2026年高中数学数列专题训练题库

2026年高中数学数列专题训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的前4项和S_4等于（）A.60B.66C.72D.78解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，解得q=3，c_1=2，故S_4=2(1+3+9+27)=60。选项A正确。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则d_5的值为（）A.19B.20C.21D.22解析：d_n=S_n-S_{n-1}，当n=1时d_1=S_1=-1，当n≥2时d_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故d_5=4×5-5=15。选项B正确。5.若数列{e_n}的前n项积为T_n=n!，则e_4的值为（）A.24B.36C.48D.60解析：e_n=T_n/T_{n-1}=n!/(n-1)!，故e_4=4!=24。选项A正确。6.在等差数列{f_n}中，若f_10=20，f_20=50，则f_30等于（）A.60B.70C.80D.90解析：由等差数列性质f_{10}+f_30=2f_20，可得20+f_30=2×50，解得f_30=80。选项C正确。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=2g_n+1（n≥1），则g_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由递推关系g_n+1=2g_n+1，可得g_2=2×2+1=5，g_3=2×5+1=11，g_4=2×11+1=23，g_5=2×23+1=47。选项A正确。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_3=h_1q^2=8，解得q=2，故S_6=1×(1-2^6)/(1-2)=63。选项A正确。9.若数列{p_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则p_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.n(n+1)解析：p_n=S_n-S_{n-1}，当n=1时p_1=S_1=1，当n≥2时p_n=n(n+1)/2-[(n-1)n)/2]=n，验证n=1时成立，故p_n=n。选项A正确。10.已知数列{q_n}满足q_n-q_{n-1}=2n-1（n≥2），且q_1=1，则q_10的值为（）A.100B.101C.102D.103解析：由递推关系q_n=q_{n-1}+2n-1，可得q_2=1+3=4，q_3=4+5=9，q_4=9+7=16，q_5=16+9=25，q_6=25+11=36，q_7=36+13=49，q_8=49+15=64，q_9=64+17=81，q_10=81+19=100。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=27，则a_2+a_4+a_6等于________。参考答案：27解析：由等差数列性质a_1+a_3+a_5=3a_3=27，可得a_3=9，故a_2+a_4+a_6=3a_4=3(a_3+d)=3×(9+d)，但题目未给出公差d，无法确定具体值。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_n的表达式为________。参考答案：n(n+1)/2解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，观察发现b_n=n(n+1)/2。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=3，c_4=81，则该数列的公比q等于________。参考答案：3解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=3，c_4=c_1q^3=81，解得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则d_n的表达式为________。参考答案：2n解析：d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。5.若数列{e_n}满足e_n/e_{n-1}=2（n≥2），且e_1=1，则e_6的值为________。参考答案：64解析：由等比数列性质e_n=e_1×2^{n-1}=2^{n-1}，故e_6=2^5=32。6.在等差数列{f_n}中，若f_5=10，f_10=25，则该数列的通项公式a_n等于________。参考答案：5n解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入f_5=a_1+4d=10，f_10=a_1+9d=25，解得d=5/3，a_1=0，故a_n=5n。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则g_n的表达式为________。参考答案：2^{n-1}解析：d_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=16，则该数列的前4项和S_4等于________。参考答案：30解析：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_3=h_1q^2=16，解得q=2，故S_4=2(1+2+4+8)=30。9.若数列{i_n}满足i_n+i_{n+1}=10（n≥1），且i_1=3，则i_5的值为________。参考答案：7解析：由递推关系i_n+i_{n+1}=10，可得i_2=10-3=7，i_3=10-7=3，i_4=10-3=7，i_5=10-7=3。10.已知数列{j_n}的前n项积为T_n=n^2，则j_4的表达式为________。参考答案：4解析：j_n=T_n/T_{n-1}=n^2/(n-1)^2，故j_4=4^2/3^2=16/9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。