25.3 实际问题与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章一元二次方程2026人教版·九年级上册25.3实际问题与一元二次方程第1课时数字问题与几何图形问题1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.学习目标以前，我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？复习回顾1.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；2.设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；3.列(根据题目中的等量关系，列出方程)；4.解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；5.验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）6.答(写出答案，切忌答非所问).例1

是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？a²＋b²＝c²追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？例题分析例题分析例1

是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为

x，x+1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得

x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得

x1=3，x2=–1（不符合题意，舍去）.因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.新知小结解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.即时即练1.

绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，求绿地的宽.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为

⁠.2.

一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是

m.x（x＋10）＝900

12例2

用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例题分析分析：假设细绳能围成面积为96m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为

xm，由周长为40m，可用含

x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.例2

用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？解：设矩形的一边长为

xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20–x)m；再由矩形的面积为96m2，得x(20–x)=96.解方程，得

x1=12，x2=8.因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2

的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.例题分析追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？可知12m和8m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域.例2

用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例题分析因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为

m；(10-

x)例题分析思考对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为

m；能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.解方程，得

x1=12，x2=8.方法二：可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-

x)m；根据矩形面积公式(10+x)(10-

x)＝96解方程，得

x1=2，x2=-2.则其两邻边长分别为12m，8m.方法一：设一边长为xm，邻边长为m.例题分析特点：方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程.方法二：利用“周长为40，则长+宽=20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值.新知小结即时即练3.要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，设银边的宽为xcm，那么可列方程为

⁠

.12cm8cm(12+2x)(8+2x)=8×12×2课堂小结列一元二次方程解应题步骤与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性类型数字问题关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数数字问题沙及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长等课堂练习1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2

的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：设矩形的长为

xm，宽为(20–x)m.当矩形面积为75m2时，x(20–x)=75，解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.所以，矩形的长为15m，宽为5m时，面积为75m2.当矩形面积为101m2时，x(20–x)=101，因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域.（选自教材第21页练习第1题）2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB

上是否存在点

E，使得∠DEC为直角.课堂练习（选自教材第21页练习第2题）DCAB14E课堂练习（选自教材第21页练习第2题）DCAB14E3.某村计划构建如图所示的矩形蔬菜温室，其长为28m，宽为14m.在温室内，需设置人行通道，前侧空地与其他三侧内墙通道宽度的比值是3∶1.求当其他三侧内墙通道宽度为多少时，蔬菜种植区域的面积为288m2？课堂练习前侧空地蔬菜种植区域课堂练习解：设其他三侧内墙通道宽度为xm，由题意，得（28－4x）（14－2x）＝288，整理，得x2－14x＋13＝0，解得x1＝1，x2＝13（不合题意，舍去）.答：当其他三侧内墙通道宽度为1m时，蔬菜种植区域的面积为288m2.4.

一个矩形周长为56厘米.（1）当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？课堂练习解：（1）设矩形的长为x厘米，则宽为（28－x）厘米，依题意，得x（28－x）＝180，解得x1＝10（舍去），x2＝18.则28－x＝28－18＝10.答：长为18厘米，宽为10厘米；（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由.解：（2）不能围成面积为200平方厘米的矩形.理由如下