华科大工程优化设计课件01工程优化问题建模

工程优化设计黄正东内容提要工程优化问题建模优化数学理论一维搜索方法无约束问题直接搜索方法无约束问题间接接搜索方法约束问题直接搜索方法线性规划与二次规划问题求解约束问题间接搜索方法特殊优化问题求解方法启发式算法优化计算与软件系统工程优化问题建模工程优化问题模型Find:x=(x1,x2,…,xn)

RnMinimize:F(x)=Subjectto:hi(x)=0,i=1,2,…,p

gi(x)

0,i=1,2,…,qminF(x)s.t.

hi(x)=0,i=1,2,…,p

gi(x)

0,i=1,2,…,qFindxMinimizeF(x)Subjecttoh(x)=0andg(x)

0工程优化问题建模工程优化问题模型:三要素设计变量

x=(x1,x2,…,xn)目标函数

F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))约束条件

等式约束

hi(x)=0,i=1,2,…,p不等式约束

gi(x)

0,i=1,2,…,q优化问题分类单目标优化问题多目标优化问题工程优化问题建模工程优化问题模型举例一:篱笆围墙设计Find:x=(L,W)Minimize:F(x)＝-(ＬＷ+W2/4)Subjectto:h(x)=2L+

W=400

g1(x)=-L

0

g2(x)=-W

0工程优化问题建模工程优化问题模型举例二:阶梯型悬臂粱设计截面尺寸弹性模量最大容许应力总长工程优化问题建模工程优化问题模型举例二:阶梯型悬臂粱设计参见<材料力学>参见<材料力学>工程优化问题建模Find:x=(h1,h2,…,h6)Minimize:F(x)=(

1(x),y6(x),V(x))Subjectto:bi=hi/20,

li=hi/10,

i

hi70,-hi-5

i=1,2,…,6.li

1=PLh1/(2I1)y66工程优化问题建模多目标优化问题的解被称为“非劣解”:即每个目标的减小方向上均无其它解.解可有多个.目标-1目标-2设计变量-1设计变量-2工程优化问题建模工程优化问题模型举例三:传递转矩的等截面轴的最优设计1.设计变量

x=(x1,x2)=(d,l)

2.设计目标

轴的质量最小

F(x)=W=

*(

d2/4)*l工程优化问题建模工程优化问题模型举例三:传递转矩的等截面轴的最优设计3.约束条件

(1)

扭转应力上界限制

=MT/WT

[

]

MT–轴所传递的最大转矩;WT–抗扭截面系数,对实心轴:WT=d3/16.[

]–许用扭转应力.

g1(x)=16MT/d3-[

]

0.

工程优化问题建模工程优化问题模型举例三:传递转矩的等截面轴的最优设计(2)

扭转变形上界限制

=MT*l/(G*Jp)

[

]

–扭转角;G

–材料的剪切弹性模数;Jp–极惯性矩,对实心轴

Jp=d4/32[

]–许用扭转角

g2(x)=32MT*l/Gd

4-[

]

0.

(3)

几何尺寸约束

dmin

d

dmaxlmin

l

lmax工程优化问题建模工程优化问题模型举例四:保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计1.设计变量

x=(d1,d2)

2.设计目标

轴的质量最小

F(x)=W=

*(

l/4)*(2d12+d22

)工程优化问题建模工程优化问题模型举例四:保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计3.约束条件

(1)

旋转角速度

要小于临界转速c:

达到临界转速时,轴便处于共振状态.临界转速

c数值上等于轴的横向振动(弯曲振动)的固有频率

n:

n=

g--重力加速度=,E是材料弹性模量Q是中间轮子质量工程优化问题建模工程优化问题模型举例四:保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计令:

n=K,K>1,

安全系数,

给定.

这样得约束条件:

(2)几何尺寸约束

d1,min

d1

d1,maxd2,min

d2

d2,max工程优化问题建模工程优化问题模型举例五:压杆的最优设计P1.设计变量

x=(d1,d2,l)

2.设计目标体积最小

F(x)=V=(

/4)*(d22-d12)*l

3.约束条件

(1)

应力不超过材料的弹性极限:

即单位截面的受力大小受限制,否则会出现断裂.与长度无关.

>1,安全系数.工程优化问题建模工程优化问题模型举例五:压杆的最优设计

(2)

载荷不超过弯曲临界载荷:

根据欧拉压杆公式,对于两端均为铰支的压杆,弯曲临界载荷(与长度有关):E—材料弹性模量;J—横截面的最小惯性矩;EJ—为弯曲刚度.对于不同的端部约束,上式为:

>1,安全系数.