正确。解析：d_n=S_n-S_{n-1}=2n，故数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q可以是-2。错误。解析：由等比数列通项公式b_3=b_1q^2=8，解得q=±√8，q=-2不成立。3.若数列{c_n}满足c_n+c_{n+1}=n（n≥1），且c_1=1，则c_2=0。正确。解析：由递推关系c_1+c_2=1，解得c_2=0。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_2+d_3=9，则d_4=3。错误。解析：由等差数列性质d_1+d_2+d_3=3d_2=9，可得d_2=3，但无法确定公差d，故无法确定d_4。5.若数列{e_n}的前n项积为T_n=n!，则该数列是等比数列。正确。解析：e_n=T_n/T_{n-1}=n，故数列是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q可以是3或-3。正确。解析：由等比数列通项公式f_4=f_2q^2=54，解得q=±3。7.若数列{g_n}满足g_n-g_{n-1}=1（n≥2），且g_1=1，则该数列是等差数列。正确。解析：由递推关系g_n=g_{n-1}+1，故数列是等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若h_5<h_10，则该数列的公差d必须大于0。正确。解析：由等差数列性质h_{10}=h_5+5d，若h_5<h_10，则d>0。9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。正确。解析：d_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，故数列是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的前6项和S_6等于28。错误。解析：由等比数列通项公式j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故S_6=2(1+2+4+8+16+32)=62。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=2，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，故a_n=2n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的公比q及前5项和S_5。解：由等比数列通项公式b_4=b_1q^3=81，解得q=3，故S_5=3(1+3+9+27+81)=364。3.若数列{c_n}满足c_n+c_{n+1}=n+1（n≥1），且c_1=2，求c_3的值。解：由递推关系c_1+c_2=2，c_2+c_3=3，解得c_2=0，c_3=3。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_4=13，求该数列的通项公式a_n及前10项和S_10。解：由等差数列通项公式d_4=d_1+3d=13，解得d=3/2，故a_n=5+(n-1)×3/2=3/2n+7/2，S_10=5×10+10×9×3/2=275。5.已知数列{e_n}的前n项积为T_n=n!，求该数列的通项公式a_n。解：a_n=T_n/T_{n-1}=n，故a_n=n。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_5=64，求该数列的公比q及前6项和S_6。解：由等比数列通项公式f_5=f_2q^3=64，解得q=2，故S_6=4(1+2+4+8+16+32)=124。7.若数列{g_n}满足g_n-g_{n-1}=2n-1（n≥2），且g_1=1，求g_4的值。解：由递推关系g_2=g_1+3=4，g_3=g_2+5=9，g_4=g_3+7=16。8.在等差数列{h_n}中，若h_6=15，h_10=25，求该数列的通项公式a_n及前8项和S_8。解：由等差数列性质h_6+h_10=2h_8，解得h_8=20，由h_8=h_1+7d=20，h_6=h_1+5d=15，解得d=5/2，h_1=0，故a_n=5/2(n-1)，S_8=8×5/2×7/2=70。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备的数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产3台，求第10年生产的设备数量。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=3，n=10，可得a_{10}=10+9×3=37。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，可得a_5=100×1.1^4≈146.41。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第5年年末的存款总额（按复利计算）。解：由等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)，代入a=1000，q=1.05，n=5，可得S_5=1000×(1.05^5-1)/0.05≈6288.85。4.某林场计划每年比前一年多植树1000棵，已知第一年植树5000棵，求第8年植树的棵数。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=1000，n=8，可得a_8=5000+7×1000=12000。5.某产品成本每年降低10%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.9，n=5，可得a_5=100×0.9^4≈65.61。6.某工厂计划每年比上一年提高工资，已知第一年工资为5000元，以后每年比前一年提高500元，求第10年的工资。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=500，n=10，可得a_{10}=5000+9×500=9500。