现代信号处理教程（第三版）课件 第7章 两通道滤波器组

第7章两通道滤波器组7.1 两通道滤波器组中各信号的关系7.2 和的选择7.3标准正交镜像滤波器组7.4共轭正交镜像滤波器组7.5共轭正交镜像虑波器的设计7.6仿酉滤波器组7.7两通道仿酉滤波器组的Lattice结构7.8线性相位准确重建两通道滤波器组7.9树状滤波器组7.1两通道滤波器组中各信号的关系

希望：PR抽取的基本关系分析滤波器组和输入的关系，

插值的基本关系于是输出和综合滤波器组的关系

因为将该式展开得：找到了两通道滤波器组输入与输出的关系，其中包含了分析滤波器组，综合滤波器组，输入信号，输入信号频谱的“移位”。？是产生混迭失真的来源，应设法去除。令则则如果令保证去除混叠失真共同产生，表现在强制去除了混迭失真，但还会存在幅度和相位失真，由如果全通，则去除了整个滤波器组的幅度失真；如果线性相位，则去除了整个滤波器组相位失真；如果失真传递函数问题：如何选择另外，四个滤波器有何关系？来保证：由于两通道滤波器组输入、输出关系的图解形式：7.2 和的选择

为保证：直观上：非常简单！注意到，的选择不取决于，，即：不论，是何种类型的滤波器，按，

来选择

和，都可以去除混迭失真。含意：：LP；：HP；：LP；分析：LP；：HP；综合两通道滤波器组中，每一支路中的滤波器的基本性能应大体一致，即上支路的滤波器若是低通的，也应是低通的；因为是低通，所以是高通，因此，也应是高通。保证了：，再关心：由：即：7.3节再讨论

和选取的一般原则

调制矩阵，含有(-z)的分量写成更一般的形式：PR等效要求因为

和选取的一般原则。比前述最直接的形式多了前面分式项所以讨论：若，是FIR的，则也是FIR的，这样，和都将变成IIR的，这是不希望的；保证，为FIR的唯一途径是令为纯延迟，例如一般原则特殊原则总结：1.和选取的原则是为了去除混叠失真；2.和选取可以和,无关；

3.和选取的原则是为了保证准确重建；必要条件这是第5章给出的一个多抽样率系统，它可以看作是一个两通道的滤波器组例1显然：PR!意义？讨论几个常用的关系：上述四个转换关系涉及到信号处理的基本知识，要求会证明。在后面的讨论中要反复用到。由上述关系，还可以得到两通道滤波器组在保证去除混迭失真的情况下，各滤波器时域之间的关系。7.3标准正交镜像滤波器组7.3.1标准正交镜像滤波器组中的基本关系7.3.2FIR标准正交镜像滤波器组目标：在选定和，去除了混叠失真后，如何选取和，以实现PR7.3.1标准正交镜像滤波器组中的基本关系上一节已选定如何选取和，以实现PR?最简单的方法：给定低通原型滤波器,再标准正交镜像滤波器组于是要求PR条件一般结论问题是：如何选择和，使上式满足？即：如何消除幅度失真和相位失真？去除幅度失真：应为全通系统；去除相位失真：具有线性相位；PR此外，希望都是FIR的；都具有线性相位；都具有好的幅频特性；注意：PR是整个滤波器组的要求，四个滤波器满足上述三条，并不能保证PR，反之亦然。利用多相结构来探讨这一问题所以：两通道滤波器组新的表示形式：由讨论：1.关于去除幅度失真由：全通有：不论是FIR、IIR都不是FIR结果，都不是FIR若让是FIR的，只能取纯延迟的形式，结果，也是纯延迟，即

由：按已给的原则选取，，，可以实现PR。但这样的滤波器毫无意义，它既无好的通带，又无好的阻带。PR是唯一目的为什么要求滤波器具有好的性能？例2PR!四个滤波器都具有线性相位，但这样的滤波器无实用价值！几点解释：1.PR不是唯一目的，要求每一个滤波器都有好的性能，这是滤波器组中间对信号处理的需要；怎么办？3.本节的正交镜像滤波器组，可以实现PR，但滤波器变成了纯延迟，无意义。即正交镜像滤波器组不可能同时去除幅度失真、相位失真而又具有实际意义。2.实现PR，包含去混迭、去幅度失真和相位失真。去除了幅度失真，不意味着滤波器有好的幅频响应；去除了相位失真，不意味着滤波器有线性相位；标准正交滤波器组中的几个解决方案：1.强调滤波器具有线性相位，去除相位失真，对幅度失真放宽，即近似实现PRFIRQMF,一个实用的方法2.强调滤波器组具有全通特性，即去除幅度失真，不考虑相位失真，近似PR，IIRQMF,一个值得重视的方法3.放弃，改用其他关系7.3.2FIR标准正交镜像滤波器组令：则：代入

