浙江省慈溪市2024-2025学年高一年级下册期末测试数学试题（含答案）

浙江省慈溪市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.某方有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家.为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配

的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为()

A.12B.6C.4D.2

2.已知4(一1,一1),B(%3),C(2,5)三点共线,则翼=()

A.1B.3C.-1D.-2

3.已知z-i=4里，则z的虚部为()

0—1

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知直线Q,b与平面a,0,则能使a_L0的充分条件是()

A.a1a,b1p,a//bB.aca,be/?,alb

C.a//b,a1p,bc-aD.an/?=a,h±a,hc-p

5.柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只.若4表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，

但不是一双手套“，8表示事件“取出的手套都是右手的”，C表示事件“取出的手套不成双”，则()

A.P(C)=P(A)+尸(8)B.尸(4U8)=尸(4)+尸(8)C.P(4B)=PQ4)尸(8)

D.P(AUC)=+P(C)

6.已知否,若2是两个垂直的单位向量.若M=击—备,石=2药+电，设向量工面勺夹角为。，则cosb=

()

底

•T

7.在cABC中，内角所对的边分别为a,b,c,若B=5,c=2,且Q—1=V5COSC，贝=()

c、后一&

8.一人棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的

最大值为()

A.2后B.6显C.875D.24百

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在圆锥P。中，48=4,。8=8。=2&，点£为线段「£上的动点，则()

第1页

A.PO=y/3

B.圆锥P。的侧面积为4或兀

C.直线P/与所成角为与

D.当E为线段P8中点时，直线CE与平面P4B所成角的正弦值最大

10.已知复数Zi*2均不为零，则()

22

A.zi+Z2=有+药B.(zj-z2)=|z7-Z2I

C.五.安=五超D.(|1)=5

11.在△48C中，内角所对的边分别为a,b,c,若B=120。瓦5在府上的投影向量为一,正，则

()

A.a=icB-tanA=

34

C.(丽+6玩)•前=0D.SM"二等c2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设力,8是一个随机试验中的两个事件，记耳为事件8的对立事件，若PG4)=0.8,P(豆)=0.6,且人与8相互

独立，则PG4+B)=.

13.如图，小明为了测量河对岸的塔高48,选取了与塔底8在同一水平面内的两个测量基点C与。.现测得

^ACB=30°,/-ADB=45°,/BDC=135°,CD=10或，则塔高48=.

14.如图，在楼长均为4的正四棱锥V—A8C0中，^=1,若过点E且垂直于棱，。的平面分别交棱

1/&4区4。/。于点用6,”,/,则五边形EFG”/的面积为

第2页

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.2025年春节期间国产动漫电影《明WE之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注.为

解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影

的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一

组的数据用该区间的中点值代表）.

（1）求Q的值；

（2）求该样本的平均数元和中位数y.

16.在△力8C中，内角所对的边分别为

（1）若a=g,且△4BC的面积为3百，求b+c；

（2）若b=4,c=3,4BAC的平分线交BC于0,求4D的长.

17.某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中m（me

{2,3,4,5}）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为

中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回袋子

中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）.

（1）若m=2,求一次抽奖中奖的概率；

（2）若要求一次抽奖中奖的概率最小.

（i）求m；

（ii）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率.

18.（用半好话不给分）己知平行六面体力BCD-4B〔CiDi所有棱长均为2,“148=N&40=Z.BAD=

第3页

(1)求证：平面&ACC1_L平面4BCD；

(2)设平面80cl与平jfiUiBiQDi交于直线心求证：直线〃/平面&BD；

(3)求二面角0—85—G的平面角的正弦值.

4

19.如图，在△A8C4,/.ABC=90°,AB=2@,BC=2,AM=XAB(0<x<1)，AN=y4C(0<y<

1),设CM与BN交于点P,且？？=2两.

(1)求2孙-3y的值;

(2)定义平面非零向量之间的一种运算“㊉"：五㊉行=第?(其中。是两非零向量弓和前勺夹角).

(i)若M为48的中点，求而©玩的值：

(ii)若而㊉阮=卓，求x+y的值.

/1

第4页

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意得：抽取中型超市的数量为加然访x20=6.

ZU十OU十1/U

故答案为：B.

