自动控制原理 习题参考答全套案 第1-6章

第1章习题参考答案

1.1什么是开环控制系统？具有什么特点？

答：开环控制系统是指输入量直接传输到控制器，并通过执行机构对被控对

象产生控制作用，输出端与输入端之间只有顺向作用，不存在反馈回路，输出量

对控制过程没有影响的系统。

特点：优点：结构简单、价格便宜；缺点：精度较低，抗干扰能力较差。

1.2什么是闭环控制系统？具有什么特点？

答：闭环控制系统是指输出量通过检测装置反馈到输入端，与输入量比较后

的偏差信号作用到控制器，控制器的输出驱使执行机构调节被控对象，从而使偏

差不断减小的系统。其核心是反馈,通过检测装置将输出量返回到系统的输入端,

与输入量作比较，产生的偏差对系统的控制过程产生影响，从而降低或消除偏差,

使得输出量与期望值趋于一致

特点：优点：控制精度高、抗干扰能力强；缺点：结构复杂，价格较贵。

1.3列举一个生活中的开环控制系统，并简述其工作原理。

答：实例：普通电风扇；

工作原理：用户通过旋钮或按钮设定风扇的档位（如低速、中速、高速），

捽制电路根据档位信号直接调节电机电压，改变风扇转速，风扇以固定转速运行.

但系统不会检测实际风速或环境温度来调整转速，若外界环境变化（如电压波动

或风口被遮挡），风扇转速可能偏离设定值，但系统无法自动修正。

1.4列举一个生活中的闭环控制系统，并简述其工作原理。

答：实例：空调温度控制系统；

工作原理：用户设定目标温度后，温度传感器实时检测室内温度并反馈给控

制器。控制器将检测值与设定值比较，若存在偏差，则调节压缩机或风机的运行

状态（如加快制冷或停止运行），直到室内温度与设定值一致。

1.5简述自动控制系统的基本性能要求。

答：自动控制系统的基本性能要求可概括为“稳、快、准”：

稳定性：首要条件，受到扰动作用或输入量发生变化时，系统从偏离状态恢

复到平衡状态的能力。稳定性是系统能够正常工作的前提。

快速性：系统动态过程中输出量调节的快慢程度，反映响应速度。快速性是

对系统动态过程的定性分析，动态性能指标可以对动态过程的性能进行定量描述。

准确性：系统进入平衡状态后，输出量稳态值与期望值之间的偏差，表明了

系统控制的准确程度，即控制精度。偏差值称为稳态误差，定量表征系统的稳态

性能指标。

1.6简述自动控制系统的基本组成环节。

答：闭环控制系统的基本组成环节包括：

被控对象：要进行控制的设备或过程，所控制的某个物理量就是系统的被控

制量或输出量；

检测装置：用来检测输出量的装置，根据输出量的类型选择相应的传感器，

并且进行反馈到输入端；

控制器：根据输入量与检测装置反馈信号比较后的偏差，进行信号放大、校

正等运算的环节，其输出通常称为控制量；

执行机构：直接作用于被控对象上的元件。

1.7根据主要元件的输入输出特性，自动控制系统可以分为哪两种类型？

答：线性系统：由线性元件组成，可用线性微分方程描述，满足叠加性和齐

次性。若系统中各项系数为常数则称为定常系统(也称为时不变系统)，若系数

随时间变化则称为时变系统。

非线性系统：包含非线性环节，需用非线性微分方程描述。即微分方程式的

系数与输入变量有关。典型的非线性环节有继电器特性环节、饱和特性环节和不

灵敏区环节等

1.8从不同的角度出发，自动控制系统可以分为不同的类型，按照给定量的

特征，可以分为恒值系统、随动系统，请分别解释恒值系统和随动系统的概念。

答：恒值系统：给定量为常值，要求被控量也为常值的系统。

随动系统：输入量是随时间不断变化的，要求被控量以尽可能小的误差跟随

输入量的变化。

1.9经典控制理论适用于分析哪种类型的自动控制系统？

答：经典控制理论适用于分析单输入单输出(SISO)的线性定常系统，以

传递函数为基础，主要采用时域分析法、根轨迹法和频域分析法。

1.10自动控制系统的分析方法包括哪些?

