求阿基米德螺线上相应于从0到的弧长.课堂练习1.计算曲线的弧长解2.求阿基米德螺线上相应于从0到的弧长.解弧长元素：所求弧长：随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案*四、定积分在物理上的应用举例O18cmx图3-51*四、定积分在物理上的应用举例*四、定积分在物理上的应用举例*四、定积分在物理上的应用举例yxdxxO10图3-52*四、定积分在物理上的应用举例*四、定积分在物理上的应用举例*四、定积分在物理上的应用举例Oxhxa2yx+dx图3-53*四、定积分在物理上的应用举例*四、定积分在物理上的应用举例内容小结1.变力沿直线作功一物体在变力的作用下，从点移动到点时所作的功实际应用中，许多问题可转化为此类情形来求解.沿着轴2.水压力垂直放置在水中的平板（其面积由及所围成），其一侧所受的水压力是水的比重).1.有一圆台形的桶，盛满了汽油，桶高为3米，上、下底半径分别为1米及2米，试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度千克/2.一矩形水闸门，宽20米，高16米，求闸门上所受的总压力.课堂练习水面与闸门顶齐,1.有一圆台形的桶，盛满了汽油，桶高为3米，上、下底半径分别为1米及2米，试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度千克/解取坐标系如图所示,考察区间所对应的小薄层，其截面积为此小层汽油量为千克，将此层汽油提高到桶外面的距离是因此所作的功(千克米)，要将桶内的汽油全部吸尽所作的功就是(千克米).2.一矩形水闸门，宽20米，高16米，求闸门上所受的总压力.解取坐标系如图所示，在区间上任取一小区间相应的小横条上的压力微元为是水的比重）于是闸门上所受的总压力为(吨).综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第一节

不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的几何应用和物理应用第八节反常积分课前导读443一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分反常积分一、无限区间上的反常积分yy=11+x21bxOy1O2by=1xx图3-54图3-55一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分一、无限区间上的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）内容小结1.无穷限的广义积分设函数在相应区间上连续，定义若上述等式右端极限存在，则称左边的广义积分收敛，否则称为发散.而当时收敛，当时发散.2.无界函数的广义积分（瑕积分）设函数在相应区间上连续，且分别在点的右邻域、的右邻域、的邻域内无界，定义若上述等式右端极限存在，则称左边的广义积分收敛，否则称为发散.而当时收敛，当时发散.1.计算广义积分2.判断广义积分的瑕点.课堂练习1.计算广义积分解原式2.试判断广义积分的瑕点.解该积分可能的瑕点是又不是瑕点.故所讨论积分的瑕点是随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案THANKSe7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics高等数学第三章一元函数积分学及其应用人民邮电出版社第四章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics微分方程高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第三章第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例第一节

微分方程的概念课前导读479一､微分方程的引例一阶微分方程的概念y321(1,2)Ox图4-1mx=x(t)xO图4-2内容小结微分方程的基本概念(1)凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.数的阶数(3)代入微分方程使方程成为恒等式的函数称为该方程的解.(4)若微分方程的解中含有任意常数，且任(2)微分方程中出现的未知函数的最高阶导称为该微分方程的阶.与微分方程的阶数相同，这意常数的个数样的解称为微分方程的通解.内容小结微分方程的基本概念(5)确定了通解中任意常数以后的解，称为微分方程的特解.(6)用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.(7)求微分方程满足初始条件的解的问题(8)微分方程的解的图形(曲线)(9)微分方程的通解的图形，称为初值问题.方程的积分曲线.称为微分方程的积分曲线族.称为微分1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.课堂练习1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.解因为将其代入题设方程，得故是原方程的解.1.验证函数是微分方程的解，并求满足初始条件的特解.解故是原方程的解.由条件得代入函数的表达式中，得所求特解随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第一节

微分方程的概念第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例内容导航第三章课前导读511内容小结1.可分离变量微分方程分离变量得两边积分得计算不定积分即得到微分方程的通解.1.求微分方程的通解.课堂练习1.求微分方程的通解.解移项得和差化积两边积分所求通解为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.可分离变量微分方程2.齐次方程作变量代换则方程化为可分离变量方程1.方程是否可以转化为齐次方程？2.求齐次方程的通解.课堂练习1.方程是否可以化为齐次方程？解方程两边同时对求导：原方程可以转化为齐次方程.2.求齐次方程的通解.解令则代入原方程并化简得从而原方程的通解为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.一阶线性方程(1)线性齐次方程其通解(2)线性非齐次方程作变换其通解1.求微分方程的通解.2.设函数可微且满足关系式求课堂练习1.求微分方程的通解.解因为故原方程化为从而所求通解为2.设函数可微且满足关系式求解原方程两边对求导得即其通解为代入初始条件得从而所求的函数为随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C第一节

微分方程的概念第二节一阶微分方程第四节微分方程的实际案例第三节二阶微分方程内容导航第三章课前导读559内容小结1.型用逐次积分法，连续积分次，可得其解.2.型引入参数法求解，设则代入原方程降阶得到关于的一阶方程求出后，再由方程解出所求未知函数内容小结1.型2.型3.型引入参数法求解，设则代入使原方程降阶，再解之.1.求方程的通解.课堂练习1.求方程的通解.解对所给方程连续积分三次，得这就是所求得通解.随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案内容小结1.线性微分方程解的结构线性相关与线性无关的概念定理1(叠加原理1)定理2(通解结构1)定理4(叠加原理2)定理3(通解结构2)定理51.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？（1）（2）2.给出阶线性微分方程的个解，问能否写出这个微分方程及其通解？课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的？（1）（2）解（1）因常数，故该函数组线性无关；（2）因常数，故该函数组线性无关.完2.给出阶线性微分方程的个解，问能否写出这个微分方程及其通解？答不一定能写出微分方程及其通解.因为所提问题中：（1）没有明确微分方程是“齐次”还是“非齐次”；（2）没有明确微分方程的个解是“线性无关”还是“线性相关”.综合练习题练习题答案表4-2内容小结1.齐次方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程;(2)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解.2.二阶常系数线性齐次方程的通解齐次方程特征方程内容小结2.二阶常系数线性齐次方程的通解特征方程特征根的情况通解的表达式实根实根复根3.阶齐次方程的通解阶常系数齐次线性微分方程的解法齐次方程特征方程特征方程的根通解中的对应项若是的重根若是重共轭复根注:而特征方程的每一且每一项各含一故(1)的通解为次代数方程有个根,个根都对应着通解中的一项,个任意常数.阶常系数齐次线性微分方程的解法综合练习题练习题答案内容小结二阶常系数非齐次线性方程用待定系数法求特解1.型可设特解其中不是根是单根是重根，而是次多项式.内容小结1.型2.型或可设特解其中按不是特征根或是特征根依次取0或1.3.可推广到阶常系数非齐次线性微分方程情形1.写出微分方程待定特解的形式.2.求微分方程的通解.3.求微分方程的通解.4.求微分方程的通解.课堂练习1.写出微分方程待定特解的形式.解设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根），完2.求微分方程的通解.解特征方程的根为对应齐次方程的通解为再求出非齐次方程的一个特解因为1不是特征根，故应取如下形式将其代入原方程，得比较同次幂系数得故所求特解为所以原方程得通解为3.求微分方程的通解.解对应的齐次方程的特征方程为特征根为故该齐次方程的通解为因而不是特征根.故可设原方程的特解形式则求出并代入原方程，化简、整理后可得3.求微分方程的通解.解即于是故所求通解则求出并代入原方程，化简、整理后可得随堂测随堂测答案综合练习题练习题答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E