不是全通，严重幅度失真分析上式：如果则去除了相位和幅度失真上述结果表明，在为偶数时，只要做到“功率互补”

“功率对称”

或即可去除相位失真，又可去除幅度失真。但是，前面已证明，若按的原则确定分析滤波器组的关系，那么只能取纯延迟的形式，这样的滤波器无实用意义。解决的方案是放弃去除幅度失真，保留去除相位失真，即近似作到PR，即：目标：设计一线性相位滤波器，使其幅频响应近似满足如上的功率互补关系，从而近似实现PR设计方法思路：首先确定一目标函数，它包含两部分内容，一是反应在阻带的衰减，二是反映通带相加接近于1的程度。注意：只能取偶数

反映阻带内的能量，越小越好反映全带内滤波器能量和1的偏差，越小越好采用优化算法，求出要设计的滤波器。 称为Johnston算法目标函数例令，设计一线性相位、具有近似功率互补的滤波器。正交镜像滤波器组（QMFB）不可能实现PR：7.4

共轭正交镜像滤波器组如果滤波器具有线性相位，则若实现PR，滤波器只能是纯延迟，无实用价值；若强调滤波器具有线性相位，在为偶数的情况下，可用最优化的方法设计出近似PR的滤波器组。独立给出了一个PR滤波器组的设计方法现考虑设计PR滤波器组。当然，滤波器不具有线性相位，但总的相位失真抵消。

SmithandBarnwell:1984Mintzer:1985给定低通滤波器令：则有：该式的含意：1.将变成，等效地将移动，所 以得到的是高通的；3.

乘以，目的是令变成因果的。2.

，等效于将翻转变成 令：则有：前面的基本关系。很容易证明：该滤波器组有何特点？?所以去除了混迭失真？由：有：如果保证：则：或：实现PR于是：功率互补令：则：问题是，CQMFB对滤波器的指定能否保证上面的功率互补关系?后面说明。由：谱分解，可得到注意：在QMFB中，无法谱分解所以，本节的滤波器组称为“共轭正交镜像滤波器组”，即“CQMFB”，通常简称为“正交滤波器组”，或“功率互补滤波器组”由按CQMFB定义的是一个半带滤波器。证明：定理7.1：记：则：代入所以，是一半带滤波器。必有推论：如果是FIR,则一定 是线性相位的。？定理7.1指出，从那么，是一个半带滤波器；反过来，由半带滤波器的性质，必有功率互补各自和相互之间有如下正交性；定理7.2：

（1）

各自都具有偶次移位的正交性；因此，为了得到一个满足功率互补关系的，就需要首先设计一个半带滤波器，并令再做谱分解，即可得到功率互补的证明相关半带滤波器其他两式可同样证明

（2）

之间具有偶次移位的正交性；例3所以

7.5共轭正交镜像虑波器的设计

1．首先设计一个半带滤波器。恒正由于保证恒正所以2．对作谱分解

保持恒正的简单方法应是线性相位的

零点分解的原则：不再具有线性相位由于在QMFB中，分解滤波器若具有线性相位，为实现PR，该滤波器只能为纯延迟，因此，要放弃线性相位的要求。这样，应将单位圆内的零点赋给。3.对的因式分解对作谱分解，得个零点：可以求出

都可以求出例试设计一共轭正交镜像滤波器组，并给出相关过程

令

，，用Chebyshev最佳一致逼近设计单带滤波器；Step1Step2得到幅频响应非负的，的长度为43Step3谱分解，得到CQMFB单带及半带滤波器恒正的半带滤波器谱分解例利用上例CQMFB重复实现对该信号的分解，并利用和对分解后的信号重建。

将一个正弦加白噪声的信号原信号重建后的信号概念：7.6仿酉滤波器组

一个多输入、多输出系统的转移函数为：1.如果正交阵实矩阵

2.如果酉矩阵复矩阵

正交阵和酉矩阵每两行和每两列之间都是正交的，若，归一化的正交阵，或酉矩阵。3.给定，将（1）取转置；（2）用；（3）系数取共轭，得，即如果有则称为 仿酉矩阵(Paraunitary matrix)

容易证明，共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）的调制矩阵都是仿酉矩阵如果一个系统的转移函数矩阵是仿酉矩阵，则称该系统为“仿酉系统”。如果仿酉矩阵的每一个元素都是一个稳定的、因果的系统，则所表示的系统称“无损系统（losslesssystem）”

