2026年高考数学一轮复习：平面向量基本定理及坐标表示 专项训练学生版+解析

第02讲平面向量的基本定理及坐标表示

目录

01常考题型过关练

题型01对基向量概念的理解

题型02用基底表示向量自

题型()3利用平面向量基本定理求参数目

题型04平面向量的坐标运算

题型05向量共线的坐标表示

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

.

常考题型过关练

敢型

1.若6,4是平面内一组不共线的向最，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向最的一组基底的是（）

A.j与备一e2B.q+2e2与羽+e?

C.q-2弓与弓+2.D.6et-3e2与——2e,

2.（多选）设｛华电｝是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（）

A.q—%与q+e)B.2et+3e2与-4。-收,

1一一

C.q+四与2q-e?D.—f|+3e2与+6畛

3.（多选）已知向量a,。不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（）

A.{a+〃,2a+/“B.{2a-b,—2a+力}

C.{3a,a+2/?}D.{a-〃,3a-叫

4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.q=(1,2),1=(2,3)B.q=(3,-2),6=(-6,4)

C.=(0,0),e?2=(-1,3)D.q=(1,1),弓=(2,2)

散型IL02用基底表示向量

5.如图，VA8C中，AD=2DB，BE=EC,设48=〃，AC=b>,则OE=()

B.

63

D.」J

23

6.如图，已知在△CO/3中，BA=AC，0D=2DB，。。和OA交于点E,若8。=«8c=〃，则以为基

底表示BE正确的是（）

21

B.BE=-a+-b

55

D.BE=-a+-b

23

7.在平行四边形ABC。中，AM=3MD.DN=5NB，记=AD=b，则MV=（）.

A,九十1B.L

412612

厂5・7,n3-7,

C.—a+—bD.—a---b

612412

-1—一］.

8.如图，平行四边形48C。中，点石是/W的中点，AF=-AD,BG=-BC设.=〃，AD=b•

33f

⑵若IH=M=2,ZBAD=60,求NFEG的余弦值.

敢型利用平面向量基本定理求参数

9.在VA8C中，。是BC边上靠近点C的三等分点，E是AO的中点，若AE=/IAB+〃AC,贝］22+〃（）

A.0B.-D.1

3cI

10.在［43。中，BE=；EC,BF=g(BA+BC),点P为AE与BF的交息,AP=4AB+//AC,则％+〃=()

A.0B.-C.—D.一

424

11.如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC与8。相交于点O，G为△Q48的重心，若AG=MB+川。，

则工一)'=()

12.平行四边形人8C。中，E为。乃中点，AC与8D交于。，记OA=Q,OB=b，4E=m+W，则岁=()

33

A.2B.-C.—D.—2

44

13.在“8c中，点E、尸满足AE=>14B，=〃AC(；l,点。满足8。=goC,G为4。的中

点，且七、F、G三点共线，则彳+,=

散型(04平面向量的坐标运算

14.己知点4(1,2),点8(2,3),则48=()

A.(3,5)B.(1,1)C.(-1,1)D.(4,3)

15.如果用i,/分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且共2,3),4(3,/〃)，若AB='2/,则〃?=()

A.-1B.1C.5D.-5

16.已知4=(5,-2),〃=(一4,一3),<?=(儿),),若。一2〃+3。=0，贝h等「()

A-©V)B.同C.(黑D.圈

17.已知i=(4,2)/=(6,y),且〃/必，则3。+4。的坐标为()

A.(36,18)B.(36,-42)C.(18,36)D.(-42,36)

18.如图，扇形的半径为1,圆心角N84C=150。，点P在弧BC上运动,且A户=T14B+〃AC,则⑺丸一〃的

最大值是()

P

AB

A.2B.73C.0D.-1

19.已知平面向量a=(l,-。,〃=(-1,2),则2a+%=.

20.已知4(2,3),B(4,-3),点尸在线段AB的延长线上,且|朋=3|叫则点尸的坐标为.

21.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3-1),(1,2),且点E满足AE=；AC.

(1)求点石的坐标：

(2)若点/满足8尸=：，判断向量石斤与向量人B是否共线，并证明你的结论.