【分析】根据给定条件，先计算出总体中各类超市的总数，再确定中型超市数量占总体的比例，最后用样本

容量乘以该比例，得到抽取中型超币的数量.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得：而=（x+l,4）,尼=（3,6）,且诟〃前，贝Ij6（x+l）=3x4,

解得：x=1.

故答案为：A.

【分析】若三点共线，则由这三点构成的两个向量共线。先求出向量荏和元的坐标，再利用向量共线的坐

标表示（若方=（与,%）,3=（%2，丫2），则五II石等价于不力一冷为=0）来求解X的值.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因为z—i=4g,所以z=i+畀=i+岩？=i+3+；”3=2i.

3—1J—1（3—iU

所以虚部为2.

故答案为：D.

【分析】先根据等式求出复数z,进而确定复数的虚部.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A、由Q_La,Q〃b,得b_L。，而则（〃/?,A错误；

B、a//p,a,b分别是平面a,/?内互相垂直的异面直线，满足Qaa,bcp,a1b,B错误；

C、由a〃b,al/?,得bl6，又bua,则al/y,C正确；

D、由an6=a,b_La,buB，得二面角a-Q-0的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D错误.

故答案为：C

【分析】本题考查面面垂直的充分条件判定，需依据线面垂直性质、面面垂直判定定理，结合充分条件定义

（若条件P成立能推出结论Q成立，则P是Q的充分条件），对每个选项逐一分析：分析各选项中直线与

平面的位置关系，判断能否推出a_L。.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：记三双不同的手套为：白I,白2；红1,红2；黑I,黑2,（1为左，2为右）

从中随机取出2只共有：白1白2,白1红1,白1红2,白1黑1,白1黑2,白2红1,

白2红2,白2黑1,白2黑2,红1红2,红1黑1,红I黑2,红2黑1,红2黑2,黑1黑2,共1S种，情

况,

第5页

事件A包含：白1红2,白1黑2,白2红1,白2黑1,红1黑2,红2黑I,6个基本事件,

事件。包含：白2红2,白2黑2,红2黑2,3个基本事件，

事件C包含：白I红1,白1红2,白1黑1,白1黑2,白2红1,白2红2,白2黑1,

白2黑2,红1黑1,红1黑2,红2黑1,红2黑2,12个基本事件，

6231124

P17

-91V41---

15555

3

A-

、5

B、事件4B互斥,则PG4uB)=P(m+P(B)，B正确;

C、P(4B)WP(4)P(B),C错误；

D、AQC,PG4UC)=PG4)+P(C),D错误.

故答案为：B

【分析】先通过列举法确定所有基本事件，再分别找出事件A、B、C包含的基本事件数，计算对应概率，

最后根据事件关系(互斥、独立、包含)判断选项.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：因为可，石是两个垂直的单位向量，所以百•夙=0.

因为五二可一通范=2万+否，

所以十方=(可一初•(2可+夙)=2-可•可一1=1.

而|a|=，⑻-五)2=+1-2可・石=V2»|^|=J(2区+方)2=J4+1+4可.与=V5.

所以‘3。=丽=声后=而.

故答案为：D.

【分析】先计算小行(向量数量积)，再分别计算同、历|(向量模长)，最后代入夹角余弦公式cos。=

丽.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：在4中，由Q-1=y/3cosC,得a=1+VJcosC,而B=^,c=2,

由正弦定理=TTTr*得sinC(l+75cosC)=2sinA=2sin(C4-5)=sinC+VJcosC,

siii/isinuj

整理得sinCcosC=cosC,因此cosC=0或sin。=1,解得C=5,>4=5,

zo

所以sin4=

故答案为：D.

【分析】首先由己知条件Q-l=6cosC得到a关于cosC的表达式，再结合正弦定理将边转化为角的正弦形

式，然后利用三角形内角和4=TT—B—C,将5访力转化为5访(。+8)(B已知),展开后化简等式，求解角

第6页

C,进而求出sin4

8.【答案】C

【解析】【解答】解：由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的凌长最大时，其

外接球为正方体的内切球，

如图，设四面体81一4。小的边长为Q,其外接正方体为4则正方体棱长为挈Q

乙

正方体/1BC。一公a6。1与正四面体B1-4CD1有同一个外接球，

设正方体的外接球的半径为R,则2R=V5X§Q，即R=Q，

4第*1'

而棱长为6的正方体的内切球的半径为3,即乎Q=3,解得Q=2后，

取4c中点。，连接则。i0_LA&8i01AC,又5。nB］。=0,。］。,/。u平面当。。1，

于是AC_L平面为0。1，而DiO=8iO=Qsin60°=3四,等腰△当也底面当小上的高h=/=2后

所以正四面体体积的最大值为卜=0D-/IC=IxIx2V6x2>/3x2V6=8百.

