2026年高考数学二轮强化训练函数应用习题

2026年高考数学二轮强化训练函数应用习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，若关于x的不等式f(x)≥a对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（-∞，3]C．[2，+∞）D．（-∞，2]解析：函数f(x)的图像由两段直线组成，在x=-2处取最小值3，因此a≥3时不等式恒成立，选A。2.若函数g(x)=ln(x+1)-ax在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(-1，0]B．[1，+∞）C．(-∞，-1)D．[0，1]解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(x)≥0得a≤1/(x+1)在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0，选D。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-2，-1)D．(1，2)解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)，选B。4.若函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是（）A．-1/3B．1/3C．0D．1解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3，选A。5.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，若f(α)=5且α∈(π/2，π)，则tanα的值是（）A．-1/2B．-2C．1/2D．2解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，由f(α)=5得sin(2α+π/4)=√2/2，α∈(π/2，π)⇒2α+π/4∈(5π/4，9π/4)，因此2α+π/4=7π/4，解得α=3π/4，tanα=-1，选A。6.已知函数f(x)=x²+2ax+1在区间（-1，1）上的最小值是-1，则实数a的取值范围是（）A．[-√2，√2]B．[-1，1]C．(-∞，-1)∪(1，+∞)D．(-∞，-√2)∪(√2，+∞)解析：f(x)的对称轴x=-a，①若-1＜-a＜1⇒-1＜a＜1，f(x)在x=-a处取最小值f(-a)=-a²+1=-1⇒a=±√2，矛盾；②若-1≥-a⇒a≤1，f(1)=-1⇒a=-1；③若1≤-a⇒a≥-1，f(-1)=-1⇒a=1，综上a∈{-1，1}，选B。7.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，则关于x的不等式f(x)≥k对所有实数x恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（-∞，3]C．[2，+∞）D．（-∞，2]解析：f(x)在x=-1处取最小值3，因此k≤3，选B。8.已知函数g(x)=ln(1+x)-ax在x=0处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-∞，-1)D．[1，+∞）解析：g′(x)=1/(1+x)-a，由g′(0)=1-a=0得a=1，此时g′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，因此x=0处为极大值点，选D。9.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-2，-1)D．(1，2)解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)，选B。10.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是（）A．-1/3B．1/3C．0D．1解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x²+2ax+1在区间（-1，1）上的最小值是-1，则实数a的取值范围是________。参考答案：[-1，1]解析：f(x)的对称轴x=-a，①若-1＜-a＜1⇒-1＜a＜1，f(x)在x=-a处取最小值f(-a)=-a²+1=-1⇒a=±√2，矛盾；②若-1≥-a⇒a≤1，f(1)=-1⇒a=-1；③若1≤-a⇒a≥-1，f(-1)=-1⇒a=1，综上a∈{-1，1}，但题目要求最小值是-1，因此a∈[-1，1]。2.已知函数g(x)=ln(1+x)-ax在x=0处取得极大值，则实数a的取值范围是________。参考答案：[1，+∞）解析：g′(x)=1/(1+x)-a，由g′(0)=1-a=0得a=1，此时g′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，因此x=0处为极大值点，a＞1时g′(x)在x=0右侧仍为负，极大值点不变，因此a∈[1，+∞）。3.若函数h(x)=x³-3x²+2在（-1，1）上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________。参考答案：(-2，-1)解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知k∈(-2，-1)。4.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，则关于x的不等式f(x)≥k对所有实数x恒成立，则实数k的取值范围是________。参考答案：（-∞，3]解析：f(x)在x=-1处取最小值3，因此k≤3。5.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是________。参考答案：-1/3解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。6.若函数g(x)=ln(x+1)-ax在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：(-∞，1]解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(x)≥0得a≤1/(x+1)在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0。7.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，则实数m的取值范围是________。参考答案：(0，2)解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)。8.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，若f(α)=5且α∈(π/2，π)，则tanα的值是________。参考答案：-2解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，由f(α)=5得sin(2α+π/4)=√2/2，α∈(π/2，π)⇒2α+π/4∈(5π/4，9π/4)，因此2α+π/4=7π/4，解得α=3π/4，tanα=-2。9.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是________。参考答案：-1/3解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。10.已知函数f(x)=x²+2ax+1在区间（-1，1）上的最小值是-1，则实数a的取值范围是________。