仿酉矩阵可以分解为一系列简单矩阵的乘积，而每一个简单矩阵仍然是仿酉矩阵。这就是说，一个仿酉系统可分解为一系列简单的仿酉子系统的级联，这就为设计仿酉滤波器组提供了新的方法，同时也引出了滤波器组的Lattice结构。上一节的谱分解技术是设计功率互补滤波器组的一个有效方法，但不可避免的要做高阶多项式的分解，有时要高达50～100阶，会引入较大的误差。关于功率互补滤波器组调制矩阵仿酉性的证明：为什么要讨论仿酉矩阵？关于调制矩阵仿酉性的证明：调制矩阵CQMFB关系：代入得到：由仿酉矩阵的定义，有：于是：仿酉矩阵利用功率互补关系：

并可求出：同理可求出：也是仿酉矩阵这样，由两通道滤波器组的输入、输出关系：以上结果表明，共轭正交镜像滤波器组等效于一个仿酉系统，所以仿酉系统也具有功率互补性质。仿酉系统可实现PR，但实现PR的系统不一定是仿酉的，如双正交滤波器组。用多相结构的形式来考察仿酉系统：即实现了PR

对综合滤波器，有：于是，两通道滤波器组可表示为如下的形式：利用多抽样率系统的恒等变换，有：令：欲实现PR，要求：可推广到通道若,都是仿酉矩阵，由PR：分析和综合滤波器组的又一关系并且有：PR的充要条件或有：总之，对CQMFB，其调制矩阵是仿酉矩阵，其多相矩阵也是仿酉矩阵。用多相结构表示，可得出更简洁的表示，有利于得到新的滤波器组分析和设计方法。仿酉滤波器组的性质：1．是功率对称的

是一半带滤波器2．

如果是实系数3．，是功率互补的；5．

6.，也是功率互补的；7．

长度都是，为偶数4．，都是仿酉矩阵，，也是仿酉矩阵，7.7两通道仿酉滤波器组的Lattice结构目的；寻找设计PR滤波器组的新方法7.7.1FIR系统的Lattice结构7.7.2功率互补FIR系统的Lattice结构7.7.3两通道仿酉滤波器组的Lattice结构7.7.1FIR系统的Lattice结构基本单元滤波器的系数转换为参数定义：递推关系：

令：则：求出Lattice系数在上述Lattice结构的是、下支路中，转移函数之间有如下关系：和的零点是以单位圆为镜像对称的现将上述结果引入两通道滤波器组7.7.2功率互补FIR系统的Lattice结构功率对称滤波器：功率互补滤波器：两个功率互补的滤波器满足：注意：普通FIRLattice上、下支路满足功率对称及功率互补关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。功率互补是在滤波器组中避免幅度失真的必然条件，因此，讨论功率互补滤波器的Lattice结构是必要的。功率互补滤波器的Lattice结构有如下特点：（1）每一级的上、下支路的系数的符号相反；（2）当为偶序号时，。功率互补Lattice结构特点的证明：对第1级令即第1级功率互补满足基本关系应用数学归纳法：假定第级功率互补，对级：功率互补以上证明：给定上面的Lattice结构，上、下两个通道具有功率互补关系；还应该反过来证明，即给定两组功率互补的滤波器，它们有如上的Lattice结构。由上面的讨论可知，系数的变化并不改变Lattice结构的功率互补性质，这是Lattice结构的突出优点。例功率互补7.7.3两通道仿酉滤波器组的 Lattice结构仿酉滤波器组的结构形式：因为：极其简单所以，如果能将和分解成简单的形式，那么，两通道滤波器组的实现就会变的简单，也能找到新的设计方法。仿酉系统的一个重要性质：如果和都是仿酉矩阵，则证明：和都是仿酉矩阵，都可分解成简单的形式。也是仿酉矩阵如何分解？的分解仿酉矩阵仿酉矩阵旋转矩阵转移矩阵仿酉矩阵仿酉矩阵级联实现则令

的分解：利用的特点：利用的特点：加上二抽取环节：仿酉分析滤波器组的Lattice结构，也是的分解结构，它和功率互补滤波器组的结构形式是一样的，即：当为偶数时，综合滤波器组，即

