现代信号处理教程（第三版）课件 第13、14章 Hilbert Huang变换基础、Hilbert Huang变换新进展及其应用

第4篇Hilbert－Huang变换

第13章Hilbert－Huang变换基础13.1非平稳和非线性信号13.2已有非平稳信号分析方法简述13.3关于瞬时频率的进一步讨论13.4经验模式分解13.5Hilbert谱分析现实世界中信号绝大部分都是非平稳和非线性的，而教科书中讨论的众多数字信号处理的方法都是假定信号是线性的，确定性的，或平稳的。美籍华人科学家黃鍔（N.E.HUANG）教授针对非平稳和非线性信号的分析，于1998年提出了一个称之为Hilbert－Huang变换的理论，从而为非平稳，特别是非线性信号的分析与处理开辟了一个高效和新颖的途径。13.1非平稳和非线性信号“平稳”信号有两种定义方法：一、若随机信号

的均值为常数，即且自相关函数和选取起点无关，即称是宽平稳的。宽平稳信号的二阶矩（自相关函数，功率谱）不随时间变化。二、频率不随时间变化的信号称为时不变信

号，或平稳信号。以上两个定义是一致的。不满足上述条件的信号就是非平稳信号。自然界的绝大部分信号都是非平稳的。如我们的语音，人体所有生理信号，等等。

“非平稳”信号的模型：Chirp信号

Chirp信号，非平稳关于非线性信号非线性系统输出的信号；线性系统也可能输出非线性信号（系统饱和）。线性系统是针对复杂现象而提出的理想化模型。多数情况下，这一假设可近似成立。线性移不变系统（LSI），最大特点：满足叠加原理。非线性系统：VanderPol微分方程Duffing微分方程在现实世界中确存在着很多非线性系统，其输出（信号）是无法用线性系统来近似的。我们人体的电生理信号，如ECG，EEG，EMG，都是细胞膜电位通过人体系统后在体表叠加的结果。

人体组织是非线性的，因此，这些信号严格地说都是非线性信号，但目前我们都是把它们当作线性信号来处理。实际工作的需要，促使人们探索非平稳和非线性信号的处理方法。

傅里叶变换是信号分析和处理中的基本方法，已获得了广泛的应用，其本质是：将周期信号分解为常数幅度、离散常数频率的正弦的组合。周期信号FS非周期信号将信号分解为常数幅度、连续常数频率的正弦的组合。FT傅里叶变换的不足：1.不具有时间和频率的“定位”功能;2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性3．傅里叶变换在分辨率上的局限性显然，傅里叶变换对非平稳和非线性信号不适用。傅里叶变换的不足是推动新的信号处理的原动力！13.2已有非平稳信号分析方法简述

短时傅里叶变换

对信号分段，求每一段的傅里叶变换，得到信号的联合时频分析，如谱图。不足：

（1）如何确定多长的一段是局部平稳的？

（2）在分辨率方面也受到不定原理的制约，即为了好的时间定位，希望每一段尽量短，但这影响频率分辨率，反之亦然。2.Wigner-Ville分布WVD给出了信号的能量随时间和频率的分布，被公认为是对非平稳信号分析和处理的重要工具，并已获得广泛应用。不足：

（1）是的FT，受不定原理的制约，即时间/频率分辨率的制约；

（2）瞬时频率是时间的单值函数，无法表示多分量信号频率分布的特点，给出的只是多个频率在一个时间点上的平均值;

（3）交叉项存在。3．小波变换

小波变换是过去二十年来信号处理领域最重要的进展。在HHT提出（1998）之前，它是分析和处理非平稳信号最成功的工具。不足：

（1）本质上也是加窗后的傅里叶变换；

（2）基函数需要预先指定，缺乏自适应性；

（3）如何选择最优的小波基是一个仍未解决

的问题。13.3关于瞬时频率的进一步讨论瞬时频率是描述非平稳和非线性信号最重要的工具，也是HHT中的核心内容。但接受和理解都比较困难。原因：来自于频率的定义。，为得到频率，至少需要一个周期的长度。小于一个周期的数据将无法求出频率。“瞬时”，自然也就无法对应频率；瞬时频率的定义存在多样性；瞬时频率在计算方面还存在问题。将瞬时频率永远从通信工程师的词典中删除；瞬时频率在给非线性失真波形赋以物理意义方面是概念上的创新。文献上说：

