2025-2026学年高一数学下册人教A版必修第二册期末测试卷

高一下学期期末测试卷（人教A版必修第二册）

一、单选题

1.“。=-1或〃=1”是“复数z=〃2-l+（a+l）i为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.充要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件

2.己知向量自，4不共线，且（21-&；）//（3冢+2可则实数九=（）

4

A.—B.1C.—2D.2

3

3.设/,m是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，以下说法正确的是（）

A.若m!la,则/_LaB.若/〃乃，aA./3,则/_La

C.若tn-LP,a工P,则/_1_夕D.若/_L5，m±p,则/_1_夕

4.一组数据从小到大排列为：3,4,5,6,7,9,12,14,若该组数据的笫25百分位数、

中位数、平均数分别是a,b,c,则（）

A.b<c<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

5.有4个分别标有数字1,2,3,4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.

甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表

示事件”两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5"，则下

列选项正确的是（）

A.甲与乙互斥B.丙与丁对立C.甲与西相互独立D.乙与丁相互独立

6.“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.如图，在

一个盛满米的“方斗”容器中，AB=6.A与=4,若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一

A.6.1kgB.9.1kgC.12.2kgD.13.65kg

7.已知中，角4B、C的对边分别为久b、c,a=3,且＜?二力，则△4BC面积的

最大值为（）

3

A.3B.y/3C.2,\/3D.—

乙

8.如下图，在四边形ABC。中，8c=3,CD=DA=243,而6=0，C/5.加=6，E，

产分别为边BC,CD上的动点，且EF=2,则荏・乔的最小值为（）

A.24B.36-66C.30D.20

二、多选题

9.某县各小学为庆祝“六・一”儿童节，县文艺团组织一次表演活动，8名裁判对某一节目进

行评分，统计结果是平均分为9.2,标准差为L2,为体现公平性，去掉一个最高分9.9和一

个最低分8.1（最高分和最低分只有一个），则（）

A,中位数不变，且极差变大B.中位数不变，且极差变小

C.平均分变小，且标准差变大D.平均分变大，且标准差变小

10.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签,

每次取一张.事件A="第一次取到标号为1或2的号签“，事件8="第二次取到标号为5

的号签“，事件C="两张号签标号之和为5"，则（）

A.A与3独立B.8与。对立

213

C.KAC）=—D.P（A+B）=—

2525

II.如图，在棱长为2的正方体A5CQ-A万G2中，点M在线段BG（不包含端点）上运

动，则下列结论正确的是（）

A.正方体A8CD-AqGR的外接球表面积为48乃

试卷第2页，共4页

B.异面直线AM与从。所成角的取值范围是3

C.直线4"//平面AC"

D.三棱锥R-AMC的体积随着点M的运动而变化

三、填空题

12.设g,B为单位向量,才在/；上的投影向量为9，则附-6卜

13.已知在直三棱柱ABC-AMG中，8s=2石，BC=2,ZBAC=^,则该三棱柱外接

6

球的体积为.

14.某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分

层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1,女生每

天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为

四、解答题

15.已知向量4=(1,2),b=(2,-1).

(1)若同=手，且(a+c)_Lj求向量值与向量e的夹角；

⑵若同=5,且侬+5)依求向量上的坐标.

16.某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100

分)，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

⑴根据频率分布直方图，求工的值；

⑵求满意度评分的中位数和平均数.

⑶若采用按比例分层抽样的方法从评分在[60,70).[70,80)的两组中共抽取5人，再从这5

人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在［60,70)和［70,80)内各1人的概率.

17.如图，在三棱柱4BC-A8G中，D,E分别是棱8CMB上一点，且2BC=3H£),BE=2AE.

(1)证明：直线AE,G。，交于同一点；

V

⑵记三棱台石B。-A蜴G的体积为匕，多面体4CDEAG的体积为匕，求昔的值.

18.在△48C中，角A,8,。的对边分别为Q,b,c且acosC-〃+/=().

⑴求4;

(2)若4力8c的面积为2余山。且4ABC为锐角三角形，求4A8C周长的取值范围.

19.如图，四棱锥P-A8co中，尸D_L平面48CD,底面A8C0是正方形，PD=AB=2,E为

PC中点.

⑴求证：P4〃平面瓦汹；

⑵求证：OE_L平面PCA；

⑶求直线R4与平面PBD所成角的大小.

试卷第4页，共4页

参考答案

题号12345678910

答案CADCDCAABDACD

题号11

答案BC

1.C

【详解】若复数Z=〃—l+(〃+l)i为纯虚数，则“二:，解得。=1,

4+1W0

所以“a=-1或。=1”是“发数z=/-l+(a+l)i为纯虚数”的必要非充分条件.