答：经典控制理论中的分析方法包括：时域分析方法、根轨迹分析方法、率

特性分析方法。

第2章习题参考答案

2.1什么是系统的数学模型？在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪

些？

答：系统的数学模型：是描述控制系统输入、输出及内部物理量之间关系的

数学表达式。

常见的数学模型形式有：微分方程、传递函数、动态结构图、信号流图等。

2.2什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？传递函数有哪些

特点？

答：传递函数：线性定常系统的传递函数是在初始条件为零的情况下，系统

输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

定义传递函数的前提条件：零初始条件。

传i弟函数的特点：

当输入输出的位置确定后，传递函数表达式唯一，与输入输出信号的形式无

关，只与系统的固有结构和参数有关。

2.3列写出3种传递函数常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、

极点和放大系数。

答：传递函数三种常用的表达形式：

r(5)bs,n+bs,>>1+bs+bM(s)

G(s)=----=--o-------i——：--------m-x----m-=------,n>m

R(s)+qs"”+-+4Ts+qD(s)

G(s)=—Z2)...(s—zQ=KR'G-Zj)

%(s-Pi)(S—P,)••・($-P〃)'113。一〃,)

口口(阜+1)

传递函数分母多项式的最高阶次n定义为系统的阶数，句为系统的零点，p,

为系统的极点。K称为放大系数，七称为根轨迹放大系数。

2.4什么是系统的开环传递函数？什么是系统的闭环传递函数？当给定量

和扰动量同时作用于系统时，如何计算系统的输出量？

答：开环传递函数定义为主反馈信号8(s)与误差信号夙s)之比：

票=6($)”⑸

E(s)

闭环传递函数定义为输出信号y(s)与输入信号R(s)之比：

丫⑸G(s)

R(s)1+G(s)H(s)

当给定量和扰动量同时作用于系统时，通过叠加原理计算系统的输出量。

2.5写出图2-36所示RLC电路的微分方程，其中，/为输入变量，%为输

出变量。

图2-36题2.5图

解：设流过L的电流为i,流经R的电流为/；,流经C的电流为"，则:

"J"/"与。)

i】R=

“〃")+乙7=%(/)

at

整理得：LC色坐+白色9+〃“”)=%”)

drRdt

2.6写出图2・37所示电路的微分方程，并确定系统的传递函数。其中，叫为

输入变量，〃。为输出变量。

图2-37题2.6图

解：设流过打的电流为匕，流经C的电流为流经&的电流为i,则:

h+i2=i

谒"ER力

iR2=Uo

i国+%=%

整理得微分方程为：C^+(―+—)uo=—Ui+C

dt&R2°Rjdt

飞&CS+&

传递函数为:

ui(s)%R2CS+R]+R2

2.7求图2-38所示机械运动系统的传递函数泮、醇

X1(s)F(5)

L

i

l

-&▼W⑺

L

I

K1x2(r)

—

图2-38题2.7图

解：(1)求三92

X1(s)

由力学定律，有.:

用西⑺・9⑺]

f(t)=凡+5[』(/)—&(，)]

dt

(2-1)

/⑺=与誓^+飞⑴

在零初始条件下，对方程组(2-1)进行拉普拉斯变换，得：

>(5)=8司X1(5)-X?6)]+KJX(s)-X2U)J

[F(s)=B2sX2(t)+K2X2(s)

消去中间变量F(s),得：

X?(s)_B]S+K]

X1(s)-(4+.)$+.+&

(2)求当应：

F(s)

同理可以列出方程组，如式(2-1)所示。消去中间变量X2(s),整理得:

Xs)_(+)$+―+&

尸(s)(B.s+K.)(B2S+K2)

2.8试化简图2-39所示结构图，并求出相应的传递函数―。

R(s)

图2-39题2.8E

解：对其进行等效变换，如下图所示，从而得到传递函数:

y⑸二卬陷

而J-1一“附十叱明“1"2

◊

◊

2.9试化简图2-40所示结构图，并求出相应的传递函数出。

R⑶

叱-电―H---1

-----H卜_串TM

L►弘一—^)―H%——

图2-40题2.9图

解：对其进行等效变换,如下图所示，从而得到传递困数：

y(s)jw明+也?叫

R(s)-1+［吗+叱］”

