巩固练04 因式分解-八年级数学（北师大版）（解析版）

巩固练04因式分解

I--俄应假期

一、单选题(每小题3分，共30分)

1.(•浙江省初一期中)下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.(x4-l)(x-l)=x2-1B.X?-2工+1=工(工一2)+1

C.a2-h2=(a+b)(a-h)D.(fn-n)m=n12-mn

【答案】C

【解析】试题解析：力、是整数的乘法，故A错误；

B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；

C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；

。、是整数的乘法，故D错误；

故选C.

2.(•安徽省初一期末)下列各式中，不含因式〃+1的是()

A.2a2+2aB.a2+2a+\C.a2-1D.a2+a+—

4

【答案】D

【解析】A.2a斗2。=2。(。+1),故不符合题意；

B.°2+2a+l=(a+l)2,故不符合题意;

C.a2-1=(«+1)(67-1),故不符合题意；

11

D.—7—凡故符合题意；

42

故选D.

3.(•北大附属嘉兴实验学校初一月考)下列各式用提取公因式法分解因式正确的是()

A.a2b+lab—b=b(a24-7a)

B.3x2^—3xy+6y=3y(x2—x+2)

C.4.V4—2x3y=x3(4x—2y)

D.—2a2+4ab—6ac=—2a(a—2h—3c)

【答案】B

【解析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案.

【详解】

A.a2b-\-rlab—b=b(a2-\-la-\),故本选项错误.

B.3工2)—3中+6y=3)。2—x+2),故本选项正确.

C.4X4—2x3y=2x3(2x—y),故本选项错误.

D.-2a2+4ab—6ac=-2a(a—2b~3c)故本选项错误.

故答案选：B.

【点睛】本题考杳的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.

4.(■深圳市宝安区文汇学校初二月考)将多项式-643/>2—342〃+]2a2於因式分解时，应提取的公因式是()

A.~3a2b2B.-3abC.~3a2bD.—3«3/?3

【答案】A

【解析】【详解】略

5.(•深圳市宝安区文汇学校初二月考)若〃?为整数，则〃?？+〃!一定能被()整除

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】//+〃?=〃7(〃7+1),且加为整数故加+可以看作是两个连续整数的积.

【详解】

解析：+加=加(加+1),

・•.加为整数，

•••用，加+1中必有1个偶数，

・•・加(〃7+1)能被2整除.

故选：A

【点睛】本题考查分解因式的实际运用，解题的关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数.

6.(•深圳市宝安区文汇学校初二月考)把多项式(。+力)2-10()进行分解因式，其结果是()

A.(a+b-10)2B.(a+b+\0)2

C.(a+b-10)(a・b+10)D.(a+b-10)(。+/>+10)

【答案】D

【解析】通过观察原式，可以把100写出10的平方，然后利用平方差公式/一/=(〃-6)(〃+6)进行因

式分解.

【详解】

因式分解是可把(。+力)看成一个整体，则：

(«+Z?)2-102=(a+6+10)(a+Z>-10)

故答案为D

【点睛】本题考察了利用平方差公式因式分解,平方差公式为。2-/=伍-6)(。+6),务必牢记.

7.(•陕西省初二期末)下列各式中能用完全平方公式分解的是().

©^-4x4-4：②6/+3x+l；@4x2-4.r+l；④/+4.口+2产；⑤9x2—20.9+16)，

A.①②B.①③C.②③D.①⑤

【答案】B

【解析】完全平方公式的形式是：。2+〃±2帅=伍±6)2,据此进行解答即可.

【详解】

解：/一以+4=(廿2)2,4X2-4X+1=(ZV-1)2,只有这两个能用完全平方公式进行因式分解，故①和③能用，

其他几项均不能用，

故选择B.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键.

8.(•浙江省初一月考)下列因式分解，错误的是()

A-x2-7x+10=(x-2)(x-fijB.产+2》-8=(\+4)(*—2：

仁y2+7y+12=(y-3)(y-4)D-/-7y-18=(y-9)(y+2)

【答案】C

【解析】利用•卜字相乘法一一判断即可.

【详解】

解：选项小B、D正确，

选项C：产+7yH2=(尸3)()叶4),

故选：C.

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，灵活运用提公因式法、公式法、十

字相乘法等知识.

9.（•四川省初二期末）下列说法中正确的是（）.

A.多项式〃比2—〃戊+2中的公因式是加B.多项式7a2+14b没有公因式

C.尸2+3中各项的公因式为/D.多项式10.壮尸+]5吠的公因式为5外衣

【答案】D

【解析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项

的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最

低次第，进而得出答案.