2.A

【详解】因为向量I，.不共线，且(24-/1砧//(31+2初,

那么存在实数人使得21-/^=乂3家+2习，

2

2=3女3

则有Z2l解得

_4,

-3

3.D

【详解】对于A,若〃"/a,贝i」/ua或///a或/与a相交，故A错误；

对于B,若/〃夕，c_L〃，则/ua或〃/a或/与〃相交，故B错误；

对于C,若/_L〃?，〃?_L〃，,则/ua或或！与a相交不垂直或/与a垂直，故C

错误；

对于D,若/_L〃，tn±P,则//"〃，又因为〃z_La,则/_La,故D正确.

4.C

【详解】数据从小到大排列为:3,4,5,6,7,9,12，14,

第25百分位数位置"，"％=8x；=2,为第2和第3项的平均值,

中位数的位置i=〃x50%=8x0.5=4,为第4和第5项的平均值,

故人=3

3+4+5+6+7+9+12+1415

平均数。=8-T

答案第1页，共9页

:.a<b<c.

5.D

【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),

(30,(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12种情况;

令事件A表示：第一次取出的球的数字是1,则其={(1,2),(1,3)。4)},

令事件8表示：第二次取出的球的数字是3,则8={。,3),(2,3),(4,3)},

显然Ac3={(l,3)},所以甲与乙不互斥，故A错误：

令事件。表示：两次取出的球的数字之和是4,则C={(1,3),(3.1)},

令事件D表示：两次取出的球的数字之和是5,则。={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)},

显然所以内与Jd、对立，故B错误：

由尸⑷WTP(O=WP(AC)=~所以P(AC)“(A)P(C),

所以甲与丙不独立，故C错误：

又P⑻W,P(D)=d，尸(8D)=1=P(5)尸0),

所以乙与丁相互独立，故D正确.

6.C

【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面4282c2。2处，

由题意可知正四棱台A/C2-A4C'。和AMC'Q-A避Cd的高相等，设为/?.

因为AB=6,A4=4,贝!4^2=5,

可得kc，,=*(42+4x5+52)=争，入-m=%(52+5x6+6)="

设剩余的米的质量为xkg,

答案第2页，共9页

61,

i7—hri

则也__3_=21-X

匕鹏）-91J91—18.2解得x=12.2.

A»n-»C>LA-/WCD------〃

3

7.A

【详解】因为4=3,c=2b,由余弦定理：a2=lr+c2-2bc-cosA»

5/,2_g

BP9=/?2+4/?2-4b2cosA»所以cos4=2----»

4b2

"从-9丫_，-9伊-10/九9)

因为在△48C中，4e（0,兀），所以siM=Jl-cos2A=』1一,-,

YI4〃J4/r

所以S=-后n-2叵FL叵三亘，

224b24

b+c>a

令r=〃2,因为<4+Z?>c,得l〈b<3,即1<Z<9,

a+c>b

则-9(Z?4-10Z?2+9)=-9(r-10r+9)=-9(r-5)2+144,

这是关于/的二次函数，开口方向向下，所以当/=5时，二次函数取到最大值为144,

此时SmL；'而=3.

8.A

【详解】设E尸中点为M,连接CM,

因为C方C5=0，

所以CBJ_CQ,CE_LCr,

所以CM=1E尸=1,

2

所以M的轨迹是以。为圆心，1为半径的一段圆弧，

连接AC,AM,

则/L（配一方）2=|配F+|丽|2_2亚.砺=12+12+12=36,

所以|北|=6,

答案第3页，共9页

所以A三A户=（4点_；而）（人力+；加）=砌2_；瓯2

因为|再闫配1-1=5,

——.・21—.2

所以4E・A/=A"--EF225-1=24.

4

9.BD

【详解】记8个评分从小到大依次为8.1,西，々，…，儿，99，

则该组数据的中位数为"乜，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不变，极差变小，

故A错B对.

由于9丝9+罗81=9<92,所以去掉一个最高分和一个最低分后，

平均分变大，数据更集中，所以标准差变小，故C错D对.

10.ACD

【详解】选项A,尸（A）=],P（B）=]且P（A8）=乳==

因为P（AB）=P（A>P（8）,所以A与8独立.

选项B,因为P（C）=P（I,4）+P（2,3）+P（3,2）+P（4,1）=W，P（8）+P（C）",所以B与C

4J

不对立.

选项C,P（/lC）=P（h4）4-P（2,3）=lxl+lxl=^.

JJJJ/J

、21213

选项D,P（A^B）=P（A]P（B）-P（AB）=----=-.