(―►叫-►0~~H吗1——1

7吗—>0-H%——

O

—►叱一►w--------

।—1匕一〃­］、，_____1y/

R(s)「__________弋1^

1-叱<H<―,

1—►1%—►IVZHi-------

O

—>叫一►吗卜一呦J弘I〃卜一

(X)--------------------------------卅%罟

叱忆I“1

―►VK―►

O

|—►叫一►吗一II-|吗—H<—

Ms),

此—1T此I~

―►w2―►

O

我⑸陷一+wj匕叫丫⑸

-1+吗〃+叱〃"

图2-41题2.10图

解：设G1前为E,G2前为X,根据结构图写出线性代数方程组:

E=R-HlH2Y

X=GiE-H2Y

K=XG2

消除中间变量E,X得传递函数为：

丫⑸二____________a⑸—⑸___________

而-1+G(s)G(s)H|(s)H?(s)+G2(s)〃2(s)

2.11已知系统结构图如图2-42所示，求传递函数等及件。

R(s)RG)

图2-42题2.11图

解：由系统结构图列出传递函数方程

E(5)G,(5)G2(5)+[E(5)-E(S)G(S)G2(S)]G(S)G,(S)—EG)=Y(s)(2-2)

E(s)=R(s)-Y(s)(2-3)

将(2-3)代入(2-2)得：

Y(s)[G,(5)G2(5)-1][1-G3(5)G4(S)]

-

^)G,(S)G2(S)+G3(S)G4(S)-Gt(S)G2(S)G3(S)G4(S)

由(2-3)得：Y(s)=R(s)-E(s)

(2-4)

将(2-4)代入(2-2)可得：

E(s)=_____________________J_____________________

^)■G,(5)G2(5)+G3(5)G4(5)-G,(5)G2(5)G3(5)G4(5)

2.12系统的信号流如图2-43所示，求传递函数曾。

R(s)

图2-43题2.12图

解：图中有3个闭合回路：L—G此,L2=-G3H2,4=-G4H3；没有互

不接触的回路，所以有

△=1-(£,+£2+£3)=14-62/7,+65/72+64/73

从输入节点R到Y,有2条前向通道，前向通道传递函数[=@6263065,

鸟二GQ5G(,，由于《与所有闭环回路接触，所以4=1,6与%不接触，所以

A2=1+G3H2

代入梅逊公式得传递函数为：

丫⑶______G|G2G3G4Gs+GQ&Q+G、H?)________

~R(y)~\+G2H]+G3H2+G4H.+G6H}H2H.+G2H}G4H.

2.13系统的信号流图如图2-44所示，求输出y（s）的表达式。

图2-44题2.13图

解:解:令&G)=0时图中有6个闭合回路：4=62%,4=G也，

L『G&L$=G3G4H3Hu4=GG"也；有互不接触的回路，与酒，4与人,

所以有

A=G.H,-G.H.-G.G.H.H,-G.G,H,H,+G.GH,+G,HG.H.

IJX*rJ1*r1DTD-/yJzXy1

从输入节点R到Y,有2条前向通道，前向通道传递函数片=G,£=G3G4”,，

由于《、鸟与所有闭环回路接触，所以劣=1,A2=l-G2//4,代入梅逊公式和

传递函数可得：

y⑸=_______________________[Gd-GzHJ+GgH/NG）

1

1-G%-。2”4-G3HLG、H「G3G4H3H4-Gfi.H.H.+Gfi2H3H4+G3Hq乩

同理可得:

&(1-G阳1+G2H2@]4(5)

XG)=

"G1H3-G2H4-G3H「GRi-G3G4H3H4-G1G2H握2+G[G2H3H4+G3H2G4Hl

y=_________[G,(l-G2//4)4-G3G4/74]/?lCy)-[G4(l-G3/72)4-G2H2Gl]/?2(y)

