一元一次方程及其解法【十二大题型】（人教版）原卷版

专题5.1元一次方程及其解法【十二大题型】

【人教版2024]

>题型梳理

【题型1方程及方程的解】......................................................................1

【题型2利用等式的性质判断正误】.............................................................2

【题型3利用等式的性质解决天平中的问题】.....................................................2

【题型4一元一次方程的同解何题】............................................................3

【题型5一元一次方程的整数解问题】..........................................................4

【题型6一元一次方程的解与参数无关的问题】..................................................4

【题型7一元一次方程的遮挡何题】............................................................5

【题型8一元一次方程的错解何题】............................................................5

【题型9由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】......................................6

【题型10由一元一次方程有解无解情况求字母的值】...............................................7

【题型11整体代入法求一元一次方程的解】.......................................................8

【题型12解含绝对值的一元一次方程1......................................................................................8

院举一反三

知识点1:方程及方程的解

（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）；

（2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入

【题型1方程及方程的解】

【例1】（23-24七年级•吉林长春期中）下列各式中，属于方程的是（）

A.一1-3B.3x+l=4C.x+l>lD.-2+5=3

【变式1・1】（2024秋・江西赣州.七年级统考期末）对于等式：忱-1|+2=3,下列说法正确的是（）

A.不是方程B.是方程，其解只有2

C.是方程，其解只有0D.是方程，其解有0和2

【变式1-2]（23-24七年级•四川达州・期末）解为％=-3的方程是（）

A.2x+3y=5B.字=6

C.号■二字D.3（x-2）-2（x-3）=5x

【变式1-3］（23-24七年级•福建福州•期末）%的5倍与2的和等于文的:与4的差"，用等式表示为

知识点2：等式及其性质

（I）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式：

（2）等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；

等式性质2；等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.

【题型2利用等式的性质判断正误】

【例2】（23-24七年级•湖南长沙•期末）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（）

A.若工=丫，则A=AB.若2%=y,则6%=y

C.若7nx=3,则%=%D.若％=y,Mx-m=y-m

3

【变式2-1］（23-24七年级•广东湛江•期末）已知等式3x=2y-4,则下列等式中不成立的是（）

A.|x=y-2B.3x+1=2y—3

C.3xz=2yz—4D.3x-2y=-4

【变式2-2］（23-24七年级•四川达州•期末）如果ma=mb,那么下列等式中不一定成立的是（）

A.ma+1=mb+1B.ma—3=mb—3C.—-ma=--mbD.a=b

22

【变式2・3】（23-24七年级•云南红河・期末）已知2m-7i+l=0,根据等式的性质,下列等式的变形中，

不正确的是（）

A.2m-n=-lB.2m+1=nC.m=等D.4m=2九-2

【题型3利用等式的性质解决天平中的问题】

【例3】（23-24七年级♦河北保定•期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②

中天平（）

平衡？

、□□/、AA/\nAOz\AAOz

①②

A.能平衡B.不能平衡，右边比左边低

C.不能平衡，左边比右边低D.无法确定

【变式3-1]（2024・贵州贵阳•七年级末）用"口〃”"”。〃表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图

所示.设小儿c•均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（）

A.如果Q+C=8+C,那么Q=bB.如果a=b,那么a+c=b+c

C.如果2Q=2b,那么Q=bD.如果Q=b,那么2Q=2b

【变式3-2]（23-24七年级•北京房山•期末）有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正

方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一

定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

【变式3・3】（2024七年级•全国・专题练习）假设组、•、团〃分别表示三种不同的物体.如图，前两架天平保

持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么”〃处应放（）个团.

、・▲/\?J

37\A

A.5B.6C.7D.8

知识点3：一元一次方程

（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,并且含未

知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且aNO）.

（3）一元一次方程解法的一般步骤：

化简方程------分数基本性质；

去分母------同乘（不漏乘）最简公分母；

去括号------注意符号变化；

移项.....变号（留下靠前）：

合并同类项——合并后符号；

系数化为1---------除前面.