傅里叶变换将信号分解为无穷多常数幅度和频率的复正弦，得到的频率又称傅里叶频率。显然，傅里叶频率是和正弦的周期紧密相连的。因此，用通常的频率的定义来理解瞬时频率，是行不通的。

但瞬时频率是客观存在的。如我们身边绚丽的色彩，悠扬的旋律，都包含了不断变化的频率成分。问题是如何给出确切的定义和有效的计算方法。矛盾！瞬时频率如何定义？Carson于1937年VanderPol于1937年给出：IF是相位函数的微分问题是：实际的信号总是实的，如何得到其相

位函数

？该问题引出了将实信号变成复信号的需要。理由：（1）实信号的幅频响应偶对称，这时求出的信号的

平均频率（频率中心）

，无实际的意义。（2）已在1.3节定义，平均频率是若=0必=0，对非平稳信号，不符合实际（3）复信号易于确定其相位函数。将实信号变成复信号的方法：正交分量法解析信号法解析信号法：Gabor于1946年提出，主要特点

是通过Hilbert变换得到虚部。取正交分量构成复信号正交分量法：理想化方法，假定AM问题是：如何得到出幅度和相位？

因此，该方法不实用。其希尔伯特变换定义为:的解析信号定义为:表示为幅值和幅角的形式:其中:又称：HilbertIF于是可求出IF:解析信号的特点：（1）可唯一地得到信号的幅度和相位

，从而得到IF;（2）解析信号的频谱在负频率处恒为零，克服了实

信号平均频率为零的问题；

（3）由，可以突出

局部特征，

反映到极坐标里，使得相位函数对时间的微分

是瞬时频率。基于解析信号的瞬时频率的定义也存在问题：（1）对任意一个信号，总能求出Hilbert，进而

得到其瞬时频率，但这样的结果有无意义？

结论是：只有当为窄带信号信号时，求

出的瞬时频率才有物理意义。Bedrosian定理:若的包络和载波满足

则通过解析信号求得的瞬时频率才有物理意义。含意：包络可从信号的HT中分离出来，确保得到载波的正交分量。（2）由于

是时间的单值函数，因

此，要求所研究的信号

必须是单分量

信号。对多分量信号，要将其分解为

单分量信号。问题：如何分解？（3）信号

必须是零均值的，且相对于

零均值上、下对称。瞬时频率的其它定义：的WVD的Cohen类分布体现的瞬时频率定义的多样性瞬时频率的“估计”因为实际数据是有限长数据是离散的基于相位函数的差分法基于过零点的方法，基于最小均方的LMS算法，基于递归最小二乘的RLS算法基于时频分布的算法估计方法：相位函数差分法前向后向中心

第4篇Hilbert－Huang变换13.4经验模式分解（EmpiricalModeDecomposition，EMDHHT有两个步骤：经验模式分解（EMD）Hilbert谱分析EMD将复杂信号分解为一系列简单信号：称为“固有模态函数（IntrinsicModeFunction，