+J+J2J

11.BC

【详解】正方体对角线长为26,即为外接球直径，因此球半径为,一退，球表面积为

S=4nr~=12兀，A错；

正方体中A3与GR平行且相等，八8CQ是平行四边形，ADJ/BC、,

△A乃G是正三角形，4例与3G的夹角（锐角或直角）的范围是（三段,因此B正确；

由上述知8G〃A。，而602平面AC。，4Ru平面AC",所以8G〃平面AC。，

同理AB//平面AC。，又ABCBC=B,A及8Gu平面ABG，

所以平面ABG〃平面AC。，而AMu平面A8G，所以AM//平面AC。，C正确；

答案第4页，共9页

由8CJ/平面AC。，因此M到平面AC"的距离不变，AACA面积确定,

所以％-AMC=^M-ACD,不变，D错.

12.2x/2

9

1Ub1£•1

【详解】因为4在日上的投影向量为所以方力二1^,又B为单位向量，所以力3=9

3\b\03

所以附_/=yl(3@—b)=\l9a2—6ab+b2=^9xI2—6x^+12=2\/2.

13.36TC

2o”BC=2

【详解】设底面三角形ABC外接圆圆心。i，则।sin/B4C，.J-，即。乃=2,

sin—

6

设该三棱柱外接球球心为0，则OOJ网旦00'=争当=后,

由OQ_L底面48C,且。产u底面48C,故。。_LO/,

即BO=Qoo：+()B=J(X/5)2+22=3，

则该三楂柱外接球的体积为4三7rx33=36兀.

14.2.14

【详解】由题意，总体的均值为芸x2.5+黑;xl=

1.6

I(XX)I()()()

根据分层抽样的性质，则总体的方差为

网■x「l+(2.5-1.6)1+您■x「2+(l-1.6)2]=0.724+1.416=2.14.

100()L'7J100()L'7J

15.⑴年

(2/=(4,3)或3=(-4,-3)

【详解】(1)因为m+c)_L*所以(〃+c)Y=。，即q.d4^=o,

所以同洞COS(万用+同2=0,即石X乎X8S(不©+；=0»

答案第5页，共9页

所以cos8©=-g,因为兀］,所以依*〉=用；

(2)因为。=(1,2),^=(2,-1),所以为+/；=(4,3),

因为(24+9/依设d=R2d+〃)=(443/l),

贝1」忖=后7=5,解得4=±1,

故守=(4,3)或1=(4-3).

16.(l)x=0.03

⑵86：(或竿)，84

*

【详解】(1)(0.005+0.014-0.015+X+0.04)X10=1=>X=0.03；

(2)0.05+0.1+0.15=0.3：所以中位数在［80,90)内，设中位数为m,

(m-80)x0.03=0.2=>m=861(或等).

x=55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84.

(3)［60,70)与［70,80)的频率之比2:3,

所以5人中有2人来自［60,70)组，设为4，生，3人来自［70,80)组，设为乙也也，

C’63

P(A)=fU=^=£,或者列举法：%%,。瓦岫?,砧尸,a包,。2瓦,1他力四,b2b③共10种

情况，

符合条件的6种情况叫，哂，叫,她岫，她；尸⑷哈=|.

or\RFo)

17.(1)因为2BC=3BO,BE=2AE,所以—；————»所以DE//AC,DE——AC.

BCBA33

因为AC〃AG,AC=AG，所以。E〃AG，DEwAC，则直线AE与GD相交.

设直线AE与G。的交点为P,如图.

因为点P在直线AE上，且AEu平面人即小，所以Pw平面4科人.

因为点尸在直线G。上，且GOu平面3CG4,所以Pw平面8CGg.

答案第6页，共9页

因为平面48AAe平面BCC.B,=%,所以点P在直线姐上,

即直线4］，G。，B乃交于点P.

【详解】（1）略

（2）设AABC的面积为S,三棱柱48C-A4G的高为人

则三棱柱48c-AB|G的体积V=Sh.

因为OE//AC,所以△BDEs/CA,且照二彳，

BC3

4

所以△/〃)E的面积s；=§S,

则三校台EBD-AMG的体积X=5"+S+6^)=黑?.

V；_19.f19s八_19

故u—=—Sch丁Sh----Sh=—.

以匕27127J8

18.(1)A=1

⑵(6+26,12+4@

【详解】(1)因为acosC-8+,。=0,由正弦定理得sinAcosC-sinB+'sinC=0,

7.2

因为A+"+C=7t,

所以sinB=sin(7t—A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以cosAsinC=gsinC,因为AC«0,兀)，所以sin。。0,

所以cos4=g,A=y.

答案第7页，共9页

(2)因为SJBC=；absinC=2asinC,所以〃=4,

h

由正弦定理三菽有'

SUVAsinB

八2siM=△sin以地,b.厂4sinC

----sinC=-----

sinBsinB3sinBsinBsinB

所以a+c=+4sinC,因为A+8+C=7i,sinC=sinf-=—cosB+—sinB,

sinB\3)22

2>/^+2Gcos3+2sinB_rr1+cosB_2>/3.

g、【a+c=--------------------=2,3-------+2=-----+2

所以sinBsinBB»

tan