高中数学 加练 专题5　第47练　极化恒等式

第47练极化恒等式(分值：40分)1.极化恒等式在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.几何解释(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](如图(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即AB·AC=AM2-MB2(M为BC的中点)(如图极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的四分之一，即如图所示，a·b=14(|AD|2-|BC|2)，我们称为极化恒等式.已知在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC等于(A.-16 B.16 C.-8 D.8答案A解析由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，由已知得AD=2AM，|AM|=3，|BC|=10，AB·AC=14(4|AM|2-|BC|2=14×(36-100)=-162.在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP=4，则点P的轨迹为()A.椭圆 B.抛物线C.直线 D.圆答案D解析设M，N的中点为A，由极化恒等式可得MP·NP=|PA|2-14|MN|2=4，因为M，N3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-32 C.-43 D答案B解析如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，则PA·(PB+PC)=2PA·PD=2|PM|2-12|AD|2=2|PM|2-32≥-32，当且仅当M与4.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得PE·PF=λ成立，那么λ的取值范围是()A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4)答案D解析如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得PE·PF=|PO|2-4=λ即|PO|2=λ+4，所以|PO|=λ+4，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<λ5.正△ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，△ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM·PN的取值范围是()A.[-1，5] B.[-1，7]C.[0，2] D.[1，5]答案D解析如图，设O为△ABC外接圆的圆心，因为BD=2DA，所以OD=13AC=1当弦MN的长度最短时，MN⊥OD，此时D为MN的中点.在△ABC中，由正弦定理知，外接圆的半径R=12·ABsinC=12·即OM=3，所以MN=2MD=2O=2(3)2由极化恒等式可得PM·PN=PD2-=PD2-14×(22)2=PD因为点P为线段BC上的动点，所以当PD⊥BC时，|PD|min=|BD|sin60°=2×32=3当点P与点C重合时，|PD|max=|CD|，在△BCD中，由余弦定理知，CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠ABC=9+4-2×3×2×12=7所以|PD|max=|CD|=7，综上，|PD|∈[3，7]，则PD2-2∈[1，5]所以PM·PN的取值范围为[1，5].二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若AB·AD=-7，则BC·DC=.答案9解析由AB·AD=AO2-14BD2=9-14BD则BC·DC=CB·CD=CO2-14BD2=25-7.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则PE·PF的取值范围是.答案[39，55]解析由向量极化恒等式知PE·PF=|PB|2-|BE|2=|PB|2-9.又△ABC是边长为8的等边三角形，所以当点P位于点A或点C时，|PB|取最大值8.当点P位于AC的中点时，|PB|取最小值，即|PB|min=8sinπ3=43所以|PB|的取值范围为[43，8]，所以PE·PF的取值范围为[39，55].8.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则PC·PD的取值范围是.答案[0，4]解析如图，∵PA⊥PB，∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，由向量极