S

~\-G}H3-G2H4-G3/72-G4H,-Gfi.H.H,-G,G2/7,/72+G,G2H3/744-G3/72G4H,

第3章习题参考答案

3.1二阶欠阻尼控制系统的动态性能指标主要包括哪些？

解动态性能指标主要包括：上升时间、峰值时间、最大超调量及调节时间。

3.2典型二阶系统两个特征参数是什么？对系统性能有何影响？

解典型二阶系统两个特征参数是阻尼比及无阻尼自然振荡角频率。提高阻

尼比可以减小最大超调量，改善系统响应的平稳性；增大阻尼比或无阻尼自振荡

角频率都可以减小调节时间。

3.3线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？稳定性和哪些因素有关？

解线性定常系统稳定的充要条件是：闭环特征方程所有特征根(即闭环传

递函数的极点)均位于复平面的左半平面。

线性系统的稳定性和系统本身结构、参数有关。

3.4稳态误差和哪些因素有关？

解系统稳态误差和系统本身结构、参数及输入信号有关。

3.S什么是主导极点？主导极点在系统分析中有何作用？

解主导极点指的是在高阶系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点，

其实部小于其他极点的实部的1/5,并且附近不存在零点，可以认为系统的动态

响应主要由主导极点决定。

3.6考虑图3-41所示的系统，在单位阶跃函数作用下，试求

(1)若K=0.1,求调节时间4(A=5%)；

(2)若要求调节时间f,=O.ls(A=5%),求反馈系数K。

KG

图3-41题3.6图

解由结构图写出闭环传递函数

Y(s)1007

^(5)~54-100~

3।1

100K

这是一阶系统，时间常数7=」-

100K

(1)当K=().l,调节时间4=37=0.3S(A=5%)

(2)若要求调节时间(=().□(△=5%),即＜=3T=().ls(A=5%),则

令丁=—!—」，得K=0.3

100K30

3.7某系统的闭环传递函数为G(s)=---,其中参数T及a均大于零。

Ts+a+\

该系统单位阶跃响应的稳态值是多少？动态过程的调节时间久八=5%)是多少？

解此系统在单位阶跃输入下的输出为

a

Y(s)=G(s)R(s)=

7X+。+1

利用拉普拉斯变换的终值定理，得阶跃输入下的稳态输出为

y(oo)=limy(t)=lims•Y(s)=lim5-----------------=-------

s-＞。ioYs+a+isa+\

调节时间为

3T

”3T=3X(A=5%)

4+1~a+\

3.8设单位负反馈咨制系统的开环传递函数为

1

G（s）=s—I

求系统单位阶跃响应的峰值时间、最为赢量和调节时间

解依题，系统闭环传递函数为

①⑸=黑）、+15+1

与标准二阶系统传递函数比较可得：

co=\radIsi=—

,2

故峰值时间〃为

tn=-------------x3.63s

调节时间（为

/t«—=6v（按5%误差带）或4"/一=8$（按2%误差带）

M血

最大超调量。%为

b%=eGx100%=16.3%

3.9典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-42所示，试求其传递函数。

图3-42题3.9单位阶跃响应曲线

解依题意，系统闭环传递函数形式为

①(s)=

1+2^^户+@；

由阶跃响应曲线有:

2

不/、2xl.7175.9

①

(s)=---------------------------------------=---2-------------------

»+2x0.404x1.717s+1.71725+1305+2.95

3.10单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=试求

5(5+2)(5+3)

(1)闭环稳定时参数。的取值范围。

(2)闭环系统持续振荡时。值及振荡角频率。

(3)闭环系统特征根均位于垂线s=-l以左时参数。取值范围。

解(1)依题意，系统的闭环特征方程为S3+5S2+16S+10〃=0

列出劳斯表：

-116

*510。

।80—10a八

s------------0

5

5°10。

当々＞0且80-10。＞0时闭环系统稳定，即0＜"8。

(2)当闭环系统持续振荡，意味着系统存在共聊纯虚根，闭环系统处于临

界稳定状态。令8()-1()〃=(),求得〃=8闭环系统临界稳定。再由一行的元素构

成辅助方程5—+10。=0,得$].2=±，4,则振荡频率为①“=4o

(3)令$=2-1,代入系统特征方程，得:

Z3+2Z2+9Z+106/-12=0

根据劳斯稳定判据得参数。取值范围为：1.2<〃<3。

3.11闭环系统特征方程如下，试用劳斯稳定判据判定系统的稳定性，并说

明特征根在复平面上的分布。

(1)?+20?+4v+50=0

(2)3/+10/+5/+s+2=0

(3)?+2s4+253+452+1k+10=0

(4)55+2/-5-2=0S3

解(1)列出劳斯表J

,80-50_3

表中第1列元素符号都为正；由劳斯稳定割据%系统稳定，所有极点均位于

中知52

左半s平面。

T1()1()

(2)列劳斯表

，c八

5'—4720

1()

