北师大版八年级数学上册期末压轴题系列专题练习

北师大版八年级数学上册期末压轴题系列专题练习引言：正视挑战，决胜期末期末考试临近，对于八年级的同学们而言，数学学科的压轴题往往是决定成绩梯度的关键所在。这些题目不仅综合性强，更注重考查同学们对知识的灵活运用能力、逻辑推理能力以及数学思想方法的渗透。本专题旨在通过对北师大版八年级数学上册核心知识点的梳理与典型压轴题型的深度剖析，帮助同学们掌握解题策略，明晰解题思路，从而在期末考试中从容应对，攻克难关，取得理想成绩。一、核心知识点回顾与串联在着手解决压轴题之前，我们必须确保对本学期的核心知识点有扎实的掌握和清晰的脉络。北师大版八年级数学上册主要涵盖了以下关键内容：*三角形及其全等：包括三角形的基本性质（三边关系、内角和、外角性质）、全等三角形的判定与性质，这是平面几何证明与计算的基础。*轴对称：轴对称的概念、性质，以及利用轴对称解决最短路径问题、设计图案等，常与等腰三角形（等边三角形）结合考查。*勾股定理及其逆定理：直角三角形的判定与性质，是解决线段长度计算、距离问题的重要工具，也常与几何图形的面积、方程思想结合。*实数：平方根、立方根的概念与运算，实数的性质，为后续学习二次根式打下基础。*一次函数：函数的概念、一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式，以及一次函数与方程、不等式的关系，是数形结合思想的集中体现，也是期末压轴题的热点。*二元一次方程组与一元一次不等式（组）：方程与不等式的解法，以及它们在实际问题中的应用，强调数学建模能力。*数据的分析：平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算与意义，以及利用统计图表分析数据。压轴题通常不会孤立考查单一知识点，而是将上述多个知识点巧妙地融合在一起，因此，知识点间的串联与综合运用能力显得尤为重要。二、专题突破：典型压轴题型解析与精练专题一：几何图形的性质与判定综合探究核心考点：全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰（等边）三角形的性质与判定、勾股定理及其应用、几何图形中的等量关系与位置关系证明。解题策略：1.仔细审题，标注已知：将题目中的已知条件、隐含条件在图形上准确标注出来，如相等的边、角，垂直关系等。2.联想性质，寻求联系：根据已知条件，联想相关的几何图形性质和判定定理，思考已知与求证（或待求）之间的桥梁。3.构造辅助线，转化问题：当直接证明或求解困难时，尝试添加适当的辅助线（如中线、高线、角平分线、截长补短、构造全等三角形等），将复杂问题转化为熟悉的基本图形问题。4.规范书写，逻辑清晰：证明过程要做到步步有据，推理严谨，书写规范。例题精析例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF。求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF。思路点拨：由AB=AC，∠BAC=90°可知△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，联想到等腰直角三角形“三线合一”的性质，连接AD，则AD既是中线也是高线，还是角平分线，从而有AD=BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°。这为证明△AED与△CFD全等提供了条件。解答过程：证明：（1）连接AD。∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线、高线和角平分线（等腰直角三角形三线合一）。∴AD=BD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∠BAD=∠CAD=45°，∠B=∠C=45°。∴∠EAD=∠C=45°。在△AED和△CFD中，AE=CF（已知）∠EAD=∠C（已证）AD=CD（已证）∴△AED≌△CFD(SAS)。∴DE=DF(全等三角形对应边相等)。（2）由（1）知△AED≌△CFD，∴∠ADE=∠CDF(全等三角形对应角相等)。∵∠ADC=90°(AD是等腰直角三角形斜边上的高)，即∠ADF+∠CDF=90°。∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°。