IMF）”。一个IMF就是一个窄带信号。这一分解无需先选定基函数；取决于信号本身；因而是自适应的；是高效的。

IMF的特点：数量有限，少量；是窄带信号，方便求瞬时频率；体现信号局部性质，适于非平稳非线性。（1）在持续时间内，其极值点的数目和过零点

的数目应该相等，或最多差一个；（2）在持续时间内，由信号的局部最大和局部

最小定义的上、下包络的均值为零。IMF要

满足：一个IMF波形EMD分解过程：给定

找出

的局部最大、最小值点，再利用三次样条函数对其进行插值得到

的上包络和下包络极大值包络极小值包络记上包络为，记下包络为，求均值曲线，再求

完成了一次迭代。检查是否符合IMF的要求。一般不会，按所示方法重新迭代，直到符合为止，这样可得到一个IMF。

再继续分解，得到新的IMF。包络均值令满足结束条件？否是Sifting步骤：插值计算

包络

信号

一般不是窄带信号，通过EMD分解，可将其分解为若干近似IMF的分量之和。EMD的关键步骤称为Sifting。Sifting的结束条件可以有多种，包括：1、或的范数小于特定阈值；2、本身为窄带信号，不能再分解出IMF分量Sifting结束满足Sifting结束条件？开始EMD流程信号由频率为1Hz，5Hz，10Hz，20Hz，50Hz,和100Hz的正弦信号之和，对其进行EMD分解;例例关于Sifting的停止准则:有多种；尚未完全解决。（1）Cauchy类型的停止准则要求：在时间T内小于给定阈值。（2）基于包络均值的停止准则（3）“S”数停止准则：定义为连续迭代的次数，

而在这连续的迭代过程中，

的极值点的

个数和过零点的个数相等或最多差一个。（4）固定迭代次数的停止准则：

对白噪声做EMD

分解时，EMD等效一个二进滤波器组，但如

果迭代次数大于10这一等效不再成立，因此建

议迭代的停止准则是10次。迭代过程中数据端点的处理：见教材。

EMD的特点：（1）EMD分解可以看作是广义的傅里叶分解。对每一个IMFFS:

EMD用时变幅度、频率代替FS中的固定幅度和固定频率，有利于非平稳和非线性信号的分析与处理。（2）IMF的集合可看作是实现经验模式分解的基函数。该基函数是依赖于数据的，因此是自适应的。即基函数适应了待分解信号的局部特征。而傅里叶变换和小波变换的基函数都是先验的，且是固定的。

IMF基函数具有一般基函数的基本性质，如收敛性，完备性和正交性等。（3）收敛性：尚无理论证明，但在实际应用中可肯定

对任意小的正数

，总存在一个大的数

，使

得均值（4）完备性：信号

可以由其IMF分量完全重建。（5）正交性：IMF基函数的正交性在理论上也还没有得

到证明。文献[Hua98]定义了一个指标IO很小，说明各个IMF分量接近正交。（6）傅里叶变换、时频分布、小波变换都受到不定原理的制约。而EMD是建立在局部的瞬时频率上的，而瞬时频率是通过Hilbert变换得到的，因此EMD不受不定原理的制约。（7）傅里叶变换只适用于确定性信号和平稳

信号；时频分布和小波变换可适用于非

平稳信号但不适用于非线性信号，而EMD既适用于非平稳信号，也适用于非

线性信号。13.5Hilbert谱分析EMD:个IMF都是窄带信号，适于做Hilbert变换残余分量，不考虑HT构成解析信号，得到幅度、相位

求出信号的IMF并由此得到其时变的幅度和瞬时频率后，有两种方法来表示信号的特征：

一是将得到的

个瞬时频率画在同一个平面上，以显示信号的频率内容是如何随时间变化的。该平面的横坐标是时间，纵坐标是频率。

二是将时变幅度和瞬时频率一起考虑，得到信号能量的时频分布，即Hilbert谱。这种方法和第一篇所做的各种时频分布是类似的。例：多分量信号，瞬时频率是的瞬时频率结果都显示了信号频率随时间变化的情况的Hilbet谱信号幅度（能量）随频率的分布关于Hilbet谱的绘制：对一个IMF:幅度的时频分布是:个IMF:已讨论过的时频分布：短时傅里叶变换；Wigner分布；Cohen类分布；连续小波变换均受不定原理制约