【详解】

A.多项式〃?/一〃火+2没有公因式，故此选项错误；

B.多项式7a2+14人的公因式为：7,故此选项错误；

C.厂2|、3中各项没有公因式，故此选项错误：

D.多项式10炉'3+15x>2的公因式为5孙2,故此选项正确.

故选D.

【点睛】本题考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键.

10.（•浙江省初一月考）如果“2+16与一个单项式的和可以用完全平方公式法分解因式，那么这个单项式可

以是（）

A.4aB.±8aC.±4aD.-4a

【答案】B

【解析】完全平方公式中间的项是第一个数与第二个数的积的2倍，本题的第一个数是第二个数是4,

据此可以找出答案.

【详解】

解：a2±8a+16=（a±4）2.

故选B.

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握公式的特点是解题的关键.

二、填空题（每小题4分，共20分）

H.（•广西壮族自治区初三三模）分解因式：q?+2a+l工.

【答案】（4+1）:

【解析】试题分析：利用完全平方公式分解因式得，科毓朝1=（4+1）：

考点：分解因式

点评：本题考查分解因式，本题的关键是利用完全平方公式进行分解因式，考生要对分解因式的方法熟悉

12.（•黑龙江省初三零模）分解因式？靖得，触.

【答案】3（x+y）2

【解析】略

13.（•浙江省初三二模）若多项式/+6+4能用完全平方公式因式分解，则左的值是.

【答案】±4

【解析】根据公式法（完全平方公式）因式分解即可得.

【详解】

x2+Ax+4=x2+Ax+22

由题意得/+依+22=*±2）2

即X2+Ax+22=x2±4x+22

则1=±4

故答案为：±4.

【点睛】本题考查了利用公式法因式分解，熟记完全平方公式：（。±6）2=/±2必+/是解题关键.需注

意的是，完全平方公式有两个，田两个数的和（差）的平方.

14.（•浙江省初三二模）分解因式：-2/歹+12/^2—18A/=

【答案】-2g-3y产

【解析】试题解析：-2R产⑵y-l8H

=-2xy（x2-6xy4-9/）

=-2xy（x-3y）2,

故答案为：・2xy（x-3y）2.

15.（•北大附属嘉兴实验学校初一月考）若〃?〃=1,加—〃=2,则〃/〃一〃?〃2的值是

【答案】2

【解析】提取公因式因式分解后整体代入即可求解.

【详解】

urn-mil1-mn(m一〃)=1x2=2.

故答案为：2.

【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于分解因式.

16.(•山西省初二月考)()-(X-8)=X2-2X-48.

【答案】x+6

【解析】将等式右边进行因式分解，从而求得答案.

【详解】

解：-2x-48=(x-8)(x+6)

故答案为：x+6.

【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的技巧，正确进行因式分解是本题的解题关键

17.(•深圳市宝安区文汇学校初二月考)已知〃、b、c为ZUBC的三边，且满足a2c2-成.2=〃_泗则/U8C

为三角形.

【答案】等腰或直角或等腰直角.

【解析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论.

【详解】

*/a2c2~b2c2=a4-巩

/.c2(a+Z))(cr-b)=(a2+b2)(a+b)(n-b),

工当a=b,则△48。是等腰三角形;

当存4则/=标+〃，则是直角三角形，

当＜7=。，且/=/+〃，则△力3c是等腰直角三角形，

・••△/fBC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形.

故答案为：等腰或直角或等腰直角.

【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到。，4

c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面.

三、解答题一(每小题6分，共18分)

18.(•陕西省初二期末)分解因式：

(1)3。3+12/+12。

(2)6(x-2j^)2-2x(2y-x)

【答案】(1)3。(。+2)2；(2)4(x—2y)(2x-3y).

【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式变形后，提取公因式即可.

【详解】

解：(1)原式二34(〃2+4〃+4)=3〃(〃+2)2；

(2)原式=6(x_2y『+2x(x-2y)=(x-2j^)[6(x-2y)+2x]=4(x-2j^)(2x-3^).

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

19.(•浙江省初一月考)分解因式：

(1)4x3y+xy3-4x2y2

(2)2X5-32X

【答案】⑴xy(2x-y)2；(2)2x(x2+4)(x+2)(x-2)

【解析】(1)先提公因式，然后利用公式法因式分解，即可得到答案：

(2)先提公因式，然后利用公式法因式分解，即可得到答案.

【详解】

解：(1)4x3y+xy3-4x2y2

=xv(4x2-4x)^+^2)

=xy(2x-y)2；

(2)2X5-32X

=2x(x4-16)

=2x(x2+4)(x2-4)

=2X(X2+4)(X+2)(X-2).

【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解.

20.（•莆田砺青中学初二期中）当x=+y=—l时，求代数式/一/十9的值

【答案】46+2.

