2026年重庆市人教版高中数学选修2-3立体几何综合测试卷

2026年重庆市人教版高中数学选修2-3立体几何综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-2y+3z=6的距离为（）A.1B.√14C.√22D.√26解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和α：x-2y+3z=6得d=|1×1-2×2+3×3+6|/√(1²+(-2)²+3²)=√22，故选C。2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影方程为（）A.x=1，y+z=0B.x=1，y-z=0C.x=0，y+z=1D.x=0，y-z=1解析：直线l与平面α的法向量（1，1，1）垂直，投影方向为（0，1，-1），投影平面方程为x=1，法向量为（1，1，1）×（0，1，-1）=（2，1，1），即y+z=0，故选A。3.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.√6/12B.√3/12C.1/4D.1/6解析：设底面ABC面积为S，重心到顶点的距离为2/3×高，由射影定理PA²=PG•PE得PG=1/3，PE=2/3，体积V=1/3×S×PG=1/3×√3/4×1×1/3=√3/12，故选B。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：底面中心O到顶点A的距离为√2，SO=√(SA²-AO²)=√(3-2)=1，侧面三角形SAB中cos∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=1/√3，故选A。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正切值为（）A.1/2B.√2/2C.1D.√2解析：建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1），B₁（1，0，1），D（1，1，0），平面B₁C₁CD的法向量为（0，1，-1），向量AE=（-1，0，0），cosθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，tanθ=1/√2，故选B。6.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，OP=2R/√3，cos∠POQ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故选A。7.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值为（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：BC=√5，PC=√6，向量BC=（-1，0，0），向量PC=（-1，√5，2），cos∠BCP=|BC•PC|/|BC||PC|=√5/√30=1/√6，cos∠BCP=√5/√30=1/√6，故选A。8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A.2/3B.√3/3C.1/2D.√2/2解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中sin∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故选A。9.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，则二面角A-BB₁-C的余弦值为（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/2解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=√3/2，故选B。10.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则侧面与底面所成二面角的正切值为（）A.1B.√2C.2D.√3解析：侧面斜高为√(1²+(1/2)²)=√5/2，底面边长差为1，tanθ=1/1=1，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则直线AE与直线CF所成角的余弦值为______。解析：向量AE=（-1，0，0），向量CF=（-1，-1，1），cosθ=|AE•CF|/|AE||CF|=1/√3，故填√3/3。2.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P-ABC的表面积为______。解析：底面ABC为等边三角形，边长为√6/√3=√2，表面积S=√3/4×(√2)²+3×1×√2=√3+3√2，故填√3+3√2。3.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面所成二面角的正弦值为______。解析：底面中心O到顶点A的距离为√2，SO=√(SA²-AO²)=√(3-2)=1，侧面三角形SAB中sin∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。4.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中cos∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，则二面角A-BB₁-C的余弦值为______。解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=√3/2，故填√3/2。6.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则侧面与底面所成二面角的正切值为______。解析：侧面斜高为√(1²+(1/2)²)=√5/2，底面边长差为1，tanθ=1/1=1，故填1。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值为______。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B₁C₁CD的法向量为（0，1，-1），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。8.已知球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角为______。解析：设大圆平面为α，OP与α的交点为Q，OP=2R/√3，cos∠POQ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故填30°。9.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值为______。解析：BC=√5，PC=√6，向量BC=（-1，0，0），向量PC=（-1，√5，2），cos∠BCP=|BC•PC|/|BC||PC|=√5/√30=1/√6，故填1/√6。10.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=1，且△ABC为边长为√2的正方形，则三棱锥P-ABC的体积为______。解析：底面ABC面积为1，P到平面ABC的距离为√6/3，体积V=1/3×1×√6/3=√6/9，故填√6/9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与对角线B₁D₁所成的角为60°。（）解析：AC与B₁D₁所成角为∠ACB₁，cos∠ACB₁=|AC•B₁D₁|/|AC||B₁D₁|=1/√3≈0.577，∠ACB₁≈35.26°，故错误。2.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，则PA=PB=PC。（）解析：重心到顶点的距离不等，故错误。3.在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成二面角的平面角一定是直角。（）解析：只有当正四棱锥为正方体时才成立，故错误。4.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则二面角A-PBC一定是直角。（）解析：只有当BC⊥PC时才成立，故错误。5.在正三棱锥S-ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角一定是60°。（）解析：只有当正三棱锥为正四面体时才成立，故错误。6.若正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则侧面与底面所成二面角的正切值一定是2。（）解析：tanθ=1/1=1，故错误。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则直线AE与直线CF所成角一定是60°。（）解析：cosθ=1/√3≈0.577，∠ACF≈35.26°，故错误。8.若球O的半径为R，点P在球面上，OP与球面上过P的某大圆所在平面的距离为R/2，则OP与大圆所在平面的夹角一定是30°。（）解析：cosθ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故正确。9.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，则二面角A-BB₁-C一定是60°。（）解析：cosθ=√3/2，∠A-BB₁-C=30°，故错误。10.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P-ABC的体积为√3/12。（）解析：体积V=√6/9，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，求直线AE与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。解析：建立空间直角坐标系，A（1，1，1），E（0，1，1），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），向量AE=（-1，0，0），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。2.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中tan∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。3.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，求二面角A-BB₁-C的余弦值。解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=√3/2，故填√3/2。4.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，求侧面与底面所成二面角的正弦值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√2，SO=√(SA²-AO²)=√(3-2)=1，侧面三角形SAB中sin∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。5.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：侧面斜高为√(1²+(1/2)²)=√5/2，底面边长差为1，tanθ=1/1=1，故填1。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B₁C₁CD的法向量为（0，1，-1），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。7.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中cos∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。8.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，求二面角A-BB₁-C的正切值。解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），tanθ=|n₁×n₂|/|n₁||n₂|=√3，故填√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√2，SO=√(SA²-AO²)=√(3-2)=1，侧面三角形SAB中tan∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。2.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中cos∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。3.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，求二面角A-BB₁-C的余弦值。解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=√3/2，故填√3/2。4.在正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：侧面斜高为√(1²+(1/2)²)=√5/2，底面边长差为1，tanθ=1/1=1，故填1。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B₁C₁CD的法向量为（0，1，-1），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。6.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中tan∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，求二面角A-BB₁-C的正切值。解析：设AB=1，平面ABB₁A₁的法向量为（0，√3/2，1），平面BCC₁B₁的法向量为（√3/2，0，1），tanθ=|n₁×n₂|/|n₁||n₂|=√3，故填√3。8.在正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：侧面斜高为√(1²+(1/2)²)=√5/2，底面边长差为1，tanθ=1/1=1，故填1。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁C₁CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B₁C₁CD的法向量为（0，1，-1），sinθ=|AE•n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。10.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到顶点A的距离为√3，SO=√(SA²-AO²)=√(9-3)=√6，侧面三角形SAB中cos∠SAB=(AB²+SA²-SB²)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.C8.A9.B10.A解析：1.距离公式计算；2.投影计算；3.重心性质；4.正四棱锥几何性质；5.空间向量法；6.球几何性质；7.二面角计算；8.正三棱锥几何性质；9.矩形棱锥性质；10.正四棱台几何性质。二、填空题1.√3/312.√3+3√213.2/314.1/√315.√3/216.117.√2/218.30°19.1/√620.√6/9解析：11.向量法计算夹角；12.体积公式；13.正四棱锥几何性质；14.正三棱锥几何性质；15.平面法向量；16.正四棱台几何性质；17.向量法计算夹角；18.球几何性质；19.矩形棱锥性质；20.三棱锥体积公式。三、判断题1.×