劳斯表第1列元素符号改变两可吆睡斯稳定判据可知该系统不稳定，有两

个特征根位于史平面的右半平面64.7

(3)列劳斯表

1211

542410

0(e)60

4^-12八1八

S2-----<0100

£

1—5e"+12^—36八

S------------>0A0

2c-6

s()10

劳斯表第1列元素符号改变两次，由劳斯稳定判据可知该系统不稳定，有两

个特征根位于复平面的右半平面。

(4)

方法一：列出劳斯表

10-1

5420-2―辅助多项式p(s)=2§4—2

/0(8)00―dp/ds=8s，

s20(e)-2

劳斯表第1列元素符号改变一次，系统有1个正根；由辅助方程2--2=0可

解出系统关于坐标原点对称的根。

2sJ2=2(s+l)("lXs+/)(1)

D(s)=s、+2s4-s-2=(s+2)(5+])(s-l)(s+j)(5-j)

故该系统不稳定，有1个根位于复平面的右半平面，2个根位于复平面的左

半平面，2个根位于虚轴上。

方法二：使系统稳定的必要条件为特征方程各项系数均不为零，且具有相同

的符号。若不满足上述条件，可以直接判定系统不稳定。

3.12已知单位负反馈系统的开环传递函数为

(1)G(s)=---------------

(0.卜力力(0.55+1)

(2)G(s)=-----------

(3)G⑸—惭"

(4)明二驾如产s+2)

r(0.15+1),

试分别求出当输入4)=1()/,产时，系统的稳态误差。

解(1)根据开环传递函数可知，该系统为0型系统，开环增益为10o

当中)=1⑺时，系统的稳态误差4(8)='；

当/时，系统的稳态误差4(8)=8;

当广⑺=产时，系统的稳态误差6(8)=CO。

(2)根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为2.5。

当r(/)=1(/)时，系统的稳态误差ess(co)=0；

当=f时，系统的稳态误差%3)=04；

当时，系统的稳态误差绘＜00)=8。

(3)根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为7/8。

当7•⑺=1⑺时，系统的稳态误差％(8)=0；

当O=/时，系统的稳态误差ess(oo)=y；

当/«)=/时，系统的稳态误差％(8)=00。

（4）根据开环传递函数可知，该系统为II型系统，开环增益为8。.

当《）=1⑺时，系统的稳态误差为%（8）=0;

当小）=/时，系统的稳态误差为%（8）=0；

71

当厂⑺=产时，系统的稳态误差为e$s（8）=—=—。

3.13单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G种品身

（1）求系统的静态位置误差系数K〃,速度篌差系数&及加速度误差系数

（2）当输入r（f）=2+4f+5”时,求系统的稳态误差。

解（1）根据开环传递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为1（）。

静态位置误差系数3=8,速度误差系数K=1（）及加速度误差系数Ka=0

（2）当输入%）=2+书+5『时，系统的稳态误差为

纥,3）=2x0+4x—+10x00=00

3.14考虑图3-43所示的控制系统，已由•⑺=d（/）=l⑺，求系统总的稳态

误差。

图3-43题3.14图

解系统的开环传电函数为

K4

G(s)=

s(7X+l)

故该系统为I型系统，开环增益为

在单位阶跃给定输入下，给定稳态误差为6,（8）=0。

在单位阶跃扰动输入下，扰动稳态误差为

\.too)=limsE(s)=lims------幺----11

澳I。.I)S(7X+1)+&K?

则系统总的稳态误差为：e（8）=exxr（co）+esxa（8）=」

3.15控制系统的结构图如图3-44所示，要求保证系统最大超调量

=0.2,试确定系统参数K,人

<7%=16.3%及单位斜坡输入下的稳态误差SS

图3-44题3.15图

解由结构图可知，该系统的开环传递函数为

G(s)=

s(s+l+KT)

闭环传递函数为

y（s）二G（S）

R(s)1+G(s)s2+(1+Kr)s+K

根据开环传递函数形式，这是I型系统，开环增益为工

\+KT

单位斜坡输入下的稳态误差为0.2,即满足

^^=0.2

%3)=

K

系统最大超调量。%=16.3%,即要求阻尼比4=0.5。同时有,

①：=K,2g=1+Kr

4

联立求解得：K=25,T=一

25

3.16系统结构图如图3-45所示，试求

（1）为保证系统稳定，确定参数K的取值范围。

（2）为使系统特征根全部位于复平面垂线$二1的左侧，确定K的取值范围。

的取值

K

14=0

5(0.15+1)(0.25+1)