7.某城市道路建设计划每年新建道路长度比前一年多1公里，已知第一年新建道路5公里，求第7年新建道路的长度。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=1，n=7，可得a_7=5+6×1=11。8.某产品销量每年增长20%，已知2020年销量为1000件，求2023年的销量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=1.2，n=4，可得a_4=1000×1.2^3≈1728。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.C7.A8.A9.A10.A二、填空题1.272.n(n+1)/23.34.2n5.646.5n7.2^{n-1}8.309.710.4三、判断题1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.a_n=2n2.q=3，S_5=3643.c_3=34.a_n=3/2n+7/2，S_10=2755.a_n=n6.q=2，S_6=1247.g_4=168.a_n=5/2(n-1)，S_8=70五、应用题1.a_{10}=372.a_5≈146.41万3.S_5≈6288.85元4.a_8=12000棵5.a_5≈65.61元6.a_{10}=9500元7.a_7=11公里8.a_4≈1728件【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，解得d=3/2，故a_n=3/2n+3/2。2.由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，解得q=3，故S_4=2(1+3+9+27)=60。4.由等差数列性质d_n=S_n-S_{n-1}=2n-1，当n=1时d_1=S_1=1，当n≥2时d_n=2n-1，故d_n=2n。5.由等比数列性质e_n/e_{n-1}=2，可得e_n=2^{n-1}，故e_6=2^5=32。6.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入f_5=f_1+4d=10，f_10=f_1+9d=25，解得d=5/3，a_1=0，故a_n=5n。7.由等比数列性质e_n/e_{n-1}=2，可得e_n=2^{n-1}。8.由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_3=h_1q^2=8，解得q=2，故S_4=2(1+2+4+8)=30。9.由递推关系i_n+i_{n+1}=10，可得i_2=10-3=7，i_3=10-7=3，i_4=10-3=7，i_5=10-7=3。10.由等比数列性质j_n=T_n/T_{n-1}=n^2/(n-1)^2，故j_4=16/9。二、填空题1.由等差数列性质a_1+a_3+a_5=3a_3=27，可得a_3=9，故a_2+a_4+a_6=3a_4=27。2.由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，观察发现b_n=n(n+1)/2。3.由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=3，c_4=c_1q^3=81，解得q=3。4.由等差数列性质d_n=S_n-S_{n-1}=2n-1，当n=1时d_1=S_1=1，当n≥2时d_n=2n-1，故d_n=2n。5.由等比数列性质e_n/e_{n-1}=2，可得e_n=2^{n-1}，故e_6=2^5=32。6.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入f_5=f_1+4d=10，f_10=f_1+9d=25，解得d=5/3，a_1=0，故a_n=5n。7.由等比数列性质e_n/e_{n-1}=2，可得e_n=2^{n-1}。8.由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_3=h_1q^2=8，解得q=2，故S_4=2(1+2+4+8)=30。9.由递推关系i_n+i_{n+1}=10，可得i_2=10-3=7，i_3=10-7=3，i_4=10-3=7，i_5=10-7=3。10.由等比数列性质j_n=T_n/T_{n-1}=n^2/(n-1)^2，故j_4=16/9。三、判断题1.√：由等差数列性质S_n=n^2+n，可得d_n=S_n-S_{n-1}=2n，故数列是等差数列。2.×：由等比数列通项公式b_3=b_1q^2=8，解得q=±√8，q=-2不成立。3.√：由递推关系c_1+c_2=2，c_2+c_3=3，解得c_2=0，c_3=3。4.×：由等差数列性质d_1+d_2+d_3=3d_2=9，可得d_2=3，但无法确定公差d，故无法确定d_4。5.√：由等比数列性质T_n=n!，可得e_n=T_n/T_{n-1}=n，故数列是等比数列。6.√：由等比数列通项公式f_4=f_2q^2=54，解得q=±3。7.√：由递推关系g_n-g_{n-1}=1，故数列是等差数列。8.√：由等差数列性质h_{10}=h_5+5d，若h_5<h_10，则d>0。9.√：由等比数列性质S_n=a(1-q^n)/(1-q)，代入a=1000，q=1.05，n=5，故数列是等比数列。10.×：由等比数列通项公式f_5=f_2q^3=64，解得q=2，故S_6=4(1+2+4+8+16+32)=124。四、简答题1.a_n=2n：由等差数列性质S_n=n^2+n，可得d_n=S_n-S_{n-1}=2n，故数列是等差数列。2.q=3，S_5=364：由等比数列通项公式b_4=b_1q^3=64，解得q=3，故S_5=3(1+3+9+27)=364。3.c_3=3：由递推关系c_1+c_2=2，c_2+c_3=3，解得c_2=0，c_3=3。4.a_n=3/2n+7/2，S_10=275：由等差数列通项公式d_4=d_1+3d=13，解得d=3/2，a_1=0，故a_n=3/2n+7/2，S_10=5×10+10×9×3/2=275。5.a_n=n：由等比数列性质T_n=n!，可得e_n=T_n/T_{n-1}