【题型4一元一次方程的同解问题】

【例4】（23-24七年级•四川成都・期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如:方程：2x=6与方

程4x=12的解都为x=3,所以它们为同解方程.

（1）若方程2x・3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值；

（2）若关于x的方程x-2（x-m）=4和詈・?=1是同解方程，求m的值.

【变式4-1］（23-24七年级•山东青岛•期末）若关于％的方程2%+36一1=0和方程5-3（%+1）=2同解，

则机的值等于.

【变式4-2］（23-24七年级•山西晋城•期中）若方程％-2=2%+1与关于%的方程晨％-1）=等的解相同,

则a的值为（）

A.；B.-1C.1D品

【变式4-3］（23-24七年级•江苏泰州•期中）已知方程（a-2）”I+2m+4=0是关于x的一元一次方程.

⑴求。的值.

⑵已知方程崎卢-含=3和上述方程同解，求〃?的值.

【题型5一元一次方程的整数解问题】

【例5】（23-24七年级•四川达州•期末）若关于％的方程mx+3=5%+5的解为整数，则整数m=.

【变式5-1］（23-24七年级•重庆南岸•开学考试）已知关于%的方程号="+，勺解为偶数，则整数a的所

有可能的取值的和为.

【变式5-2］（23-24七年级•福建福州•期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值.如果一个方

程的解都是整数，那么这个方程叫做"立信方程

⑴若“立信方程〃2x-1=3的解也是关于工的方程1-2（%-m）=3的解，则m=；

⑵若关于x的方程5%+6=kx-7是“立信方程〃，请求出符合要求的正整数k的值.

【变式5・3】（23-24七年级•云南普洱・期末）已知关于%的方程%=-的解是正整数，则符合条

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件的所有整数Q的积是（）

A.-12B.4C.6D.3

【题型6一元一次方程的解与参数无关的问题】

【例6】（23-24七年级•福建泉州•期末）已知Q,b为定值，关于"勺方程手=1一笠”无论m为何值，

它的解总是1,则Q+b=

【变式6-1］（23-24七年级•福建福州•期中）已知关于x的方程2k%+2m=6-2x+nk的解与k无关,则47n4-

2九的值是.

【变式6-2］（23-24七年级•陕西西安•阶段练习）如果机，〃为常数，关于x的方程2（心:+2/）-3=空巴,

无论2为何值，方程的解总是x=2,则nm=.

【变式6-3］（23-24七年级•福建泉州•阶段练习）若不论“取什么数，关于x的方程竽-T=1（“、卜

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是常数）的解总是X=1,则Q-b的值是（）

A..—1Bc.l-C-.-15CD.---1-5--

2222

【题型7一元一次方程的遮挡问题】

【例7】（2024•广东佛山•三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3%+：=2x+■电话询问老师后知

道：方程的解％=1且被墨水遮盖的是一个常数.则该常数是（）

A.-B.--C.-D.--

2222

【变式7-1］（2024•浙江杭州•一模）已知：x=-2,求代数式+2的值.

圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（〃印表示被墨水污染的数字），

⑴如果被污染的数字是4,请求出代数式的值；

（2）如果计算结果等于-8,求被污染的数字.

【变式7-2］（23-24七年级•全国,单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，

成了：（一”+"）二1一子（"*"表示被污染的数字）’他翻了书后的答案’知道这个方程的解为"=5,

于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是—.

【变式7-3］（23-24七年级•河北廊坊•期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3%+

7=回-/'中的常数被"回”遮挡.

⑴嘉淇猜想何'遮挡的常数是1，请你算一算工的值；

（2）老师说此方程的解与方程2x-；=；x+4的解相同，请你算一算〃回〃遮挡的常数是多少？

【题型8一元一次方程的错解问题】

【例8】（23-24七年级•贵州毕节•期末）某人在解方程甘二平一1去分母时。，方程右边的-1忘记乘以6,

算得方程的解为3=-5,则此方程的解为.