【解析】先化简原式,，再把X），的值代入即可.

【详解】

由题意知，X=6+1，y=6-l,所以x+尸2百”一歹=2,9=2,

/一丁+xy=(JC+y)(x-y]+xy=2x2+2=44-2

所以

【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.

解答题二（每小题8分，共24分）

21.（•河北省初三二模）嘉琪采用一种新的方法将/_4X+3分解闲式,过程如下：

?-4x+3

=？-2X2X+22-22+3①

=(X-2)2-1②

=(x-2+l)(x-2-l)③

=(x-l)(x-3)④

（1）③的变形依据是.

（2）仿照嘉琪的做法，分解因式/—61—7.

【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）（x+l）（x-7）

【解析】（1）根据利用平方差公式分解因式可得答案；

（2）将原式变形为f—6x+32-32-7,再利用公式法进行因式分解.

【详解】

解：（1）③的变形依据是利用平方差公式因式分解；

（2）x~-6x—7»

=？-6X+32-32-7^

=（X-3）2-42,

=(x-3+4)(x-3-4),

【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解•，解题的关键是理解材料中因式分解的方法和步骤，正确的运

用乘法公式.

22.(•江阴市利港中学初一月考)先阅读后解题：已知〃72+2〃7+〃2一6〃+10=0,求加和〃的值

解:把等式的左边分解因式:(加2+2初+1)+(/—6〃+9)=0

即("7+1)2+("3)2=0

因为(〃7+1)2NO,(H-3)2>0

所以〃z+1=0,〃-3=0即〃?=一1,n=3.

利用以卜解法.解下列问题：已知：x2-4x+y2+y+4-=0,求x和N的值.

4

【答案】x=2,y=-^

【解析】先把等式左边变形得到两个完全平方式，即(x-2『+［，+；)=0.

再根据几个非负数的和为。的性质得到工-2=0,歹+；=0,然后解两个一次方程即可.

【详解】

(x:-4x+4)+|+y+-|=0

/i\2

x-2)~+[y+]=0.

vCV-2)2>0,^+11>0

x—2=0,H—=0,

c1

/.x=2,y=——.

2

【点睛】考查公式法分解因式和车负数的性质，几个非负数的和为0,则它们都为0.

23.(•四川省初二期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有更多的多项式只用上述方法

就无法分解，如V-4/-2x+4k我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式后两项可提取

公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程

为：x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2v)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫分

组分解法，利用这种方法解决下列问题.

⑴分解因式:a2-9-2ab+b2t

(2)△48C三边a、b、c满足a2_4Z?c+44c—a8=0，判断A/IBC的形状.

【答案】(1)(。-6+3)伍-6-3)；(2)△/AC的形状是等腰三角形；

【解析】(1)先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；

(2)先从。2一。6中提取公因式〃，从4«-4儿中提取公因式4c,再提取它们的公因式〃一人最后根据

a-b=O,判断出△48。是等腰三角形.

【详解】

(1)a2-9-2ab+b2=(a-b)2-32=(a-b+3)(a-b-3)；

(2)Va2-46c+4ac-ab=O'

a2-ah+4ac-4bc=0，

；.a(a-h)+4c(a-/>)=0,

/.(a-b)(a+4c)=0,

*/tz+4c>0t

，a-b=0,

：.a=b,

・•・AABC的形状是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.

解答题三(每小题10分，共20分)

24.(•安徽省初一期末)(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：

x2+4x+4=,16x2+24x+9=,9x2-12x+4=

(2)观察以上三个多项式的系数,有42=4x1x4,242=4x16*9,(-12)2=4x9x4,于是小明猜测:若多项式

如2+云+°3>0)是完全平方式，则实数系数0、〃、C一定存在某种关系.

①请你用数学式子表示。、权C之间的关系；

②解决问题：若多项式》2・2(〃？・3•+(10-6〃。是一个完全平方式，求〃？的值.

【答案】(1)(x+2)2,(4x+3)2,(3x-2)2；(2)①〃=4ac,®m=±\

【解析】(1)根据完全平方公式分解即可；

(2)①根据已知等式得出〃=4双，即可得出答案：

②利用①的规律解题.

【详解】

(1)x2+4x+4=(x+2)2,16x2+24x+9=(4x+3)2,9A：2-12X+4=(3x-2)2,

故答案为(x+2)2,(4X+3)2,(3x-2)2；

(2)①〃=4〃c,

故答案为b2=4ac；

②•：多项式N-2(ni-3)x+(10-6加)是一个完全平方式，

A[-2(w-3)]2=4xlx(10-66)，

〃武-6〃?+9=10-6，〃

m2=1

w=±l.

【点睛】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出〃=