5.2.3 勾股定理的逆定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

新湘教版八年级上册数学第5章直角三角形5.2.3勾股定理的逆定理学习目标1.

能利用勾股定理逆定理的数学模型解决现实世界的实际问题；2.运用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形.任务导入以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)探索展示我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.”它的逆命题是怎样的？逆命题为：如果三角形的三边a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.探索展示如图，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ABCcab到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形.于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角.联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角，则可判断△ABC是直角三角形.下面我们按此思路来探索.探索展示如图，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ABCcab证：作Rt△A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=bA'B'C'c'ab在Rt△A′B′C′中，

根据勾股定理得，A′B′

2=a2+b2∵

a2+b2

=c2∴

A′B′2=c2在△ABC

和△A′B′C′中从而

A′B′=cAC=A′C′BC=B′C′AB=A′B′∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS)从而∠C=∠C′=90°即△ABC是直角三角形.先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.探索展示ABCcab于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题.由此得到勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理勾股定理的逆定理判定定理性质定理例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.(1)a=6，b=8，c=10；(2)a=12，b=15，c=20。(1)

∵

62+82=100，102=100，

∴62+82=102

从而这个三角形是直角三角形.解：(2)∵

122+152=369，202=400，

∴122+152≠202

从而这个三角形不是直角三角形.只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.应用提升有趣的知识常见勾股数：3，4，55，12，136，8，107，24，25应用提升课堂练习1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.(1)a=1，b=，c=；(2)

a=8，b=15，c=17；(3)

a=10，b=24，

c=25；(4)

a=9，b=40，

c=41是直角三角形是直角三角形不是直角三角形是直角三角形应用提升例2如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.ABCD解:在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8∵62

+82=102即AD2+BD2=AB2∴

△ADB为直角三角形.从而∠ADB=90°∴∠ADC=180°-∠ADB=90°在Rt△ADC中，DC2=AC2

-

AD2∴2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，

且EC=BC.

求证：

△AEF是直角三角形.应用提升课堂练习ABCEFD证:∵

F为CD的中点∴DF=CF=2∴

BE=3在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2=DF2+AD2=22+42=20同理可得AE2=25，

EF2=5∴AE2=AF2+

EF2从而△AEF是直角三角形当堂检测1.2.

下列四组数中，是勾股数的是(

)C

BA.

锐角

B.

直角C.

钝角

D.

无法确定3.若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a+b)²−c²=2ab，则此三角形中最大的角是____。

（第4题）4.如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是__________。5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，∠A=