展开得：0.02/+0.3/+s+K=0

s'0.021

列劳斯表/03K

.0.3—0.02K八

S',\J

由劳斯稳定判据可知，为保证系统稳腐，确定参数K的取值范围为：

s°0<^<15

（2）令5=2-1,代入系统特征方程，得：

（）.（）2z3+0.24z2+0.46z+AT-0.72=0

根据劳斯稳定刊据得参数K取值范围为；0.72<K<4.8。

（3）由开环芍递函数可知，该系统为I型系统，开环增益为K。当输

入/⑺=2+21时，系统稳态误差（二六0.25,则有：K>S

而为保证闭环系统稳定，参数K的取值范围为：0<K<15。综上可得参数

K的取值范围是：

8<AT<15

3.17复合控制系统结构图如图3-46所示，图中叫了2,7；,（均为大于零的常

数。试求：

（1）闭环系统稳定时，参数%,应满足的条件。

（2）当输入为阶跃函数4/）=41（/）时，选择校正装置G,（s）,使得系统不

存在稳态误差。

图3-46题3.17图

解（1）由结构图可得，系统误差传递函数为

1――^—G（s）

①⑺二七⑶二（4+1）二（率+1）（口+1）-&6。）（辜+1）

,5―标_山空2一（串+1）（4+1）+空2

（阴+1）55+1）

闭环特征方程为

D（s）=Ks?+（7]+4）s+1+K、K?

因参数KrK2.T2均大于零，已可满足稳定条件。

z\AvA(章+l)(0s+1)-K,G(s)(7；s+1)

(29)令e,c=hms①,,(s)•R(s)=hms----!------=------------!----

…A…0.s(章+1)(7>+1)+&勺

=lim-----Ur-K，G(»=0

2C

ST。K】KJ」

可得G（M=i/K2

3.18如图3-47所示的闭环控制系统，求当给定输入及扰动信号均为单位斜

坡函数时，系统的给定稳态误差及扰动稳态误差。

图3-47题3.18图

解（1）在参考输入H⑸单独作用下，系统的误差传递函数为

E（S）_5（仆+1）（5+舄&）

R（s）s(Ts+1)(5^-K^+K.KK

则给定稳态误差为2A

[.~S(7\+1)(S+K,K3)

hmsE(s)=hm5-----------------------------r=——

2。i。s(Ts+[)(s+K.K.)+K.K,K.s2K.K,

(2)在扰动输入D(s)单独作用下，系统误噪传扬函数为

E(s)s(A+l)(s+K2K3)

则扰动稳态误差为。⑶皿

—s(7X+l)(s+K2K3)1K、

limsE(s)=\ims-

5-»0.V—>0S(小+而+K?KJ+KRKQK]Kq

第4章习题参考答案

4.1什么是根轨迹？绘制根轨迹的依据是什么？

解根轨迹指的是当开环传递函数中某一参数从零变化到无穷大时，闭环特

征根（即闭环极点）在复平面上移动的轨迹。

绘制根轨迹的依据是幅值条件和相角条件。

4.2什么是幅值条件？什么是相角条件？这两个条件在绘制根轨迹中各起

什么作用？

解幅值条件：

Kn\s-zi\

|G(s)"(s)|=Ts------=1

fl\s-Pj\

J=I

相角条件:

NG(s)/7(s)=ZN(s—Zj)—ZN(s—〃p=±(2Z+l)〃(A=0,1,2,…)

I=Ij=\

相角条件是确定s平面上一点是否在根轨迹上的充分必要条件；幅值条件可

以用于确定根轨迹上某点所对应的根轨迹增益值。

4.3附加开环零点和开环极点对系统根轨迹各有什么影响？

解附加开环零点，可以使系统的根轨迹向左弯曲，从而提高了系统的稳定

度，有利于改善系统的动态性能；而且，所增加的开环零点越靠近虚轴，其影响

就越大。

附加开环极点，使得系统根轨迹向右偏移，降低了系统的稳定度，不利于改

善系统的动态性能；而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种作用就越显著。

4.4已知系统的开辆零、极点分布如图4-23所示：次概略绘制相应的根轨闻＞

(d)(e)⑴

图4-23题4.4图

解根轨迹草图如下。

(a)(b)(c)