故答案为：C.

【分析】首先确定正四面体棱长最大时，其外接球与正方体内切球的关系，然后结合外接球半径与正四面体

棱长、正方体内切球半径与正方体棱长的关系，求出正四面体棱长，最后利用正四面体体积公式（以某一面

为底，对应高为棱）计算体积.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、AB=4是底面直径，故4。=8。=2（半径），PB=272是母线，在Rt△P0B

中，由勾股定理：

P0=y/PD?-BO7=J（297-22=\/8^4=2'A错误；

圆锥侧面积公式：S=nrl（r是底面半径，1是母线长）

已知r=2,/=PB=2&，代入得：S=兀x2x2企=4或兀，B正确；

C、连接C。并延长，交底面圆于点凡连接4F,PF,则4/=8。=2鱼，

因为0B=0C=2,0B2+0C2=BC2,所以。B10C,

故4OBCAOAF均为等腰直角三角形，则乙凡48=乙CBA=45°,故A尸〃8C,

所以"4F或其补角即为直线PA与BC所成角，

第7页

又AP=PF=2丘,故A/lPr为等边三角形，故，C正确;

D、由C知，OB10C,

又OPJ_平面ABC,OCu平面48C,所以OP_LOC,

因为。BnOP=。，08,0Pu平面4P8,所以OC_L平面4P8,

连接。E,则乙。EC即为直线CE与平面P4B所成角，

其中CE=y/CO2+OE2=J4+OE2,

.,c_OC_2

贝ijsinz_°EC-CE-I

，4+。片

当E为线段P8中点时，因为。P=O8=2,所以0E_LP8,

2

此时。E取得最小值，故sin乙。EC=।2取得最大值，

14+。片

直线CE与平面P4B所成角的正弦值最大，D正确.

故答案为：BCD.

【分析】A：利用“圆锥高、母线、底面半径的直角三角形关系”(勾股定理)计算PO.

B：直接套用“圆锥侧面积公式”(兀〃)计算.

C：通过“圆的对称性构造平行线”，将线线角转化为三角形内角，结合“等边三角形性质”求角度.

D：依据“线面角定义”，分析OE的最小值(中点时垂直),推导正弦值最大值.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、C、D、设zi=Q+bi*?=c+di(Q,b,c,dWR),

则可=a-bi,z^=c—di,即可+z^=a+c-(b+cT)i,

而Zi+z2=Q+c+(b+d)i,即zi+Z2=a+c—(b+d)i,A正确，

而五•Z2=(a-bi)(c—di)=ac—bd—{ad4-bc)i,

Z\Z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,则药•药=Z\Z^C正确，

而幺_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bd-(ad—bc)i

22

而司-c+di~(c+di)(c-di)~c+d'

互_a-bi_(Q_：i)(c+di)_ac+1d+(ad-bc)i

石-c-di-(c-di)(c+dC)-8彳*

则伊)=£D正确;

第8页

22

B、当Zi=2i,Z2=i时，(zj-z2)=f=-1»

而同-可2_|_2i-(-Op-|-ip-1,B错误.

故答案为：ACD.

【分析】A、验证共枕复数的和与和的共辄是否相等;

B、通过举例计算(ZI-2)2与J7-五|2,判断是否相等;

C、脸证共貌复数的积与积的共枕是否相等;

D、验证商的共辄与共轨的商是否相等.

11.【答案】A.B

【解析】【解答】解：A、因为戴在正上的投影向量为gm。。.邛=瓢=一河，

所以•^~=梯，故。=金，A正确；

2G43

B、因为慌了=点不且Q=^G所以3，=。，故sinC=9sin4

2

sin/1sinC3sin^sinC

又C=60°-4所以sin(60。-A)=.sinA,即第cosA—gsin4=\sin4.