我型IL05向量共线的坐标表示

22.已知向量qq不共线，AB=Ae,+e2,AC=2et+pe2,其中4>0,〃>。，若A,B,C三点共线，则”+〃的

最小值为()

A.5B.4C.3D.2

23.(多选)延长正方形"C。的边CQ至点E,使。E=CO,动点尸从点A出发沿正方形的边按逆时针方

向运动一周后回到点A,若4P=!A8+〃?AE,则下列正确的是()

A.若义=〃=1,则点。与点。重合

B.若点尸与点C重合，则2=1,〃=2

C.满足2+〃=1的点/)有2个

3

D.满足4+〃的点尸有且只有1个

24.已知向量a=(7sin6-l,5),/?Heos?。/)，若a//〃，则cos2〃=

02

*

S3〃+2

1.%新考法性知S”、7；分别为等差数列｛4｝、也｝的前〃项和，宁二言论，设点A是直线8c外一点,

点P是直线BC上一点，且=+则实数4的，直为_____.

4

2.已知。为VA8C的外心，满足A0=〃“1B+〃AC，若〃?+〃的最大值为:，则cosA=•

3•’啼署却已知向量。，力满足卜卜6,力二（一拉,0）,且以〃+心|=0（4/工0）,则：的值为.

4.如图，菱形/仍C。中，48=6/840=60。，CE=2EB，CF=2FO，点M在线段所上，且

5.在平面直角坐标系年中，4(1.2),4(2,1),点C满足IBCRABI，OC=/tQA+〃OB(4〃wR),

则儿+〃的取值范围为

03

1.（新高考全国I卷•高考真题）在V4AC中，点。在边AB上，BO=2DA.记CA=〃?,CO=〃，则CB=（）

A.3m-2nB.-2/72+3/?C.3"?+2〃D.2rn+3n

2.（2004・安徽・高考真题）已知向量”=（1,2）,力=（2,3）,c=（3,4）,且c=〃+4乩则4,否的值分别为（）

A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2

3.（福建・高考真题）已知|O4|=1,|OB|=G,OAO8=0，点。在一人04内，且NAOC=30。.女

OC=mOA+nOB（myz?eR）,则一等于（）

n

A.-B.3C.BD.73

33

4.（2024・上海•高考真题）己知AeR,a=（2,5）力=（6次），且小区，则&的值为.

5.（2024•天津•高考真题）已知正方形A8C。的边长为1,DE=2EC,若BE=JiBA+〃BC,其中为实

数，则2+〃=:设尸是线段踮上的动点，G为线段"'的中点，则AQQG的最小值为.

第02讲平面向量的基本定理及坐标表示

目录

01常考题型过关练

题型01对基向量概念的理解

题型()2用基底表示向量日

题型03利用平面向量基本定理求参数目

题型04平面向量的坐标运算

题型05向量共线的坐标表示

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

.

常考题型过关练

敢型

1.若6,4是平面内一组不共线的向最，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向最的一组基底的是（）

A.4与备一。2B.q+2e2与羽+e?

C.e}-2e2与e}+2e2D.6q-3与与-2et

【答案】D

【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.

【详解】因为q,e；是平面内一组不共线的向量，

设无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；

2=1

设。+内=/1（24+6），则”2,无解，不平行，能作为平面内所有向后的一组基底，所以B选项错误:

2=A

2=1

设q+至=4（4-26），则无解，能作为平面内所有向量的•组基底，所以c选项错误：

6e,-3e2=-3（e2-2el）,叵-33〃侬/q）,不能作为平面内所有向量的一组基底,D选项正确;

故选：D.

2.（多选）设{外6}是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（）

A.q-q与q+qB.2et+3e2与-4e1-6e2

I-

C.0十羽与羽一弓D.与-q+6e2

【答案】ACD

【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底.

【详解】选项A,假设q—e?与G+e；共线，则存在实数&，使得弓-6=4。+6），即（1一女此一（1+攵应=0,

l-k=0

因为q，/是基底，所以人+&=0无解，所以q-6；与G+6不共线，可以作为基底.

选项B,因为3「66=-2⑶+3eJ,所以为+3e,与4「6e；共线，不能作为基底.

选项C,假设q+四与2q-s共线，则存在实数&，使得0+262=女（20-/），即（1-2攵招+（2+攵砥=。，

口—2〃=0一一一一

因为q,e；是基底，所以•2+2=0无解，所以q+26与不共线，可以作为基底.

选项D,假设与-4+6々共线，则存在实数A,使得:4+3e；=M—e；+6eJ,即

（』+上卜+（3-6/:）e;=0,

———+^=01一一

因为《，立是基底，所以《2无解，所以不弓+36与-q+6^不共线，可以作为基底.

3-6%=（）2

故选:ACD.