题解图4.4

4.5已知单位负反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的系统根软迹。

/1\K(s+1)

(1)G(s)=-----——

s

(2)G(s)=—―-----

s(s-+4s+8)

K(s+5)

(3)G(s)=

s(s+2)(s+3)

解(1)系统开环传递函数为G(S)=4^

1)起点：两个开环极点：巧=0,〃2=0;终点：一个开环零点4=-1,

个无限零点。

2)实轴上的根轨迹区间：(-oo,7]

3)分离点计算。

O(s)N'(s)-O'(s)N(s)=()

整理得S2+2S=0

解得5j=0,52=-2o

根轨迹如题解图4.5(1)所示。

RootLocus

-3.5•0.50.5

RootLocus

10

题解图4.5(1)题解图4.5(2)

⑵系统开环传递函数为G⑸而

1)起点：三个开环极点：P1=0,P2.3=-2±j2；终点：三个无限零点＜：

2)实轴上的根轨迹:(-8,()]

3)渐近线：

0+(-2+j2)+(-2-j2)_4

=

"=-3"3

(2Z+1)),7t

仁=-3—=±彳/

4)分离点计算。

O(s)N'(s)—O'(s)N(s)=0

整理得3s2+8s+g=O

解方程可知实轴上不存在分离点。

5)根轨迹与虚轴交点。系统特征方程为

。(5)=1+4/+85+长=0

把S=J0代入特征方程，整理并令其实、虚部分别为零得:

Re(D(j7y))=/C-4ry2=0

1=()砒困嫄=8◎-疗=0

1,'[K=0]K=32

6)出射角计算由相角条件相

，%=45。

根轨迹如题解图4.5(2)所示。

K(s+5)

(3)系统开环传递函数为G(s)=

s(s+2)(54-3)

1)起点：三个开环极点：Pl=o,p2=-2,py=-3；终点：一个开环零点Z)=-5,

两个无限零点。

2)实轴上的根轨迹：[-2,0],[-5,-3]

3)渐近线倾角及渐近线与实轴的交点。

0+(-2)+(-3)-(-5)„

4=-------------------=0

(2k+l)/r

4)分离点计算。

O(s)N'G)-D<s)NG)=0

解方程可知分离点为：5=-0.886o系统根轨迹如题解图4.5(3)所示。

RootLocus

20

sr

p105

ou

eo

)s0

-S

VX

左

-5。

ue

era5

-u

■20

RealAxis(seconds,1•

题解图4.5(3)

4.6设单位负反馈控制系统的开环传递函数为

______K

G(s)=

5(0.25+1)(0.55+1)

(1)绘出系统的艰轨迹图。

(2)确定使系统处于临界稳定时的根轨迹增益和开环放大系数。

(3)确定使系统处于临界阻尼状态时的根轨迹增益和开环放大系数。

解(1)将系统开环传递函数整理为

10K

G(s)=

s(s+5)(s+2)

I)起点：三个开环极点：Pi=。，〃2=-5,〃3=-2；终点：三个无限零点。

2)实轴上的根轨迹区间：[-2,0],(ro,-5]

3)渐近线计算。由公式计算获得渐近线倾角及渐近线与实轴交点为：

0-2-57

--------=---

33

(2k+1)4,71

-----------=±-.71

33

4)分离点计算。

O(s)N'(s)—/y(s)Ms)=0

整理得3s?+14s+10=()

解得5.=-0.88,$2=-3.7863(舍去)。

5)与虚轴的交点。系统特征方程为

D(s)=s(s+5)(s+2)+10K=0

令s=代入系统特征方程，得

D(jco)=jco(jco+5)(j(D+T)+\0K=0

令

Re[。(加)]二()

<Im[D(»]=0

求解得s=K=Io根轨迹与虚轴的交点(o,±Vioj)o根轨迹

如题解图4.6所示。

RodLocus

(

S

P

U

O

V

&

X的

4

c

一

­10

-15

-20-15-10-50510

RealAxis(seconds1)

题解图4.6

(2)系统处于临界稳定时的开环放大系数为：K=7,根轨迹增益为：

跖=10K=70

O

(3)己求得根轨迹分离点为*=-0.88,根据幅值条件可以求出该分离点对

K

应的根轨迹增益为：4.061；而开环放大系数K=1=0.4061。

*10