2027金版教程一轮复习数学基础版第11章第5节　离散型随机变量的分布列及数字特征

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节离散型随机变量的分布列及数字特征课标解读考向预测通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).预计2027年高考仍将以条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值与方差的计算、统计为核心，整合构建综合解答题.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有_______________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称_____________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．唯一的实数X(ω)X取每一个值xi的概率3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．(2)________________＝1.p1＋p2＋…＋pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_______________为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的_____________．偏离程度5．两点分布的分布列及其数字特征若X服从两点分布，则分布列如下：期望E(X)＝____，方差D(X)＝_____________．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．6．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝___________．(2)D(aX＋b)＝___________(a，b为常数)．pX01P1－ppp(1－p)aE(X)＋ba2D(X)1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．3．均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．√×题组一走出误区——判一判(1)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(

)(2)如果随机变量X的分布列由下表给出，则X服从两点分布．(

)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(

)(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)X25P0.30.7×√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第三册7.2练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是(

)A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点解析：“X≥5”表示第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数不小于5，即只能等于5.故选D.(2)(人教B选择性必修第二册第四章复习题T5改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．考点探究提素养考点一离散型随机变量分布列的性质已知随机变量X的分布列为其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范围是______．X－101Pabc离散型随机变量分布列的性质的应用应用一利用“概率之和为1”可以求相关参数的值应用二利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率应用三可以根据性质判断所得分布列结果是否正确1.设离散型随机变量X的分布列为(1)求2X＋1的分布列；(2)求随机变量Y＝|X－1|的分布列．X01234P0.20.10.10.3m解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的分布列为X012342X＋1135792X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)由(1)知m＝0.3，列表为所以P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故Y＝|X－1|的分布列为X01234|X－1|10123Y0123P0.10.30.30.3在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．考向2与古典概型有关的分布列某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名，高二年级的参赛选手5名，其中男生3名．从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列．(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．3.有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每名学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知当X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列．考点三离散型随机变量的数字特征(多考向探究)考向1数字特征的计算某班元旦联欢晚会上，设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球、1个黄球、1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学们不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求A同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．求离散型随机变量X的数字特征的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．4.(2025·北京卷，18)有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对该题目的人数，求恰有1人做对该题目的概率以及X的数学期望；(3)若甲校学生掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校学生掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的学生都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)．随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．5.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格/(元/个)使用寿命/月甲10007或8乙4003或4品牌价格/(元/个)使用寿命/月甲10007或8乙4003或4课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考点离散型随机变量取相应值的含义利用离散型随机变量分布列的性质求参数；求特定事件的概率数字特征的计算在两点分布中，利用离散型随机变量分布列的性质求参数数字特征的计算求特定事件的概率数字特征的计算数字特征的计算利用离散型随机变量分布列的性质求参数；数字特征的计算数字特征的计算题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点利用离散型随机变量分布列的性质求参数数字特征的计算求特定事件的概率数字特征的计算与古典概型有关的分布列；数字特征的计算与条件概率有关的分布列；数字特征的计算利用离散型随机变量分布列的性质求参数；求特定事件的概率数字特征的应用与互斥事件、独立事件有关的分布列数字特征的应用一、单项选择题1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(

)A．甲赢三局

B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局两次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次解析：因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以{X＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．2．(2026·贵州贵阳模拟)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为则P(X≥9)＝(

)A．0.2B．0.4 C．0.6D．0.8解析：由分布列的性质，得0.06＋0.14＋m＋2m＋0.2＝1，解得m＝0.2，则P(X≥9)＝0.4＋0.2＝0.6.故选C.X678910P0.060.14m2m0.25．已知随机变量X，Y的分布列如下表，若a，b，c成等差数列，则下列结论一定成立的是(

)A.D(X)>D(Y) B．E(X)＝E(Y)C．E(X)<E(Y) D．D(X)＝D(Y)X321PabcY123Pabc7．(2026·河北邢台模拟)在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则E(X)＝(

)A．1.8 B．1.7C．1.6 D．1.58．(2026·河南新乡模拟)某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为(

)A．1716.8元B．206.5元

C．168.6元 D．156.8元X678P0.40.50.1解析：记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的所有可能取值为12，13，14，15，16，P(Y＝12)＝0.42＝0.16，P(Y＝13)＝2×0.4×0.5＝0.4，P(Y＝14)＝0.52＋2×0.4×0.1＝0.33，P(Y＝15)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(Y＝16)＝0.12＝0.01.若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的所有可能取值为0，280，560，840，P(Z＝0)＝P(Y≤13)＝0.16＋0.4＝0.56，P(Z＝280)＝P(Y＝14)＝0.33，P(Z＝560)＝P(Y＝15)＝0.1，P(Z＝840)＝P(Y＝16)＝0.01，所以E(Z)＝280×0.33＋560×0.1＋840×0.01＝156.8.故选D.102413．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2|x|＋1.现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则X<3的概率为________．14．(2025·新课标Ⅰ卷，14)一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若每次取1个，有放回地取3次，记至少被取出1次的球的个数为X，则数学期望E(X)＝________．四、解答题15．盒中有标记数字1，2的小球各2个．(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X＝2)，求X的分布列及数学期望E(X)．19．某中学有A，B两个餐厅为老师和学生提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下：假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．选择餐厅情况(午餐、晚餐)(A，A)(A，B