3.（多选）已知向量。，b不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（）

A.{a+〃,2a+Z?}B.\la-h,-2a+b^

C.{3a,a+叫D.{a-b,3«-2Z?|

【答案】ACD

【分析】通过判断向量是否共线即可得解.

【详解】对于A,令。+6=义（2。+人）,九£1^,即。+〃=22々+%女义£1<,

（1=22

所以।无解，

故阿显a+A与2a+A不共线，能作为平面向盘的一个基底，A正确：

对于B,因为2力=-（-2*,即向量2a—〃与—2a+〃共线，故不能作为平面向量的一个基底;B错误;

对「C,令3a=/t（a+2Z?）,/leR,即3a=义〃+2/144wR,

所以:"；=无解’

0=ZZ

故向量%与4+2〃不共线，能作为平面向量的•个基底，C正确;

对于D,令a-〃=4（3a—2〃）,/l€R,ER=3A«-22Z?,AeR,

1=3A,

所以，1无解，

-1=-2/t

故向量与3。-2〃不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确

故选：ACD.

4.下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.q=0,2),s=(2,3)B.e,=(3,-2),e2=(-6,4)

C.e｛=(0,0),=(—1,3)D.et=(l,l),e2=(2,2)

【答案】A

【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,因为q=(1,2),4=(2,3)不共线，且都是非零向量，所以A符合题意;

对于B,因为/=-幺，所以e；与e；共线，故B不符合题意；

对于C,因为q=(0,0)为零向量，所以C不符合题意；

对于D,因为《=2乌，所以e；与e；共线，所以D不符合题意；

故选:A

喳侬・。2用基底表示向量

5.如图，VA8C中，AD=2DB^BE=EC，设48=〃，AC=b-则OE=（）

A

/>r，C

E

1-1-cl1

A.一一a+—bB.——a+-b

6263

11,I1,

C.——a+—bD.——a+—b

3223

【答案】A

【分析】利用平面向量的线性运算化简打得出。上关于a、」的表达式.

五匕

【详解】在VA3c中，AD=2DB，BE=EC,故BD=—,-1A4n=—a,

33

BE=-BC=-（AC-AB\=-b--a,

22、f22

因此。£=BE-BD=-b--a+—a=-—a+—h.

22362

故选：A.

6.如图，已知在△CO"中，BA=AC,OD=2DB，QC和04交于点E，若加-外叱-〃，则以｛〃,〃｝为基

底表示BE正确的是（）

9I

A.BE=-a+-bB.BE=—a+—b

3255

I?

C.BE=-a+-hD.BE=-a+-h

5523

【答案】C

【分析】由已知可得==+进而可得0石=芋0。+《0。，利用三点共线可求得见=,进

而利用向量的线性运算可求得8E.

【详解】因为8A=4C，所以O4=（04+!OC,又因为。，旦A三点共线，

22

1}0

所以设OE=2OA=5OB+；OC,又00=208，所以08=30。，

所以OE=¥a）+4oc,又DEC三点共线，所以¥+4=1,解得4=±,

42425

22.

所以。£=产+^。。，

所以BE=B—O.+-O.E=BO-+2A—O+f2/（BC--B-O）=21BO-+±2B-C=21a+±2〃-.

555555

故选：C.

7.在平行四边形ABC。中，AM=3MD，DN=5NB，记A3=c,AD=b，则MN=（）.

【答案】B

【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用A8=a,4。=匕表示出MN.

【详解】由题设“2=加。+。％=,4。+*/）4,其中*。4=*（/48-4。），

4666'）

故丽=%的一？.

故选：B

8.如图，平行四边形/WC。中，点E是A8的中点，4尸=；人。，EG=gBC,设A3=”，AD=b.

⑵若同=|司=2,N84D=60，求N尸反;的余弦值.

【答案】⑴所='j,EG=La+Lb

e5闹

133

【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解；

（2）先根据平面向量模的求法及句量数量积的运算法则求Hl|E六|,|£©|；再根据向量夹角的求法即可求

解.

【详解】⑴由平行四边形性质可得：BC=AD.

因为点E是A8的中点,

所以

2

乂因为4户二！4。，BG=LBC,

33

所以上〃二==,

3232

EG=EB+BG=-AB+-BC=-AB+-AD=-a+-b.

232323

（2）因为同=网=2,ZBAD=60,

所以=4,a-b=\a\\b\cos60=2x2xg=2.

