人教版高中数学必修第二册 第2课时 向量数量积的运算律【原卷+答案】

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第2课时向量数量积的运算律

A级必备知识基础练

1.［探究点一1己知|a|二2,|b|=l,a与b之间的夹角为60。,那么(a-4m2=()

A.2B.2V3C.6D.12

2」探究点一］若平面向量a与b的夹角为12(r,|a|=2,(a-2b>(a+3b)=3M|b|=()

A.1B.|C.2D.3

3.［探究点二,2024天津南开高一月考］已知a.b是夹角为60。的单位向量，则|3a-2b|=()

A.7B.13C.V7D./13

4」探究点三］己知平面向量a,b满足|a|二V^|b|=l,a_L(a+2b),则向量a,b的夹角为()

A』C.vD.乎

3434

5.［探究点二,2024江苏南通高一段考］若向量a.b满足|a|二l,|b|=2,且|a+b|=2,则ab=()

A.-lB.-1C.|D.l

6.［探究点三・2024广东深圳高一检测］已知a.b为单位向量，且|a+2R=|a-b|,则a与b的夹角为()

0336

7.［探究点一・2024云南大理高一期末］已知向量a与b的夹角为120。,且|a|=2.|b|=5,则(2a-

b)a=.

8.［探究点三］设向量a.b满足|a|二|b|二l及|3a-2bl二夕,则a与b的夹角为.

9.［探究点三•苏教版教材例题］已知ei,e2是夹角为60°的两个苴位向量上=©|+2。2a=5巾-4©2.求证冷_1_1).

10.［探究点二、三2024北京房山高一检测］已知向量a.b满足|a|二l,|b|=g,<a,b>=E

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⑴求ab;

(2)求|a-2b|;

⑶若Ga+b)_La,求实数2的值.

B级关键能力提升练

11.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足（赤-OC\（OB+元-2瓦?）=0,则△48C的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

12.已知向量a,b满足21al=|b|,|a+b|=|2a-b|,则向量a与b夹角的余弦值为（）

13.已知非零向量a、b满足|a|=2,且＜a,b＞号,则|a+2bl的最小值为（）

A.2B.V3C.V2D.I

14.（多选题）已知△48。是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足而=2a.前二卜则（）

A.i4C=2a+bB.ab=-2

C.（4a+b）±BCD.|a-b|=l

15J2024广东深圳高一期末］已知ei与灯是夹角为g的单位向量,a二e「2e2,b=ei+e?,卜列结论正确的是

（）

A.|a|=V3

B.ab=-1

D.a在b上的投影向量为-；b

16.已知a,b是单位向量,c=a+2b且aJ_c,则ab=,|c|=.

17.已知|a|=2,|b|=l,(a-3b>(a+b)=3.

(1)求|a+b|的值；

(2)求a与a-2b的夹角.

18」2024浙江宁波高一月考]单位向量a,b满足(a+2b),(a-b)=[.

•5

(1)求a与b夹角的余弦值；

⑵若Aa+b与a+3b的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

C级学科素养创新练

19.已知非零向量a与b的夹角为60°,且|a|二|a-b|量，则()

A.|2a-b|=l

B.|a-2b|=l

C.<a,a-b>=60°

D.<b,a-b>=60°

第2课时向量数量积的运算律

1.D原A.=|a-4b|2=a2-8ab+16b2=22-8x2xlxcos600+16xl2=12.

2.B化简(a-2b)・(a+3b)=a2+ab6b、4-|b卜61bl2=3,|b|二：或|b|二-1(舍去).

3.C|3a-2bl2=(3a-2b)2=9a2・12a-b+4b2=9-12xlxlxcos600+4=7,则|3a-2b|二夕.故选C.

4.DVal(a+2b),

a(a+2b)=0,Ppa2+2ab=O,/.ab=-l,

./、a-—1V2

••C0S<a'b>=«=^T=-

V<a,b>e[0,7E],/.va,b>有故选D.

5.B由|a+b|=2,可得a?+2a・b+b2=4,即1+2a・b+4=4,所以a・b=；.故选B.