参考答案：[-√2，√2]解析：f(x)的对称轴x=-a，①若-1＜-a＜1⇒-1＜a＜1，f(x)在x=-a处取最小值f(-a)=-a²+1=-1⇒a=±√2，矛盾；②若-1≥-a⇒a≤1，f(1)=-1⇒a=-1；③若1≤-a⇒a≥-1，f(-1)=-1⇒a=1，综上a∈{-1，1}，但题目要求最小值是-1，因此a∈[-√2，√2]。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=|x+1|+|x-2|，则关于x的不等式f(x)≥k对所有实数x恒成立，则实数k的取值范围是[3，+∞）。参考答案：×解析：f(x)在x=-1处取最小值3，因此k≤3，选项错误。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是(-1，0]。参考答案：×解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(x)≥0得a≤1/(x+1)在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，则实数m的取值范围是(-2，-1)。参考答案：√解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(-2，-1)。4.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是-1/3。参考答案：√解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。5.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，若f(α)=5且α∈(π/2，π)，则tanα的值是-1/2。参考答案：×解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，由f(α)=5得sin(2α+π/4)=√2/2，α∈(π/2，π)⇒2α+π/4∈(5π/4，9π/4)，因此2α+π/4=7π/4，解得α=3π/4，tanα=-1。6.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在x=0处取得极大值，则实数a的取值范围是(0，1)。参考答案：×解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(0)=1-a=0得a=1，此时g′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，因此x=0处为极大值点，a＞1时g′(x)在x=0右侧仍为负，极大值点不变，因此a∈[1，+∞）。7.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，则实数m的取值范围是(0，2)。参考答案：√解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)。8.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，则g(1)的值是1/3。参考答案：×解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。9.若函数f(x)=x²+2ax+1在区间（-1，1）上的最小值是-1，则实数a的取值范围是[-√2，√2]。参考答案：×解析：f(x)的对称轴x=-a，①若-1＜-a＜1⇒-1＜a＜1，f(x)在x=-a处取最小值f(-a)=-a²+1=-1⇒a=±√2，矛盾；②若-1≥-a⇒a≤1，f(1)=-1⇒a=-1；③若1≤-a⇒a≥-1，f(-1)=-1⇒a=1，综上a∈{-1，1}，但题目要求最小值是-1，因此a∈[-1，1]。10.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，若f(α)=5且α∈(π/2，π)，则tanα的值是-2。参考答案：√解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，由f(α)=5得sin(2α+π/4)=√2/2，α∈(π/2，π)⇒2α+π/4∈(5π/4，9π/4)，因此2α+π/4=7π/4，解得α=3π/4，tanα=-2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，求f(x)的最小值及取得最小值的x的取值范围。参考答案：最小值为3，取得最小值的x的取值范围是[-1，2]。解析：f(x)在x=-1处取最小值3，因此x∈[-1，2]时f(x)取最小值3。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案：a≤0。解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(x)≥0得a≤1/(x+1)在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，求h(x)在（-1，1）上的最大值及最小值。参考答案：最大值为2，最小值为-4。解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，因此h(x)在（-1，1）上的最大值为2，最小值为-4。4.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，求g(1)的值。参考答案：g(1)=-1/3。解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。5.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，求f(x)的最小正周期。参考答案：T=π。解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，因此f(x)的最小正周期为π。6.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在x=0处取得极大值，求实数a的取值范围。参考答案：a=1。解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(0)=1-a=0得a=1，此时g′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，因此x=0处为极大值点，a＞1时g′(x)在x=0右侧仍为负，极大值点不变，因此a∈[1，+∞），但题目要求极大值点为x=0，因此a=1。7.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围。参考答案：m∈(0，2)。解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)。8.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，求F(x)在x=1处的二阶导数。参考答案：F′′(1)=-5。解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′′(x)=f′′(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g′′(x)，F′′(1)=f′′(1)g(1)+2f′(1)g′(1)+f(1)g′′(1)=0+2×3×(-1)+2×0+0=-5。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|，若关于x的不等式f(x)≥k对所有实数x恒成立，求实数k的取值范围。案例：某城市出租车计费规则为：起步价10元（含3公里），3公里后每公里2元，超过10公里每公里3元。若某乘客乘坐出租车行驶x公里（x>0），求出租车费用y与行驶距离x的函数关系式，并求出租车费用y的最小值。参考答案：y=2x+4（0≤x≤3），y=3x-3（x>3），最小值为10元。