所以学cosA=2sin4,故tanA==亭B正确;

C、由题意得,

__22

(BA+6BC)-AC=(BA+65C)-(BC-=BA-BC-'BA+6BC一朝.BA

——SBA,BC—BA2+68c2=-5x(-；ac)-+6a2=xxc—4-6xc)—-=0'C错误:

D、SAABC=/acsinB=4••c•亨=w^^c2，D中音误.

故答案为：AB.

【分析】A、根据投影向量的定义可判断A；

B、利用正弦定理及两角差的正弦公式求似,4可判断B：

C、根据冠=尻-瓦?，结合向量数量积的运算律可判断C；

D、利用三角形面积公式计算可判断D.

12.【答案】0.88

【解析】【解答】解：由题意知P(8)=0.4,P{AB)=P(4)P(8)=0.32,

所以P(A+B)=P(4)+P(B)-P(AB)=0.8+0.4-0.32=0.88.

故答案为:0.88

【分析】由对立事件概率和为1求出P(B),再根据两相互独立事件的概率公式求出PQ1B),即可代入并事件

的概率公式进行求解.

13.【答案】5+5V5

第9页

【解析】【解答】解：设塔高48=h,由乙4cB=30°,LADB=45°,

则8"而言而=8储BD=AB=h,

在△BCD中，由余弦定理得cos/需芦=一冬

ACU-DDZ

222

则（1哂+八-3/2=0,解得九二5+5遥或h=5-575（舍去）.

2xl0、32

故答案为：5+5V5.

【分析】设塔高力8=九，利用直角三角形的边角关系（正切函数）可设8C=百h，BD=h,再在△BCD中

应用余弦定理建立关于h的方程，求解得出塔高.

14.【答案】5夜

【解析】【解答】解：连接F/,BD,AC,设80CMC=0,连接P0,

依题意，VCL^EFGHl,因为E/u平面EFGH/,

所以VC_L£7,因为VE=1,Z-EVI=60°,BD=4五,

在直角中，，/=叫〃=2,故I为VD的中点，同理，F是VB的中点，

COSZEK/

所以口=鼻。=2VL

下面证明：G,H分别在的中点上，

当G,H也是中点时，GH//BD,GH=^BD,有GH〃F1,GH=Fl=2&,

四边形/FGH是平行四边形，

又VG4=l/C=4,AC=4或，^AVA2--VVC2=AC2,故VA1VC,

又HlI/VA,则PCJLH/,

乂AC1BO,VO1BD,ACDVO=O,AC,VOc^VAC,

所以8D_L平面VAC,乂UCu平面VAC,故BD1则GH1PC,

因为/H,GH均在平面/FGH内，且相交，所以W7_L平面/FGH,

故此时平面/FG”和平面E/F即同一平面，满足题意，则G,H分别在48,4。的中点上.

又80,平面VAC,又IMu平面IMC,所以则GH1H/,

则四边形/FGH是矩形，

依题意，GH=Fl=2®IH=FG=2,El=EF=5

△E臼中产边上的高为h=J（V3）2-（V2）2=1，

贝USA"/=1X2V2X1=V2>

四边形/FGH的面积是2鱼x2=46，

故五边形EFGH/的面积是5企.

故答案为：5式.

第10页

【分析】首先连接辅助线(F/、BD、AC.VO),根据线面垂直(，。，平面£7P"/)推出相关线段垂直关

系，然后利用直角三角形边角关系确定中点位置(/、F为VD、中点),再证明G、H为AB、4。中点，最

后分别计算△EF/和矩形/FGH的面积，求和得到五边形面积.

15.【答案】(1)解：由题意知：10x0.01+10a+10x0.0354-10x0.02+10x0.004+10x0.001=

1,即a=0.030.

(2)解：由题意知：x=(10x0.01+20x0.03+30x0.035+40x0.02+50x0.0044-60x0.001)x

10=28.1,

前两个矩形面积之和为10x(0.01+0.03)=0.4,

前三个矩形面积之和为0.4+10x0.035=0.75,所以yE(25,35),

由中位数的定义可得0.4+(y-25)x0.035=0.5,解得y=苧，

即平均数元=28.1,中位数y为苧.

【解析】【分析】(1)：利用“频率分布直方图面积和为1”(频率和为1),列方程求解Q.