的分解，也可按同样的方法实现仿酉滤波器组Lattice系数的计算：由功率互补滤波器组的基本关系：分析滤波器组中的低通滤波器例满足CQMFB,可求出其Lattice系数：1.J个系数2.正负交替3.递减系数的序号和前面稍有不同为什么要讨论仿酉滤波器组的Lattice结构？前面的讨论指出，是由半带滤波器作谱分解得到的。若的长度为，则的长度为，这就需要求解一个阶次为的多项式。当较大，特别是当有较多的零点位于单位圆上时，这一分解将会出现较大的误差，从而影响 和的功率互补性质。文献[Vai88]给出了利用最优化方法直接求解CQMFB的Lattice系数来设计 的方法，从而避免了谱分解运算。该算法首先定义一个目标函数如何由Lattice结构来设计一个CQMFB？考虑阻带能量最小定义目标函数假定保证了先给定的长度；用Johnston优化法设计一近似满足功率互补的；用上述优化方法，求出步骤

文献[Vai88]Latticestructuresforoptimaldesignandrobustimplementationoftwo-channelperfectreconstructionfilterbanks.IEEETrans.Acoust.,Speech,andSignalProc.,36(1):91—94,1988利用上述方法计算了20多个不同阶次及不同通带、阻带以及不同衰减下的Lattice系数，可满足多种情况下的需要。有了Lattice系数，即可构造出利用CQMFB的关系，再得到：避免了谱分解。前提：Lattice系数不影响系统的仿酉性质。结论1：在普通的FIR系统的Lattice结构中，上、下支路的系数同号；而在仿酉系统的Lattice结构中，上、下支路的系数反号。这是因为矩阵符号相反结论2：在上述Lattice结构中,有如下关系：仿酉滤波器组Lattice结构小结：结论3：由于：仿酉系统整个系统都是仿酉的。Lattice系数不影响系统的仿酉性，只影响系统的定标。这样，系数量化误差，乘法中的舍入误差，都不影响系统的PR，这是Lattice结构的突出性质。结论4：研究Lattice结构上、下只路的关系。因为可导出：又因为：所以：正是CQMFB的定义其Lattice系数的偶序号项为零。所以，如果是功率互补的FIR滤波器，其Lattice系数有个；可以证明，功率互补滤波器设的长度为。如果是普通的FIR滤波器，其Lattice系数有个；系数减少一半结论5：7.8线性相位准确重建两通道 滤波器组7.8.1两通道滤波器组中的制约关系7.8.2由谱分解求，7.8.3Lattice结构7.8.1两通道滤波器组中的制约关系1.基本关系：PR2.为保证去除混叠失真，即选择：最简单的形式或一般形式即综合滤波器的选择不依赖于分析滤波器的选择。3.标准正交滤波器组（QMFB)若要求PR，且保持FIR滤波器:简单的选择：低通：高通只能是纯延迟，无实际意义解决的办法：取近似PR，用优化方法设计近似PR的，用的是Johnson方法。同时，设计出的滤波器具有线性相位。4.共轭正交滤波器组（CQMFB)做到了PR，四个滤波器都是FIR的；但都不是线性相位的。

QMFBCQMFB基本关系相位特点线性非线性

幅频特点近似功率对称功率对称去除失真情况混迭失真：抵消幅度失真：最小相位失真：去除混迭失真：抵消幅度失真：去除相位失真：去除PR情况近似PRPRQMFB和CQMFB总结：注意：表中去除“相位失真”，是指总的效果：尽管CQMFB的每一个滤波器都不是线性相位的，但由于其PR性能，最终还是去掉了相位失真。实际工作中，特别是语音、通讯、图像处理中，希望滤波器是线性相位的，从而保证在滤波器组内部各点处的中间信号也不发生相位失真。因此，希望：①它具有PR性能；②四个滤波器都具有好的通带和阻带；③四个滤波器都具有线性相位。QMFB、CQMFB的本质：来自同一低通原型滤波器，因此，四个滤波器有相同的结构QMFB:CQMFB:可否在每一个滤波器都具有线性相位的情况下作到PR？1.放弃的制约条件QMFB2.放弃和的功率互补性质

CQMFB关于放弃和功率互补性质的说明：假定，：FIR，线性相位，长度为仿酉代入解决的途径：1.使用新的谱分解方法；2.使用双正交滤波器组，采用Lattice结构是纯延迟，这样的滤波器无实际意义。均为常数相加减功率互补谱分解二者有相同的幅频；相同长度；一个因果，一非因果半带；线性相位；非因果Validhalfbandfilter放弃功率互补性质，意味着放弃上述的谱分解方法，这样，不再是简单的来自，二者将不再是“同一类型”的滤波器。，也是如此。7.8.2由谱分解求新的谱分解方法

：保证变成因果的;和的长度不再一样；得到的和都可以有线性相位；可以保证PR；正交滤波器组变成双正交滤波器组；仍取：分解的特点:关于PR的证明：满足功率