解析：当0≤x≤3时，y=10；当x>3时，y=10+2(x-3)=2x+4，因此y=2x+4（0≤x≤3），y=3x-3（x>3），当x=3时，y=10，因此y的最小值为10元。2.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。案例：某工厂生产某种产品，固定成本为a万元，每生产1万件产品的可变成本为2万元，市场需求函数为p=10-0.5q（p为价格，q为需求量），求该工厂的利润函数，并求该工厂的最大利润。参考答案：a≤0，最大利润为8万元。解析：利润函数L(q)=-0.5q²+8q-a，L′(q)=-q+8，令L′(q)=0得q=8，L(8)=32-a，因此最大利润为32-a，由g(x)单调递增得a≤0，因此最大利润为8万元。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2，求h(x)在（-1，1）上的最大值及最小值。案例：某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-3x²+2（x为产量），求该公司的平均成本函数，并求平均成本的最小值。参考答案：平均成本函数为C(x)=x²-3x+2/x，最小值为1/2。解析：平均成本函数为C(x)=C(x)/x=x²-3x+2/x，C′(x)=2x-3-2/x²，令C′(x)=0得x=2，C(2)=0，因此平均成本的最小值为1/2。4.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，求g(1)的值。案例：某公司生产两种产品，产品A的售价为10元/件，产品B的售价为8元/件，生产产品A的边际成本为3元/件，生产产品B的边际成本为2元/件，若该公司生产两种产品的总成本函数为C(x)=3x₁+2x₂+5（x₁为产品A的产量，x₂为产品B的产量），求该公司生产两种产品的总利润函数，并求总利润的最大值。参考答案：g(1)=-1/3，最大利润为15元。解析：总利润函数为L(x₁,x₂)=10x₁+8x₂-（3x₁+2x₂+5）=7x₁+6x₂-5，L₁′(x₁)=7，L₂′(x₂)=6，因此总利润的最大值为15元。5.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，求f(x)的最小正周期。案例：某城市公交车的发车间隔为15分钟，若某乘客在随机时刻到达公交车站，求该乘客等待时间不超过5分钟的概率。参考答案：T=π，概率为5/15=1/3。解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，因此f(x)的最小正周期为π，概率为5/15=1/3。6.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在x=0处取得极大值，求实数a的取值范围。案例：某公司投资某项目，初始投资为a万元，年收益率为10%，求该项目的净现值函数，并求该项目的最优投资额。参考答案：a=1，最优投资额为10万元。解析：净现值函数为NPV=-a+10/(1+0.1)^t，令NPV′(t)=-10/(1+0.1)^t+0.1×10/(1+0.1)^t=0得t=10，因此最优投资额为10万元。7.已知函数h(x)=x³-3x²+2，若存在实数m使得方程h(x)=m在（-1，1）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围。案例：某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-3x²+2（x为产量），求该公司的边际成本函数，并求边际成本的最小值。参考答案：m∈(0，2)，边际成本最小值为0。解析：边际成本函数为MC(x)=C′(x)=3x²-6x，令MC(x)=0得x=0或x=2，MC(0)=0，因此边际成本的最小值为0。8.已知函数F(x)=f(x)•g(x)在x=1处取得极小值，且f(1)=2，g(1)=0，f′(1)=3，g′(1)=-1，求F(x)在x=1处的二阶导数。案例：某公司生产两种产品，产品A的售价为10元/件，产品B的售价为8元/件，生产产品A的边际成本为3元/件，生产产品B的边际成本为2元/件，若该公司生产两种产品的总成本函数为C(x)=3x₁+2x₂+5（x₁为产品A的产量，x₂为产品B的产量），求该公司生产两种产品的总利润函数，并求总利润的最大值。参考答案：F′′(1)=-5，最大利润为15元。解析：总利润函数为L(x₁,x₂)=10x₁+8x₂-（3x₁+2x₂+5）=7x₁+6x₂-5，L₁′(x₁)=7，L₂′(x₂)=6，因此总利润的最大值为15元。9.已知函数f(x)=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x，求f(x)的最小正周期。案例：某城市公交车的发车间隔为15分钟，若某乘客在随机时刻到达公交车站，求该乘客等待时间不超过5分钟的概率。参考答案：T=π，概率为5/15=1/3。解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，因此f(x)的最小正周期为π，概率为5/15=1/3。10.已知函数g(x)=ln(x+1)-ax在x=0处取得极大值，求实数a的取值范围。案例：某公司投资某项目，初始投资为a万元，年收益率为10%，求该项目的净现值函数，并求该项目的最优投资额。参考答案：a=1，最优投资额为10万元。解析：净现值函数为NPV=-a+10/(1+0.1)^t，令NPV′(t)=-10/(1+0.1)^t+0.1×10/(1+0.1)^t=0得t=10，因此最优投资额为10万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.A5.D6.B7.B8.D9.B10.A二、填空题1.[-1，1]12.(-∞，1]13.(-2，-1)14.（-∞，3]15.-1/316.(-∞，1]17.(0，2)18.-219.-1/320.[-√2，√2]三、判断题1.×22.×23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.×30.√四、简答题1.最小值为3，取得最小值的x的取值范围是[-1，2]。解析：f(x)在x=-1处取最小值3，因此x∈[-1，2]时f(x)取最小值3。2.a≤0。解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(x)≥0得a≤1/(x+1)在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0。3.最大值为2，最小值为-4。解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，因此h(x)在（-1，1）上的最大值为2，最小值为-4。4.g(1)=-1/3。解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F′(1)=6×0+2×(-1)=-2≠0，矛盾，因此g(1)≠0，排除C、D，由F′(1)=0得f(1)g′(1)+f′(1)g(1)=0，解得g(1)=-1/3。5.T=π。解析：f(x)=1+sin2x+2cos²x=2+sin2x+cos2x=3+√2sin(2x+π/4)，因此f(x)的最小正周期为π。6.a=1。解析：g′(x)=1/(x+1)-a，由g′(0)=1-a=0得a=1，此时g′(x)在x=0左侧为正，右侧为负，因此x=0处为极大值点，a＞1时g′(x)在x=0右侧仍为负，极大值点不变，因此a∈[1，+∞），但题目要求极大值点为x=0，因此a=1。7.m∈(0，2)。解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，h(0)=2，h(-1)=-4，h(1)=0，由零点存在性定理及导数符号变化可知m∈(0，2)。8.F′′(1)=-5。解析：F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，F