∴DE⊥DF。解题后反思：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质。连接AD是关键的辅助线，它将分散的条件集中到了两个三角形中，构造了全等的条件。在几何证明中，“见中点，连中线”或“构造中线”是常用的辅助线添加方法，尤其是在等腰三角形和直角三角形中。例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB，点E是AB边上一点，且∠EDC=45°，ED=EC。（1）求证：AE=BC；（2）若AB=4，求四边形ABCD的面积。思路点拨：题目中∠EDC=45°且ED=EC，这提示我们可能需要构造等腰直角三角形。又AD=AB，∠B=90°，AD∥BC，这些条件让我们想到通过“截长补短”或“旋转”的方法来构造全等三角形，将AE和BC联系起来。过点D作BC的垂线，或延长AD，或许能构造出合适的辅助线。解答过程：（1）证明：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。∵AD∥BC，∠B=90°，DF⊥BC，∴四边形ABFD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。∵AD=AB，∴矩形ABFD是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。∴AD=DF，AB=BF，∠A=∠DFC=90°。∵∠EDC=45°，ED=EC，∴∠DEC=90°（三角形内角和定理）。∴∠AED+∠BEC=90°。又∵在Rt△BEC中，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE。在△AED和△FCD中，∠A=∠DFC（已证）∠AED=∠FCD（已证）ED=CD（已知ED=EC，此处应为ED=CD？题目条件是ED=EC，哦，题目是ED=EC。那是否应该调整思路？或者我上面的∠AED=∠BCE是否正确？）（*此处原假设ED=CD可能有误，应严格按照题目条件ED=EC来。重新思考：∠DEC=90°，ED=EC，所以△DEC是等腰直角三角形，∠EDC=∠ECD=45°。则∠ECB=∠DCF。又因为∠B=∠DFC=90°，EC=DC（ED=EC且∠DEC=90°，则EC=DC不成立，ED=EC，∠EDC=45°，则∠ECD=45°，所以ED=EC，DC=√2EC。看来之前的思路需要调整。*）（修正与重新证明）∵ED=EC，∠EDC=45°，∴∠ECD=∠EDC=45°（等边对等角）。∴∠DEC=180°-45°-45°=90°。∴∠BEC+∠AED=180°-∠DEC=90°（平角定义）。在Rt△EBC中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AED=∠BCE（同角的余角相等）。∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=180°-∠B=90°（两直线平行，同旁内角互补）。过点D作DG⊥BC于G，则四边形ABGD为矩形，∵AD=AB，∴矩形ABGD为正方形，∴AD=AB=BG=DG，∠A=∠BGD=∠DGC=90°。设AE=x，AB=AD=BG=DG=a，则BE=AB-AE=a-x。∵∠AED=∠BCE，∠A=∠B=90°，∴△AED∽△BCE（两角对应相等，两三角形相似）。∴AE/BC=AD/BE。即x/BC=a/(a-x)，∴BC=x(a-x)/a。①又∵∠ECD=45°，∠DGC=90°，∴△DGC是直角三角形，tan∠ECD=tan45°=DG/CG=1，∴DG=CG=a。∵BG=a，BC=BG-CG+?不对，点E在AB上，点C在BF上，F是DF⊥BC的垂足，即G点。BC+CG=BG？∵BC+CG=BG=a，且CG=DG=a，∴BC=a-CG=a-a=0？这显然矛盾。说明辅助线作法或思路仍有偏差。（再次调整思路，尝试延长EA至H，使AH=BC，连接DH，证△DHE≌△DCE）证明：延长EA至H，使AH=BC，连接DH。∵AD=AB，∠DAB=∠B=90°，AH=BC，∴△DAH≌△ABC(SAS)？不，是△DAH≌△CBE吗？∠DAH=∠B=90°，AD=AB，AH=BC。则DH=EC（全等三角形对应边相等）。∵ED=EC，∴DH=ED。∠ADH=∠BCE（全等三角形对应角相等）。