EMD：反映局部瞬时频率，而IF是通过Hilbert变换得到，且傅里叶频率和IF有不同的物理意义，因此HHT不受不定原理的限制。即在时频平面上的时频方格的时间宽度和频率宽度可以“任意”地小，得到好的分辨率

。由此，我们可得到Hilbert谱时间、频率轴的定标方法：（1）时间轴上的分点可以很小，但不能小于

；（2）对频率轴，其最大频率是

，最大刻度是;

对应一个震荡的宽带确定的方法Hilbert谱具有内部调制的正弦主频在频率0.1处，围绕着主频有上、下震荡，震荡模式较为复杂

第14章Hilbert－Huang新进展及应用

14.1归一化HHT14.2集总经验模式分解14.3HHT的应用14.4关于HHT的几点讨论14.1归一化HHT

问题的提出：上一章求出的IMF分量只满足通过解析信号求解瞬时频率的必要条件，但不是充分条件，即不能保证每一个IMF分量都能满足Bedrosian定理。这样，通过对这些IMF分量做Hilbert变换得到解析信号，再求出的瞬时频率将存在误差。即：可表为

的解析信号，如果幅度

有较快的变化，则其频谱将扩展，一旦其频谱和载波

的频谱相叠加，则通过相位函数的导数求得的瞬时频率就是不准确的。

的变化越快，则瞬时频率的失真越大。引出归一化HHT归一化HHT（NHHT）的步骤：（1）对已求出的一个IMF，取其绝对值，然后求出其局部极值点，再用三次样条函数通过这些局部极值插值出包络

，

（2）令归一化。理论上所有极值点都应等于1，但并非如此。原因：样条函数是通过极值点来拟合出包络，在幅度变化较快的两个极值点之间，拟合出的包络有可能在原来数据点的下方，以致使

的一些点大于1。改进方法：继续归一化：大于1继续归一化：所有值都将小于或等于1，实现了FM和AM的分离FM部分的载波函数包络函数实现了信号的AM和FM分解一般3次即可达第二次归一化后的波形，其幅值均不大于114.2集总经验模式分解解决信号中的模式混合问题；利用白噪声的EMD特征一、模式混合

在一个信号中含有两个，或两个以上具有显著不同时间尺度（scale）的分量。信号中局部两个连续过零点之间的时间宽度；信号中两个连续峰值之间的时间宽度；曲率上的两个连续峰值之间的时间宽度。描述时间尺度的三个量模式混合源于信号中间歇（intermittency）现象：模式混合在实际物理信号经常出现,带来的问题引起该信号的时频分布的混迭；使EMD后得到的IMF失去物理意义；使得IMF缺乏稳定性和唯一性。基波高频振荡，产生模式混合EMD：局部极大值点主要由振荡波产生，求出的上包络是基波和振荡波各自包络的混合；均值已严重失真。下包络跟随了间歇振荡的最小值，无法反映基波的下包络。红线是由上、下包络得到的均值。下图是原信号减去该均值，仍是基波和间歇振荡波的混合，从而使得识别其物理含义愈发困难。具有间歇振荡的仿真信号及其第一次EMD分解存在高频振荡，即模式混合。存在模式混合，且基波消失。不同周期模式混合可定义为：一个IMF中含有明显不同的时间尺度或同一个时间尺度分布在不同的IMF中。二、白噪声的EMD特征白噪声任意两点之间是不相关的；自相关函数

；功率谱，频域直线。三个定义等效文献证明，白噪声的EMD等效于一个二进滤波器组：小波分解的细节对白噪声做EMD分解，9个IMF分量，对每一个IMF通过检测极值点的方法确定它们的平均周期，结果：

