2027金版教程一轮复习数学基础版第1章第2节 常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第二节常用逻辑用语课标解读考向预测1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.

2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定.高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度中档偏下.2027年备考仍以选择题为主训练，常与函数、数列、三角、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等知识结合考查.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分p与q的关系结论p⇒qp是q的_______条件，q是p的______条件p⇒q且q

pp是q的_______________条件p

q且q⇒pp是q的_______________条件p⇔qp是q的______条件p

q且qpp是q的__________________条件必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的______条件；(2)若A⊇B，则p是q的______条件；(3)若A＝B，则p是q的______条件；(4)若A

B，则p是q的____________条件；(5)若A

B，则p是q的_______________条件.3.全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__”表示；短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__”表示.充分必要充要充分不必要必要不充分∀∃(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定任意存在∀∃∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中______一个x，p(x)成立______M中的元素x，p(x)成立简记____x∈M，p(x)____x∈M，p(x)否定____________________________________1.在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p与¬p真假性相反.√题组一走出误区——判一判(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

)(2)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要条件是“A＝B”.(

)(3)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反.(

)√√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册习题1.5T3改编)命题p：∀x∈R，x2≥0，则¬p为(

)A.∀x∈R，x2<0 B.∃x∈R，x2≥0C.∃x∈R，x2<0 D.∃x∉R，x2<0(2)(人教B必修第一册习题1－2AT4改编)“α＝β”是“sinα＝sinβ”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)(人教B必修第一册习题1－2BT5改编)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.解析：由已知可得{x|2<x<3}

{x|x>a}，所以a≤2.(－∞，2](4)(人教A必修第一册习题1.5T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是___________.解析：因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题.因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞).(3，＋∞)(5)(人教B必修第一册1.2.1练习BT4改编)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________.考点探究提素养考点一充分条件、必要条件的判断(1)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：根据幂函数的性质和指数函数的性质，可知a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件.故选C.

(2)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，∴充分性不成立；必要性：当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，∴必要性成立.∴“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要不充分条件.故选B.判断充分、必要条件的两种常用方法1.(2026·广东茂名模拟)设集合A＝{x|－5x＋6<0}，B＝{x|x>－2}，则“x∈A”是“x∈B”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为___________；(2)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.[9，＋∞)(0，3]由充分、必要条件求参数范围的策略考虑空集的情况.巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍考点三含有量词的命题的否定及真假判定(1)设命题p：平行四边形对角线相等，则¬p为(

)A.平行四边形对角线不相等 B.有的平行四边形对角线相等C.有的平行四边形对角线不相等 D.不是平行四边形对角线就不相等解析：因为命题p为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以¬p：有的平行四边形对角线不相等.故选C.(2)(2024·新课标Ⅱ卷，2)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(

)A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题.对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题.综上，¬p和q都是真命题.故选B.1.含有量词的命题真假判定的策略判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判定其否定的真假.2.常用词语的否定量词否定都是不都是(至少一个不是)必有一个一个也没有任意某个存在不存在至多有一个至少有两个至多有n个至少有n＋1个至少有一个一个也没有至少有n个至多有n－1个5.(多选)命题p：∃x∈(0，2)，x3>x6；命题q：每个大于2的素数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是(

)A.p是真命题 B.¬p：∀x∈(0，2)，x3<x6C.q是真命题 D.¬q：存在一个大于2的素数不是奇数考点四根据命题的真假求参数的取值范围若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是____________.解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以命题“∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.(－2，1)由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，可以直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；也可以利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围.6.若命题“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(

)A.[－4，－3] B.(－∞，－4)C.[－4，＋∞) D.[－4，0]解析：若“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“∃x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命题，即m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[1，4]，因为y＝x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.7.已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是______________.解析：因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.[1，＋∞)考点五与“任意性和存在性”有关的双变量问题若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.(1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化为求函数在某区间上的取值集合，本题若改为∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则函数f(x)在区间A上的取值集合是g(x)在区间B上的取值集合的子集；若改为∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x)在区间A上的取值集合与g(x)在区间B上的取值集合有非空交集.(2)对于形如：∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)≤g(x2)，则其等价于f(x)max≤g(x)max.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点含有量词的命题的否定充分、必要条件的判断充分、必要条件的判断充分、必要条件的判断根据充分、必要条件求参数根据命题的真假求参数充分、必要条件的探求根据命题的真假求参数含有量词的命题的否定及真假判断根据命题的真假求集合题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点充分条件的探求充分、必要条件的探求根据命题的真假求参数与任意性和存在性相关的双变量问题充分、必要条件的判断充分、必要条件的判断充分、必要条件的判断根据命题的真假求参数含有量词的命题的真假判断与任意性和存在性相关的双变量问题一、单项选择题1.(2026·福建漳州模拟)命题“∀x>0，x＋1≤ex”的否定是(

)A.∃x≤0，x＋1≤ex B.∃x≤0，x＋1>exC.∃x>0，x＋1≤ex D.∃x>0，x＋1>ex解析：因为含有量词命题的否定为“改量词，否结论”，所以命题“∀x>0，x＋1≤ex”的否定是“∃x>0，x＋1>ex”.故选D.2.“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：解法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.解法二：因为a2＝b2⇔a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab⇔a＝b，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.3.(2026·吉林长春模拟)“x>2”是“x2－2x>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：解不等式x2－2x>0，可得x>2或x<0，因为{x|x>2}是{x|x>2，或x<0}的真子集，所以“x>2”是“x2－2x>0”的充分不必要条件.故选A.4.设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立.综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要不充分条件.故选B.5.已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是(

)A.(－∞，3] B.(2，3]C.∅ D.[2，3]6.若命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则a的取值范围是(

)A.(－4，0] B.[－4，0)C.[－3，0] D.[－4，0]解析：命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，即¬p：“∀x∈R，ax2＋2ax－4<0”为真命题.当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上所述，a的取值范围是(－4，0].故选A.7.命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(

)A.a≥1 B.a≥3C.a≥2 D.a≤48.若“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为(

)A.(－∞，－2] B.(－∞，2]C.(－∞，－2) D.(－∞，2)解析：由题意，知“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，所以k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2].故选A.10.若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(

)A.{x|x<－5} B.{x|－3<x<－1}C.{x|x>3} D.{x|0≤x≤3}解析：因为“∃x∈M，x>3”为假命题，所以“∀x∈M，x≤3”为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆{x|x<0}，所以M⊆{x|x<0}.故选AB.三、填空题12.若p是q：|x|>1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个p为__________________.x>1(答案不唯一)解析：由|x|>1，得x＜－1或x>1，因为p是q的一个充分不必要条件，写出一个比q小的范围即可，所以满足条件的一个p为x>1.(－∞，1]13.已知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，则实数m的取值范围为____________.解析：因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故实数m的取值范围为(－∞，1].(－∞，1]14.设f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)满足：对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，则实数a的取值范围是__________.15.(2026·福建三明模拟)已知a，b∈R，则“|a|＋