又因为|E户|=历了==J_、+,=¥'

所以

EFEG57133

cosZF£G=

\EF\\EG\\EF\\EG\山叵一品晒133

339

敢型利用平面向量基本定理求参数

9.在VA4c中，。是8c边上靠近点C的三等分点，E是A。的中点，若AE=/l48+〃4C,贝J2/l+〃()

A.0B.-C.-D.1

33

【答案】C

【分析】选•组基底{4丛AC},利用平面向量基本定理即可求解.

【详解】

因为£＞是“C边上靠近点C的三等分点，K是AD的中点，

所以。£=goA=g(OC+C4)=\3d-；AC=3(—AB+AC)—gAC=qA8TAC,

所以AE=/M8+〃AC=-OE=L8+」AC,

63

11?

因为AB，AC不共线，所以2==不2%+〃=不.

633

故选：C.

10.在-A8c中，BE=；EC,BF=；(BA+BC),点P为AE与BF的交点,从尸=+,则％+〃=()

LL

A.0B.-C.-D.—

424

【答案】D

I12

【分析】利用平面向量基本定理得到AP=(l—%)A8+5后AC,AP=-mAC+-mAB,从而列出方程组，求

出得到九4,求出答案.

【详解】因为=+所以尸为AC中点，

B,P,歹三点共线，故可设8P=L"，即=尸-AEb

整理得AP=kAF+(\-k)AB=(\-k)AI3+^kAC,

I11•17

因为3E=LE。，所以AE—AB-2aC—±4E,AE--AC+-AB,

22233

又A,P,E三点共线,

fl2)122

则AQ=mAE=〃?KAC+±AB=-mAC+-mABf

133,333

2m,.

——=i-kk=-

32

所以,，解得

m1,3

—=—ktn=—

324

可得AP=；A8+；AC,则4=；,〃=：,4+4=：.

故选：D.

11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,G为△Q44的重心，若AG=xAB+yA。,

则％一),=()

5

C.；D.

6

【答案】A

【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出AG关于八3和A。的表达式,

从而确定人和y的值，最后计算％一)'.

【详解】如图，延长AG与80相交了•点E,可得E为08的中点，可得DE=3EB,

3—1

由。E=3防，有AE-AQ=3(A3-4E),有

44

22(31I1

又由4G=-AE=—|—八8-1—AD=—AHH—AD,

33(44)26

-11-r汨111

有x=7，y=z，可得工一丁二彳一二二二.

26203

故选:A.

12.平行四边形A8CO中，E为CD中点，AC与80交于。，记OA=Q,0B=b，=m+H，则"'=（）

33

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解.

1一一.1一—.―,—31

【详解】由题意得AE=-OC+AD=-（QO+OC）+AO+OO=--a--b,

2222

mi313

^Ux=--,y=--,xy=~.

故选:B.

13.在二A8c中，点E、/满足A£=/U8，4尸=〃4。（/1>0,〃>。），点0满足8。=；。。，G为A。的中

31

点，且E、F、G三点共线，则彳+—=____

A./I

【答案】8

【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数

的方程，求出参数关系.

【详解】因为8。=!。。，所以则4O-48=,（4C-A8）,

344V7

—•3一］一

所以，AD=-AB+-AC,

44

11f3131

因为G为AO的中点，故人仃二彳八力二彳-AB+-AC\=-AB+-AC.

2Z\44Joo

又因为E、F、G三点共线，则EG〃七尸，

所以，存在〃?eR,使得桔=〃皮F,即AG-A石=m（A/一4石），

所以4G=(1-，〃)AE+mAF=(1一加)4A8+nipAC,

3

(1-/?z)2=—

31-8

又因为AG=：A8+%AC,且A8.AC不共线，所以•

1

88'"蓝

3I3।

所以，1=（1-'"）+加=i，故彳+―=8.

8z8〃A〃

故答案为：8.

散型（04平面向量的坐标运算

14.已知点A（l,2）,点8（2,3）,则AB=（）

A.（3,5）B.（1,1）C.（-U）D.（4,3）

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解.

【详解】点41,2）,点8（2,3）,则/^=（2,3）-（1,2）=（覃）.

故选:B

15.如果用i,j分别表示x轴和）'轴正方向上的单位向量，且A（2,3）,8（3,机），若AB=i-2j,则〃?=（）

A.-1B.1C.5D.-5

【答案】B

【分析】利用向量的坐标表示求解即得.

【详解】由A（2,3）,8（3,〃。，得A8=（l,〃?—3）,由AB=i-2J,得48=（1,-2）,

因此〃?-3=-2,所以加=1.