(2)：平均数：“区间中点值x对应频率(频率/组距x组距)之和”计算；

中位数：通过“累计频率找到中位数所在区间”，再列方程(累计频率=0.5)求解.

(1)由题意知：10x0.01+10a+10x0.035+10x0.024-10x0.004+10x0.001=1,所以a=0.030.

(2)由题意知：x=(10x0.01+20x0.03+30x0.035+40x0.02+50x0.004+60x0.001)x10=

28.1,

前两个矩形面积之和为10x(0.01+0.03)=0.4,

前三个矩形面积之和为0.4+10X0.035=0.75,所以y6(25,35),

由中位数的定义可得0.4+(y-25)x0.035-0.5,解得y=苧，即中位数为苧.

16.【答案】(1)解：由题意知：S&ABC=^bcsinA=-^-bc=3x^3»所以be=12»

又因为〃=匕2+/_2bccosA，所以13=b2+c2-be=(b+c)2—3bc,

所以(b+c)2=49，即b+c=7.

(2)解：已知AD是zBAC平分线，/-BAC=所以乙B/l。=/B4C=上

Jb

因为=SAABD+£1ACD'

411

^ybesinZ.BAC=-ADsin^BAD+•ADsinZ.DACy

第11页

所以443•孚=%・340々+去4皿4

所以=与1

【解析】【分析】(1)先通过面积公式结合已知角A求出be,再用余弦定理建立b+c与be的关系，进而求

出b+c.

(2)利用角平分线将三角形面积分割为两部分，结合面积公式列方程求解AD.

(1)由题意知：SMBC=；bcsizL4=乎匕。=375，所以be=12,

又因为出=/+c?—2bccosA，所以13=ft2+c2-be=+c)2—3bc,

所以(b+c)2=49，即b+c=7；

(2)因为SMBC=SMBD+Su。。，

^ibesinZ.BAC=ic-ADsinz.BAD4-ib-ADsinz.DAC^

所以劣・4,3•卓=会3-40.鼻劣.4.力01

乙LL乙乙乙

所以〃〃=与1

17•【答案】(1)解：设A=”一次抽奖中奖”(1)记这2个红球的编号为L2,4个白球的编号为3,4,5,6,

所以样本空间。={(m,n)\m,nG{1,2,3,4,5,6},且mWn)»共有30个样本点，

乂因为

A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},

所以以4)=14,

所以P(4)=虢=蕊=卷

(2)(i)解：当{2,3,4}时，尸⑷=嘤=皿时1)+跖对(5-叫=/一：+母所以狙=3时，

IvlJLIOV/X

2

PGO加n=5；

当m=5时，P(A)=^^=(>\

练.上所述，所以m=3时，一次抽奖中奖的概率最小.

(ii)解：记8=”两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖“，4="第i位顾客中奖”(i=1,2),

由题意知，P(4)=PGh)=1

J

所以P(B)=1一P㈤P㈤=1一(1一凯1一()=,.

【解析】【分析】(1)用古典概型，先确定总样本点和中奖样本点，再计算概率.

(2)(i)推导中奖概率关于m的表达式，结合二次函数性质及m取值范围求最小概率时的m.

(ii)利用对立事件(“至少一位中奖”的对立是“两位都不中奖”),结合独立事件概率公式计算.

第12页

(1)设A=”一次抽奖中奖”

(1)记这2个红球的编号为1,2,4个白球的编号为3,4,5,6,

所以样本空间。={(m,n)\m,nG{1,2,3,4,5,6},且m丰n),共有30个样本点，

乂因为

A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},

所以几(力)=14,

所以P⑷=黯=踩=看

(2)(i)当mW{2,3,4}时，PQ4)=嗨=砥皿-1)+煞加(5一血)=登二警t"，

ICtJZIOUXxj

所以m=3时,P(A)min=I；

当m=5时，P(4)=竽乌＞|

综.上所述，所以m=3时，一次抽奖中奖的概率最小.

(ii)记R="两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，4="第i位顾客中奖”(i=1,2),

由题意知，P(4)=P(A2)=|，

所以P(B)=1一P(筋)P(砧=1一(1一I)(1一I)=祟

18.【答案】(1)证明：如图，设8。与AC交于。点，连接4。，

在菱形A8CO中，BD1AC,O为BD中点，

易知w/kaAZ),所以4*=4"，

所以△&BD为等腰三角形，则4018D,

又因为47rA0=。,4Cu平面A/CG，4]Cu平面4遇或1,

所以BD1平面4遇51，

因为BDu平面力BCZ),所以平面AMCQ_L平面4BCD.