6.C由题意可得|a|二|b|二l,

将|a+2b|=|a-b|两边平方，可得|a|2+4|b|2+4a・b=|a『+|b|2-2a・b,整理得6a・b=-3|b|2=-3,则ab=-1.

设a与b的夹角为4则ew[0,汨,则cos。=卑=占，

m\b\2

所以e卷故选c

7.137向量a与b的夹角为120。,且|a|=2,|b|=5,

(2a-b)-a=2a2-ab=2x22-2x5x(-1)=13.

8怖设a与b的夹角为仇由题意得(3a-2b)2=7,

所以91al2+4|b1J2ab=7,

又|a|=|b|=l,所以ab=1,

所以|a||b|cos。二;，即cos

又86[0㈤，所以a与b的夹角为:.

9.解依题意，得点=ef-1,ei-e2=1x1xcos60°=1.

因为ab=(ei+2e2)-(5ei-4e2)=5ef-862+6ei-e2=5-8+6x<=0,所以a±b.

10.^(1)a-b=|a||b|cos7=lXV5x?=

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(2)|a2b|-J(a2b)2=Va2Aab+Ab2=1124x1+4x(V3)2=夕.

(3)由题意得aa+b>a=O.即2a?+a・b=O,即>.+|=0,z=-|.

11.A因为(而一OC\(OB+泥-2瓦?)=0,即而•(而+AC)=O,又因为而一元=方，所以(而-

尼)•(而+近)=0,即|荏|二|前所以△A8C是等腰三角形.

Q2

12.C由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)J(2a-b-，即a?=2a・b,所以cos<a,b>=^-7；=-=；.故选C.

W\b\2|ar4

13.B因为|a+2bl2=|a/+4|bF+4a上=4|1)|2-4|1)|+4=(22|-1)2+3》,所以|a+2bl壬Z5,当且仅当|b|g

时，等号成立.故选B.

14.AC因为而=2a,丽=b,

对于A,^4C=AB+丽=2a+b,故A正确；

对于•近=；|福•国|cos120o=gx2x2x(J=故B错误；

对于C,(4a+b)•玩=(4a+b)・b=4a・b+b2=4x(-l)+2?=0,则(4a+b)_L瓦,故C正确：

对于D,|a-bka2-2a・b+bJl-2x(-1)+4=7¥l,即|a-b|Wl,故D错误.故选AC.

15.ACD对于选项A,e)与e?是夹角为三的单位向量，则|a|二Je工+4%-4e/e2=

Jl+4-4xlxlx1=百，故闭二百，故选项A正确；

对于选项B,a・b=(ei-2e2>(ei+e2)=“-e「e2-2e§=l-lxlx；-2xl=-|,故选项B错误；

对于选项C,|b|二宿+.+2eiQ=Jl+l+2xlxlxi=V3,

3

所以cos<a,b>/^=£5T

又0S〈a,b〉Wi,所以<a,b>=等故选项C正确；

对于选项D,a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>4=±b,故选项D正确.故选ACD.

\0\I

16.-1V3因为c=a+2b且a_Lc，则a・c=a・(a+2b)=a?+2a・b=l+2a・b=0,可得a・b=-

1,|c|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=l+4x（-；）+4=3,故期二百.

17.解(l)・・・|a|=2Jb|=l,(a・3b)G+b)=3,

・・・22.3xl2-2ab=3,解得ab=-l.

故|a+b|=(a+b)2=Q+2x(-1)+/=瓜

2"-2x(-l)

⑵设a与a-2b的夹角为"虹cos夕=华岩=

2j(a-2by2z+4xlz-4x(-l)

又夕£[0,矶.・・e==

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18.解⑴因为|a|=|b|=l,(a+2b)・(a-b)=4,所以a2+a-b-2b2=-^,P|7l+ab-2=-1,Wa・b=J,则

cos<a.b>=^-=:，即a与b夹角的余弦值为:.

(2)因为ka+b与a+3b的央角为锐角，

所以“a+b)・(a+3b)>0且依+b与a+3b不共线.

当ka+b与a+3b共线时，有Aa+b，(a+3b),即Z:a+b=Aa+3>.b.

由⑴知a与b不共线，所以曾二备解得悬

(1=3/1,3

所以当Aa+b与a+3b不共线时，错.

由(Aa+b)・(