故选：R

16.已知4=（5,—2）/=（一4,—3）,c=*,），），若。一2。+3c=0，则c等于（）

【答案】A

【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可.

【详解】由题意得—2b=(8,6),3c=(3x,3y),

因为。一处+3c=0，

3

5+8+3x=0,3

所以《

一2+6+3y=04

y--,

3

/134

故c=-y，--

(JJ

故选：A.

17.已知。=(4,2)，=(6,y),且a/山,则3a+4〃的坐标为()

A.(36,18)B.(36,-42)C.(18,36)D.(-42,36)

【答案】A

【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得y=3,结合向量的坐标运算，即可求解.

【详解】由向量。=(4,2),力=(6,yj,因为°〃力,可得4y=6x2,解得y=3,

即a=(4,2),/?=(6,3),所以3〉+4b=3•(4,2)+4•(6,3)=(36,18).

故选：A.

18.如图，扇形的半径为1,圆心角NB4C=150。，点P在弧BC上运动，且AP=/IAB+〃AC,则右义-〃的

【答案】A

【分析】以八〃所在直线为*轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出P的坐标(cosa,sina),用三角函数表

示出参数九〃，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果.

【详解】以A8所在直线为大轴，A为坐标原点，建立如图所示直角坐标系：

设/尸A6=a,则根据三角函数定义，P(cosa,sina),且ae[0。,150。],

同时A(0,0),B(l,0),C——>由74p=2A8+可得:

乙乙

To।

(cosa,sina)=2(l,0)+〃,也即cosa=义-，sina=5〃，

则“二2sina,4=Gsina+cosa,

则、万4一"=3sina+V5cosa-2sina=sina+>/3cosa=2sin(a-60°),a[0°,150°].

则0+60。«60。,210。],sin(«+60°)€-pl,故2山(。+60。)«-1,2],

也即6/i-〃的最大值为2.

故选:A.

19.已知平面向量〃=(1,-。,〃=(-1,2),则24+/2=

【答案】(10)

【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解.

【详解】2a+〃=2(1,—1)+(—1,2):(1,0).

故答案为：(1,0)

20.已知A(2,3),3(4,-3),点P在线段A6的延长线上,且|叫=3|叫则点P的坐标为

【答案】(5,-6)

【分析】设点尸的坐标为《y),依题意可得»=-3尸瓦即可得到方程组,解得即可;

【详解】点A(2,3),5(4,-3),点尸在线段A8的延长线上，且黑=3,

I尸5

设点尸的坐标为(x，y),则A尸二(x-2,y-3),P8=(4-x,-3-y),且AP=—3P8,

x-2=-3(4-x)x=5

即・k3=-3(-3-)，),解得|

y=-6

所以点P为（5,-6）.

故答案为：（5,-6）.

21.已知A,B,C三点的坐标分别为（-1,0）,（3,-1）,（1,2）,且点E满足AE=gAC.

⑴求点E的坐标；

⑵若点尸满足=判断向量£户与向量48是否共线，并证明你的结论.

【答案】⑴中辅

（2）共线，证明见解析

【分析】（I）设出点E的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；

（2）利用向量共线定理即可证明.

【详解】（1）设E（x,y）,因为4（T0）,C（l,2）,则AE=（x+l,y）,AC=（2,2）,

।小二

1I一1q

因为AE=§AC,所以（x+l,y）=§（2,2）,即？，

y=-

13

X=~3（12）

解得」，所以七;

?，=3

（2）向量后尸与向量A8共线，证明如下：

设F（如%），因为8（3,7）,C（l,2）,

所以班'=（%—3,y0+l）,BC=（-2,3）,因为8尸=；8。，

则（见一3,y0+1）=g（-2,3）,

27

即为-3=-彳，解得"。=3,所以联,0）,

%+1=1尻=02J

所以石尸=于-4,A8=（4,-l）,所以6'，故所与人B共线.

IJJ/J

散型L05向量共线的坐标表示

22.已知向量斗色不共线，AB=^+e2,AC=2e^pe2,其中4>0,〃>。，若三点共线，则24+〃的

最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由平面向量的共线定理可得物=2,再结合基本不等式即可求得答案.

【详解】因为ABQZL点共线，所以存在实数上,使通=%正，即检+62=碓4+22），

二2k

又向量不色不共线，所以整理，得4，=2,

由4>0,〃>0,所以22+〃之2）工=4,

当且仅当2%=〃=2时.取等号，即22+〃的最小值为4.

故选:B.

