高中数学 加练 综合练6

综合练6(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(-5，-4).若向量(a+kb)与c共线，则k等于()A.-23 B.-12 C.-1答案A解析因为a=1，2，b=所以a+kb=1-k又a+kb∥c，所以-52+解得k=-232.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有()A.240种 B.192种 C.144种 D.96种答案B解析先对甲、乙两人进行排列，有A22种站法；然后从剩下的4人中选1人站在甲、乙两人中间，有最后将甲、乙和中间的那个人看成1个元素，与其他3个元素进行全排列，有A4所以不同的站法有A22C413.记等比数列{an}的前n项之积为Tn，则“a6a7>1”是“T12>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若a6a7>1，则有T12=a1a2…a12=(a6a7)6>1，故充分性成立；若T12>1，即a1a2…a12>1，即(a6a7)6>1，则a6a7>1或a6a7<-1，故必要性不成立，所以“a6a7>1”是“T12>1”的充分不必要条件.4.已知x>0，y>0，且2x+y=1，则x+yxy的最小值为A.4 B.42 C.6 D.22+3答案D解析因为x>0，y>0，且2x+y=1，所以x+yxy=1y+1x=1y=2xy+yx+3≥22x当且仅当2xy=yx，即x=2-22，y5.已知α+β∈(0，π)，且tanα=2，cos(α+β)=-31010，则tan(α-β)等于(A.-913 B.913 C.-7答案A解析因为α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=-310可得sin(α+β)=1-cos2(则tan(α+β)=-13又tan2α=2tanα1-tan故tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β6.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线y=kx(k≠0)与C的左、右两支分别交于点A，B，若FA·FB=0，|FA|=2A.y=±223x B.y=±C.y=±324x D.y=±答案A解析设C的右焦点为F'，由题意知四边形FAF'B为平行四边形.因为FA·FB=0，所以FA⊥FB，故四边形FAF'B为矩形，由双曲线定义得，在Rt△AFF'中，|AF'|=|AF|+2a=8a由|AF'|2+|AF|2=|FF'|2，得8a32+2a32=(2c)所以ba=b2a2=c2-a2a2=179二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.函数f(x)=4sin(ωx+φ)0<ω≤2，A.φ=-πB.f(x)的图象关于直线x=π对称C.f(x)=4cosxD.若方程f(x)=2在(0，m)上有且只有5个根，则m的取值范围为26π答案ACD解析对于A，由f(0)=-2，得4sinφ=-2，即sinφ=-12又-π2<φ<π2，所以φ=-π6对于C，又f(x)的图象过点π3则f

π3=0，即sinωπ所以ωπ3-π6=kπ，k得ω=3k+12，k∈Z又0<ω≤2，所以ω=12所以f(x)=4sinx=4sinπ2+x2-对于B，因为f(x)=4sinx2而f(π)=4sinπ2-π6=4sin故直线x=π不是函数f(x)的图象的对称轴，故B错误；对于D，由f(x)=2，得cosx2-2π解得x=2π+4kπ，k∈Z或x=2π3+4kπ，k∈Z方程f(x)=2在(0，m)上有5个根，从小到大依次为2π3，2π，14π3，6π，26π3，而第6个根为10π，所以26π3<m≤10π8.将正数x用科学记数法表示为x=a×10n，a∈[1，10)，n∈Z，则把n，lga分别叫做lgx的首数和尾数，分别记为S(lgx)，W(lgx)，下列说法正确的是()A.若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，则S(lg(MN))=S(lgM)+S(lgN)B.若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，则W(lg(MN))=W(lgM)+W(lgN)C.若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，则SlgMN=S(lgM)-S(lgD.若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，则WlgMN=W(lgM)-W(lg答案AD解析对于A，若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，则S(lgM)=m，S(lgN)=n，MN=6×10m+n，S(lg(MN))=m+n，所以S(lg(MN))=S(lgM)+S(lgN)，故A正确；对于B，若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，则W(lgM)=lg2，W(lgN)=lg8，MN=16×10m+n=1.6×10m+n+1，W(lg(MN))=lg1.6，所以W(lg(MN))=W(lgM)+W(lgN)不成立，故B错误；对于C，若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，则S(lgM)=m，S(lgN)=n，MN=12×10m-n=5×10m-n-1，SlgMN=m所以SlgMN=S(lgM)-S(lgN)不成立，故对于D，若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，则W(lgM)=lg8，W(lgN)=lg2，MN=4×10m-n，WlgMN=lg所以WlgMN=W(lgM)-W(lgN)，故D三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知b>0，函数f(x)=a+4bx2x是奇函数，则a答案0解析因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)=a+4bx2x是奇函数，所以f(0)所以f(x)=4bx-12x=2(2b-1)x由f(-1)=-f(1)知21-2b-2=-22b-1+12即21-2b+22b-1=52又因为b>0，所以1-2b≠1，则2b-1=1，b=1，所以f(x)=2(2b-1)x-2-x=2x-2-x，满足题意，所以a+b=0.10.记Nm*={1，2，3，…，m}(m∈N*)，Ak表示k个元素的有限集，S(E)表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k=S(Ak)|Ak⊆Nm*，则M4,3=，若S答案{6，7，8，9}21解析当m=4，k=3时，N4*={1，2，3，4}，A3表示由Ak⊆Nm*可知A3={1，2，3}或A3={1，2，4}或A3={1，3，4}或A3={2，3，4故M4,3={6，7，8，9}；由题意知Mm,2={3，4，5，…，2m-1}，故由S(Mm,2)≥817可得(2m-1-2)(3+2m即(2m-3)(m+1)≥817，解得m≥1+65614=20.5或m≤1-65614=-20结合m∈N*，故m的最小值为21.四、解答题(共28分)11.(13分)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品.(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3分)(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示抽得的产品为优秀品的个数，求X的分布列及数学期望；(5分)(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三家汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的优秀品率分别为0.60，0.30，三家产品数在市场中所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的产品为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？(5分)解(1)由题知，(0.010+0.015+0.035+m+0.010)×10=1，解得m=0.030.设x为样本数据的平均数，则x=55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76.5，故这组样本数据的平均数为76.5.(2)设p表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题知p=(0.03+0.01)×10=0.4，故随机变量X~B(3，0.4)，X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=C30·(1-0.4)3=0.P(X=1)=C31·(1-0.4)2×0.4=0.P(X=2)=C32·(1-0.4)×0.42=0.P(X=3)=C33·0.43=0.所以X的分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064随机变量X的数学期望E(X)=3×0.4=1.2.(3)设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，P(A|B1)=0.4，P(A|B2)=0.6，P(A|B3)=0.3.由全概率公式得P(A)=i=13P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.4+0.3×0.6+0.5×0.3=0.由贝叶斯公式得P(B1|A)=P(B1)P12.(15分)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点E，F分别在边AD，AB上(不含端点)，且存在实数λ，使EF=λDB，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示.(1)若DE⊥PB，求λ的值；(7分)(2)当点E的位置变化时，平面PEF与平面BPF夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)解(1)在图2中，取EF的中点O，BD的中点M，连接OP，OM，∵EF=λDB，即EF∥BD，∴PE=PF，∴PO⊥EF，又∵平面PEF⊥平面BCDEF，平面PEF∩平面BCDEF=EF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面BCDEF，由题意可知OM⊥EF，以O为原点，OF，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设OP=x(0<x<23)，AB=4，则OM=23-x，OE=x3∴B(2，23-x，0)，E-x3，0，0，P(0，0，x)，D(-2，23故DE=2-xPB=(2，23-x，-x)，∵DE⊥PB，∴DE·PB