高中数学 加练 专题10　第98练　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

第98练事件的相互独立性与条件概率、全概率公式(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且每名同学每次投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为()A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32答案B解析设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.2.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34 B.0.37 C.0.42 D.0.43答案C解析设事件A表示“两道题全做对”，若两道题目都有思路，则P1=C32C42×0.8若两道题目中一个有思路一个没有思路，则P2=C11C31C42×0.故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42.3.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则P(A|B)等于()A.23 B.13 C.34答案A解析由题意知P(B)=C41·3243，P(AB)=A4343，所以P(4.近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的2个充电桩均为普通桩”为事件B，则P(B)等于()A.625 B.1350 C.7答案D解析设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件M，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件N，则P(M)=25，P(N)=3则P(B)=P(M)·P(B|M)+P(N)·P(B|N)=25×C32C52+35×C42C55.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案D解析设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，方法一由题意可知，P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3，P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3，P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0，P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0，所以P丙最大，故选D.方法二(特殊值法)不妨设p1=0.4，p2=0.5，p3=0.6，则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最大，故选D.6.为了督促市民节约用水，某市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该单元至少有两户人家月用水量严重超标的概率为f(p)，当f(p)=12时，p等于(A.12 B.13 C.2答案A解析设事件A为“该单元有2户人家月用水量严重超标”，事件B为“该单元有3户人家月用水量严重超标”，则P(A)=C32(1-p)p2=3(1-p)p2，P(B)=C33p3即f(p)=P(A)+P(B)=3(1-p)p2+p3=3p2-2p3(0<p<1)，方法一将各选项代入验证发现，唯有p=12满足要求，故A正确方法二令f(p)=3p2-2p3=12整理为(2p)3-3·(2p)2+2=(2p-1)(4p2-4p-2)=0，所以p=12或p=1±32，因为0<p<1，所以二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.记事件M中的样本点个数为||M||.对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，G，H，已知E⊆Ω，F⊆Ω，G⊆Ω，H⊆Ω，||Ω||=80，||E||=40，||F||=30，||G||=20，||H||=50，||E∪F||=70，||EG||=10，||E∪H||=80，则下列选项正确的是()A.E与H互斥 B.E与F互斥C.E与G相互独立 D.E与H相互独立答案BC解析A选项，||E∪H||=80，||E||=40，||H||=50，所以||E∪H||≠||E||+||H||，所以E与H不互斥，A错误；B选项，||E∪F||=70，||E||=40，||F||=30，所以||E∪F||=||E||+||F||，所以E与F互斥，B正确；C选项，||EG||=10，||E||=40，||G||=20，所以P(EG)=1080=18，P(E)=4080=12，P(G)=2080=14，所以P(EG)=P(E)P(G)，D选项，||E∪H||=80，||E||=40，||H||=50，所以||EH||=40+50-80=10，P(EH)=1080=18，P(E)=P(H)=5080=58，所以P(EH)≠P(E)P(H)，E与H不相互独立，D8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则()A.P(AB)=P(AC)=P(BC)B.P(A|B)=P(A|C)=1C.P(ABC)=1D.P(A)P(B)P(C)=1答案AB解析对于A，因为事件A，B，C两两相互独立，所以P(AB)=12×12=P(AC)=12×12=P(BC)=12×12=所以P(AB)=P(AC)=P(BC)，故A正确；对于B，易知P(A|B)=P(A)，P(A|C)=P(A)，所以P(A|B)=P(A|C)=12，故B对于C，事件A，B，C不可能全部同时发生，故P(ABC)=0，故C错误；对于D，P(A)P(B)P(C)=12×12×12=18三、填空题(每小题5分，共10分)9.某同学高考后参加国内两所名牌大学A，B的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过A，B大学招生考试的概率分别为x，13，该同学能否通过这两所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率为12，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为答案2解析∵该同学能否通过这2所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率P=23x+13(1-x)=13+13故x=12∴该同学至少通过1所大学招生考试的概率为1-12×23=10.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回原箱中，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原箱中，依次类推，第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第n次取出的球是红球的概率为Pn，数列{Pn}前n项和Sn=.答案1解析依题意得P1=C51C第n次取出的球是红球的概率为Pn，则第