IMF序号极值点数平均周期347042

168176834564163220877

104715290

265813480.2400.4960.9982.0003.9927.95814.7531.3561.75

结论：每一个IMF分量的平均周期都约等于其上一个IMF分量的两倍，因此其中心频率也将是上一个的1/2。

因此，EMD在对白噪声的分解上确实等效于一个二进滤波器组，它对信号的分解犹如小波变换中的Mallat算法。EMD和Mallat分解算法的区别EMD要求分解出的IMF具有零均值，其极值点的数目和过零点的数目应该相等（或最多差一个），而小波变换分解出的细节

和概貌

没有这些要求。小波变换中有具体的滤波器

，而EMD中无具体的滤波器，它的滤波器即是EMD分解算法的本身，它是时变的，且是自适应于数据的。二者的等效是在频谱的意义（中心频率和带宽）得出的，至今还没有精确的理论证明。EEMD的步骤（1）对

加上一定幅度、且是一次次产生的白

噪声

，从而得到信号（2）对

做EMD，得到它的IMF分量

；（3）做集总平均，得到

各个IMF分量，即

EEMD的解释（1）类似于相干平均。在EEMD中，加上白噪声，故然使每一个记录混进了噪声，但由于每一次产生的白噪声是不相关的，将它们做EMD后留在各个IMF中的噪声同样也是不相关的，因此，只要集总平均的次数足够大，就会最后将白噪声抵消掉，或仅留下可忽略的量。所以，EEMD所希望得到的有物理意义的IMF不是期望来自于不含噪声的信号，而是来自于足够多含有噪声的IMF的集总平均。

白噪声的EMD等效于一个二进滤波器组。白噪声的频谱是均匀的宽带谱，经EMD分解后，就将其频谱分解到类似于图1.2.5的各个区间。将白噪声加到一个实际的物理信号，经EMD分解后，就将其所包含的成分自动地投影到由白噪声EMD建立的时频框架上，也就是合适的时间尺度上。即使原信号中包含有模式混合，由于经过这样的分解后使它们各自投影到不同的尺度上，因此也就实现了信号和间歇振荡波的分离。

文献[WUZ10]形象地指出，EEMD中添加白噪声，犹如在化学反应中添加催化剂，催化剂不影响最后的反应结果，但明显影响了反应的过程。

将信号加上一定幅度的白噪声，实际上是对信号的一个“扰动”，改变了信号的极值分布，这有利于对其极值的样条拟和和进一步的EMD分解。例：信号由三个正弦加间歇振荡组成：EMD结果：IMF1：应该是正弦，产生了畸变，被振荡取代。畸变部分的正弦移到IMF2，又移到IMF3，产生了模式混合。使分解出的IMF失去物理意义。EEMD结果：

去噪是信号处理学科中永恒的话题。但是，噪声也可以帮助信号的处理，EEMD是一个明显的例子。我们已讨论过，用白噪声激励不同的线性移不变系统可分别得到AR模型，MA模型及ARMA模型，而这三个模型，特别是AR模型已在信号处理中获得了广泛的应用。另外，在讨论AR模型时介绍过的预白化（pre-whitening）是白噪声应用的又一个例子。所以，事情有它的两重性。

两个问题：集总平均的次数如何决定？所加白噪声的幅度如何选择？

集总平均的次数，一般几百次即可，这时平均后IMF分量中残余的噪声不大于原信号的1％。所加白噪声的幅度不能太小，太小了不能改变原信号极值的分布。一般说，白噪声的幅度按与原信号0.2的标准差来确定即可取得满意的结果。如果信号中主要是高频成分，则白噪声的幅度可以减小，反之，如果信号中主要是低频成分，则白噪声的幅度应该适当增加。EEMD的不足（1）对每个加噪信号做EMD得到的IMF都符合IMF

的要求，但是，集总平均后所得到的IMF分量

就有可能不再符合IMF要求。互补集总经验模式分解（CEEMD）（2）EEMD需要集总平均，这是很耗时的，在需要

对信号高速处理的场合，这一不足更显得突出。（3）对所加白噪，虽然通过集总平均可以基本抵消，

但在每个IMF中还会有少量残留，重建信