(2)证明：连接8山1，易知BD〃B[Di，

第13页

因为8DU平面力u平面&B1C101，

所以3D〃平面力道1。。1，

因为平面BDGn平面ABCiDi=I,所以8。〃1,

因为[《平面A]BD,BDu平面4]8。，所以/〃平面人道。.

（3）解:由题意知，则8。=2,

设AQABWi=。1，连接。。「由⑴可知,BD_L平面力遇以1，所以BDJ.001，

因为0为〃。。1，所以80100],所以ADDIB为等腰直角三角形，且8。1=2衣，取8Q中点P,连接DP,则

DP1BOi

过P作PH1BDi交Bq于H,连接。H,

所以4DPH就是二面角0-BDi—G的平面角，

2

等腰△BCQ中，8cl=y/BC4-CCf-2BC-CCX-cosl20°=26，同理06=2痘,

所以CiD：+BD：=4+8=。。：，即。iQlBOi，

所以尸H=1,即H为BG的中点，

在△Bq。中，C0SZ.BHD4-cosz.C1HD=0,

anDH2IBH2RD2,DH2+C,H2-C,D2八DW2+3-4,D^/2+3-12八

即一2BITDH—+—2C^FDH-=。，28DH+2久DH=°,

解得。H=遥，

22

所以在ADPH中，cos乙DNH=（⑵+（店）=_乌所以立叱0。”=冬

2-72-122

二面角。-BO1-G的平面角的正弦值为冬

【解析】【分析】（1）：通过“菱形性质+等腰三角形性质''推导线线垂宜，再用“线面垂直T直面垂直”证明.

（2）：利用“线面平行判定与性质”，将空间线线平行转化为线面平行.

（3）：构造二面角平面角，结合“解三角形（勾股定理、余弦定理）”计算角度正弦值.

（1）如图，设B0与4c交于。点，连接4。，

在菱形A8CD中，BD1AC,O为BD中点,

第14页

易知△AiAB三2kAi力。，所以4iB=4i。，

所以为等腰二角形，则401。。，

又因为47r40=0,ACu平面力遇CC1，41CU平面4]ACG，

所以BD_L平面4遇51，

因为BDu平面力BCD,所以平面力iHCCiJ■平面4BC0.

(2)连接8山1，易知BD〃B[Di，

因为仁平面AiBiCi。],u'F血4]8](71。1，

所以BD〃平面/liBigDi,

因为平面80clC平面力1B1C1D1=I,所以80〃人

因为，C平面4/D,BDu平面4B0,所以，〃平面&B。.

(3)由题意知,则3。=2,

设4的081。1=。1，连接。。1，由(1)可知，801平面4171CC1，所以8DJL001，

因为。％〃。。1，所以BOIO。1，所以△DD*为等腰直角三角形，且8。1=2或，取8劣中点P,连接DP,则

DP1B0]

过P作P"JLBD1交BCi于H,连接DH,

所以4DPH就是二面角。一BD]-G的平面角，

2

等腰△BCG中，BCi=y/BC+CCi-2BC-CCX-cosl20°=2遥，同理DC】=2百,

所以的0：+8。：=4+8=8M，即Dig1801，

所以PH=/z）iG=l,即"为8cl的中点，

乙

在aBG。中，cosZ-BHD+cos乙GHD=0,

州。"2+8//2-3。2加+6/一4/_加+3-4加+3-12_

—2BHDH—十2C/DH-U，2再DH2耳・DH一

解得。”=追，

所以在△/）「“中，cos乙DNH=（&）2+,一（相）2=_冬所以SE/DPH=零，

2-V2-122

第15页

二面角Z）-BD1-G的平面角的正弦值为印.

19.【答案】（1）解：因为而=2而,AM=xA§tAN=yAC，

所以而=彳羽+而=丽+〈祝=丽+家3?一而?）

—寺4。4-AN+AB,

又B,P,N三点共线,

1?Y

所以不+丁=1,即2xy—3y=-1.

（）