23.（多选）延长正方形ABC。的边C。至点石，使DE=CD,动点P从点A出发沿正方形的边按逆时针方

向运动一周后回到点A,若AP=!A8+〃N£,则下列正确的是（）

A.若义=〃=1,则点尸与点。重合

B.若点。与点C重合，则4=1,〃=2

C.满足2+〃=1的点。有2个

3

D.满足2+〃=5的点尸有且只有1个

【答案】AC

【分析】对于选项A和选项B,直接将选项中的条件代入AP=1AB+/nAE,结合向量的加法法则判断，对

于选项C和选项D,建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点尸，依次分析点尸在

四条边上的情况即可判断.

【详解】选项A：已知AE=AQ+OE，DE=CD=BA，即AE=4O+8A，

若4=〃=1，Illi]AP=AB+AE=AB+AD+BA=AD^

故点尸与点O重合，选项A正确；

选项B：若点P与点C重合，则AP=AC=AB+AO=AB+（AE-8A）=2A8+AE,

故；.=2.〃=1.选项R错误:

选项C：以。为原点，/M,QC为x，y轴建立平面直角坐标系，

A(O.l),5(1,1),E(-1,O),若/1+〃=1,则”=1-4,AP=AAB+UAE=2(1,0)+(1-A)(-1,-1)=(2/i-1,2-1),

P(22-l,2),当户在AB上时,y=l,解得;1=1,P(LD为B点,

当P在BC上时，x=\,解得4=1,P(U),为B点,

当P在C。上时，y=0,解得；1=0,P(-l,0),不符合题意，

当P在4。上时，x=0,解得兄=g,P(0,1),

综上，满足2+4=1的点P有2个，一个是3点，•个是(0,；),选项C正确；

33______333

选项D：若％+〃=一，则〃=--2,4夕=448+〃4£=〃1,0)+(二-/1)(-1,-1)=(2/1-二,/1一二)，

22222

P(22-3pA--1),当尸在A3上时，y=l,解得3P(31,D，不符合题意，

53

当P在8c上时，x=\,解得/1=:，P(L-),

44

当P在CD上时，y=0,解得义=；,「(—；,())，不符合题意，

当P在4。上时，x=0,解得义=3=,P(0I,4),综

44

上，满足义+〃=33的点P有2个，一个是尸(1,3：),一个是(0,I；),选项D错误.

244

故选：AC.

24.己知向量a=(7sine-l,5),/?=(cos2ai),若〃//〃，则cos26=

【答案】《。28

【分析】由向最共线关系得出方程，求解sin〃，再由余弦二倍角求得结果.

【详解】由4〃6,可得7sin。—1=58§2。，即7sin8-l=5(l-sin，。),

3

5sin?e+7sine-6=0，解得：sinO=1或sin6=-2(舍)，

7

cos2^=1-2sin2=——.

25

汝答案为：白

■02

匕与藤¥^已知5”、，分别为等差数列®｝、出｝的前〃项和，寺二黑|，设点A是直线8C外一点,

点P是直线4c上一点，且AP=%普A8+4AC,则实数4的直为_____.

4

21

【答案】-六/-0.84

【分析】设S“=（3〃2+2〃）/（F0）.则％=（4/+5沙,求出明、々的值，可得出岂”的值，设加=2/

利用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理以及42二号&43+/1人。，可得出关于A、几的方程组,

A

即可解得实数2的值.

【详解】因为s.、7；分别为等差数列｛%｝、论｝的前〃项和，=="|=譬?，

A,471+54〃+5〃

设S”=（3/+2n）t（t*0）,则Tn=（4/+5/?）/,

22

^fU«4=S4-S.=（3x4+2x4）r-（3x3+2x3）r=23r

^=Z；-7；=（4X32+5X3）/-（4X22+5X2）Z=25/,

所以-=华=?=黑所以"=牛小2AC=挣-

bybyZjt23b325

因为点P是直线6c上一点，点A是直线8c外一点，

设BP=kBC，BPAP-AB=k[AC-AB）,所以AP=（1—4）A8+&AC,

竺

由题意可知A3、4。不共线，由平面向量基本定理可得（王，解得&=义=-真.

k=425

故答案为：喉21.

2.“丽鬲点已知°为VA"°的外心，满足A°=〃*8+〃AC，若，〃+”的最大值为则cosA=

【答案】-

3

【分析】设得』…得々的最大值为“要使k取最大值，得V是等腰三角形后可求

解问题.

air/nuunlur

【详解】如图，延长A