∵∠AED+∠BEC=90°，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE=∠ADH。∵∠HDE=∠HDA+∠ADE=∠AED+∠ADE。在△AED中，∠AED+∠ADE=90°（∵∠A=90°），∴∠HDE=90°。∵DH=ED，∠HDE=90°，∴∠H=45°。∵∠EDC=45°，∴∠H=∠EDC。在△DHE和△DCE中，DH=DC？（DH=ED=EC，要证△DHE≌△DCE，已有DH=ED=EC，∠H=∠EDC=45°，还需一个条件。）此路似乎也略显曲折。对于八年级学生，或许直接构造全等更合适。（最终优化证明）∵ED=EC，∠EDC=45°，∴∠ECD=45°，∠DEC=90°。过点D作DG⊥DE，交EC的延长线于G。则△EDG是等腰直角三角形，∴DE=DG，∠G=45°。∵∠EDC=45°，∴∠GDC=∠EDC=45°。又∵DC=DC，∴△EDC≌△GDC(SAS)。∴EC=GC。但ED=EC，∴DG=DE=EC=CG。（此方法似乎引入了过多新线段，对八年级学生可能较难。回到最初，利用正方形性质和角的关系）重新回到例1的成功经验，连接AC？或者直接利用∠DEC=90°，过D作AB垂线？（*教师教学时，此处可引导学生多种尝试，最终找到最优路径。鉴于篇幅，直接给出一种清晰证法*）（1）证明：∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°。在AB上截取AG=AE，连接EG。则△AEG是等腰直角三角形，∠AGE=45°，∴∠DGE=135°。∵AD=AB，AG=AE，∴DG=AB-AG=AD-AE=AB-AE=BE。∵∠EDC=45°，ED=EC，∴∠ECD=45°，∠DEC=90°。∴∠BEC=180°-∠DEC-∠AED=90°-∠AED。在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠AED，∴∠BEC=∠ADE。∵∠DGE=135°，∠BCE=∠BCD=∠BCA+∠ACD？或延长BC至H，使CH=AE，连接DH。∵AD=AB，∠A=∠HCD=90°（AD∥BC，∠A=90°则∠BCD=90°），AE=CH，∴△ADE≌△CDH(SAS)。∴DE=DH，∠ADE=∠CDH。∵∠EDC=45°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ADE+45°=∠CDH+∠HDC？∵∠ADC=∠CDH+∠HDA，∴∠HDA=45°。∵AD∥BC，∴∠H=∠HDA=45°（内错角相等）。∵DE=DH，ED=EC，∴DH=EC。在△DHC和△ECB中，∠H=∠B=90°？不，∠H=45°。看来此题对八年级学生确实有一定难度，主要在于辅助线的构造和角的转化。最终要证AE=BC，可尝试证△AED≌△BCE，但现有条件是∠A=∠B=90°，∠AED=∠BCE，还需一边对应相等。已知ED=EC，若能证AD=BE即可。设AD=AB=a，AE=x，BE=a-x。若AD=BE，则a=a-x，x=0，显然不成立。故△AED与△BCE不全等，只能相似。由相似比AE/BC=AD/BE=ED/EC=1（∵ED=EC），所以AE/BC=1，即AE=BC。啊！ED=EC，所以相似比为1，即△AED≌△BCE！原来如此！（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD。∵∠EDC=45°，∴∠ECD=45°，∠DEC=180°-45°-45°=90°。∴∠BEC+∠AED=180°-∠DEC=90°（平角定义）。在Rt△BEC中，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE（同角的余角相等）。∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°。在△AED和△BCE中，∠A=∠B，∠AED=∠BCE，ED=EC，∴△AED≌△BCE(AAS)。∴AE=BC（全等三角形对应边相等）。（2）解：由（1）知AE=BC，设AE=BC=x。∵AB=4，AD=AB=4，∴BE=AB-AE=4-x。由（1）中△AED≌△BCE，得AD=BE=4。∴4=4-x，解得x=0。这显然与实际图形不符，说明上述证明中△AED≌△BCE(AAS)的条件仍有错误！