【变式8・1］（23-24七年级•河南郑州•期末）将方程2（%-1）=3（%-1）的两边同除以（％-1）,得2=3,其

错误的原因是（）

A.方程本身是错的B.方程无解

C.不能确定（％-1）的值是否为0D.2（%-1）小于3（%-1）

【变式8-2］（23-24七年级•山东滨州•期末）小滨在解方程2?+=二二%+。时，误将X+Q看成了3-Q,

4*5

解得方程的解是％=5,则原方程的解为.

【变式8-3］（23-24七年级•北京门头沟•期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题

等一唠=1,甲、乙两位同学的解答过程分别如下:

乙同学：

甲同学：

解方程生史一金=1.

解方程手一.二1.24

N4

解：方^义4一彳x4=1…笫①步

解：平x4-^x4=lx4…第①步

2(3x4-l)-x+7=1......第②步

2(3x+l)-x-7=4......第②步

6x+2-x+7=l......第③步

6x+2-x-7=4......第③步

6x-x=l-2-7......第④步

6%-%=4-2+7......第④步

5%=-8..........第⑤步

5%=9..........第⑤步

x=-l.......第⑥步

X=.......第⑥步

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他

分析错因，并加以改正.

（1）我选择同学的解答过程进行分析（填"甲"或"乙"）;

（2）该同学的解答过程从第步开始出现错误（填序号）；错误的原因是

（3）请写出正确的解答过程.

【题型9由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】

［例9］（23-24七年级•黑龙江大天期末）关于x的方程4%-2n=3x-1的解是％=2x-3m的解的2倍,

则m的值为（）

A禺B-；

【变式9-1］（23-24七年级•河南许昌•期末）已知关于x的方程1）=5+k的解与方程式％-1）一日k=

翔一1）的解互为相反数，求k的值.

【变式9-2]（23-24七年级•重庆•阶段练习）已知关于%的方程2a+1）-m=中的解比方程的5x-1=4x+

1解大2,求m的值.

【变式9-3]（23-24七年级•福建莆田•阶段练习）定义：若关于x的方程以+匕=0（。工0）的解与关于y的方

程cy+d=0（cH0）的解满足|x-y\=m（m为正数），则称方程ax+b=0（a工0）与方程cy+d=0（cH0）

是"m差解方程〃.

⑴请通过计算判断关于x的方程力=5x-12与关于y的方程3⑶-l）-y=1是不是“2差解方程”，

⑵若关于汇的方程乃一誓二九一1与关于y的方程2（y-2mn）-3（n-1）=m是"m差解方程”，求"的值；

【题型10由一元一次方程有解无解情况求字母的值】

【例10]（23-24七年级•河南洛阳・期末）关于X的方程4%-（3a+1）=6x+2a-1的解与5（%-3）=4x-10

的解互为相反数.

⑴求一3a2+7a-1的值；

⑵根据方程解的定义试说明关于，的方程at=2t有无数解.

【变式10-1]（23-24七年级•上海长宁・期末）如果关于K的方程（m+2）x=l无解，那么〃?的取值范围

是.

【变式10-2]（23-24七年级•湖南湘西•阶段练习）阅读下列分析过程，并解答问题.

一元一次方程ax=c

①当aH0时，方程有唯一解：

②当a=0时，方程无解.；

③当a=0,c=0时，方程有无数解.

根据上面的方法，

（1）当mx-1=3x+九满足唯一解、无解时，求m的值；

⑵满足无数解时，求，〃、〃的值.

【变式10-3]（23-24七年级•广东广州•期末）（多选题）关于x的方程2x-5+Q=bx+l（a,力为常数），

下列说法正确的是（）

A.当6B2时，该方程有唯一解B.当QH6,b=2时，该方程有无数解

C.当Q=6,b=2时，该方程有无数解D.当aH6,b=2时，该方程无解

【题型n整体代入法求一元一次方程的解】

【例11】（23-24七年级•福建泉州•期末）已知关于一的一元一次方程嘉+5=2024%+m的解为％=2024,

则关于y的一元一次方程施=2024（y-5）+5-m的解为（）

A.y=-2029B.y=2019C.y=-2019D