工程优化问题建模工程优化问题模型举例五:压杆的最优设计

(3)

几何尺寸约束

d1,min

d1

d1,max,d2,min

d2

d2,max.lmin

l

lmaxFindx=(d1,d2,l)

MinimizeF(x)=(

/4)*(d22-d12)*l

Subjectto

d1,min

d1

d1,max,d2,min

d2

d2,max.lmin

l

lmax工程优化问题建模工程优化问题模型举例六:汽车转向机构最优设计Ctg=OC/LCtg=OD/LOC-OD=KCtg-Ctg=K/L左轮与AE杆固定右轮与BF杆固定’’

=

(

)’随

变化,选择ABEF使’逼近

AE摆动

角

是右轮与左轮同心的角度四轮都在同心圆上工程优化问题建模工程优化问题模型举例六:汽车转向机构最优设计由轮子的同心运动要求,得出理想参数关系:

ctg

-ctg

=K/L

所以,

=f(

)=ctg-1(ctg-K/L)

然而,四联杆能够产生的参数关系是:m=AE=BF

工程优化问题建模工程优化问题模型举例六:汽车转向机构最优设计1.设计变量

X=(

0,m)

2.

设计目标

偏差的加权和最小:Rmin前外轮最小转弯半径.0工程优化问题建模工程优化问题模型举例六:汽车转向机构最优设计3.约束条件

四杆机构的转动角

不宜太小,取

min=400,据此,有:工程优化问题建模工程优化问题模型举例七:离散变量优化例子旅行商问题(TravelingSalesmanProblem,TSP)mins.t.

不能有子回路12341234x12=1x23=1x34=1x41=1其余xij=0x13=1x32=1x24=1x41=1其余xij=0工程优化问题建模工程优化问题建模mins.t.工程优化问题建模工程优化问题模型举例七:离散变量优化例子能力约束机器调度问题(Capacitatedmachinescheduling)minTs.t.n个加工量为{d1,d2,…,dn}的产品在一台机器上加工,机器在第t个时间段(1天或1周)的工作能力为ct,求完成所有加工的最少时间段数.c1c3c2d1d2x23=1,x2t=0,t3

这里目标函数T比较特殊,没有表达式.工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子离合器盖结构工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子离合器盖结构1.设计变量

X=(Z1,Z2,…,Z6,t),

t—厚度

Zi—曲线高度坐标2.设计目标工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子离合器盖结构3.约束条件

忽视第一强度理论中的脆断准则工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子3.约束条件

第三强度理论中的屈服准则uu通常变换为位移的方程,变量减少fs=0fs=0弹性力学方程表征物体总势能达到最小的一种力平衡状态：应变能外力作功总势能在外力做功条件下,刚体产生动能与势能,弹性体还产生应变能.1.在静态时,动能为零,剩下势能与应变能.2.在静态平衡时,势能达到最小值.

(直观地讲,在最低点时才不会自动往高处运动)上式有个符号变化,不影响极值性KU=F工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子结构优化分类:尺寸优化,形状优化,拓扑优化工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子工程优化问题建模工程优化问题模型举例八:结构优化设计例子最小柔度的拓扑优化问题Find

X=(x1,x2,…,xn)–单元密度Minimize

C=FTUSubjectto

V=

xivi

V*-体积约束

F=KU

-结构平衡方程0xi1xiK为刚度矩阵,K=K(X)F为载荷向量,U位移,vi单元i体积C

为结构总体柔度工程优化问题建模工程优化问题建模随机优化模型混凝土钢筋模壳M：在95%概率下拟承受的弯矩。取值在[105,2*105]区间服从均匀分布。fc

：混凝土强度,取值在[25,35]MPa区间服从均匀分布。fs

：钢筋强度,取值在[500,550]MPa区间服从均匀分布。价格随机优化模型DV：

x1:=b,x2:=d,x3:=As，确定量目标：成本约束：强度要求钢筋与混凝土比例要求几何范围工程优化问题建模工程优化问题模型举例九:动力系统控制优化变量:目标:L=x(tf)约束:y(tf)=0,m(tf)>

以及ODE工程优化问题建模最优控制数学模型状态方程控制量约束终点约束终点目标过程性能x1,x2

火箭位置坐标x3=dx1/dt,x4=dx2/dtx5

火箭质量u1,u2

火推力向量方向余弦u3=-dx5/dt质量流失率c

有效排气速度g重力加速度工程优化问题建模不随时间变化取定值时,运动方向与推力方向可能不一致!工程优化问题建模工程优化问题建模x’’M=vx’(t)y’’M=vy’(t)工程优化问题建模工程优化问题建模旋度能量耗散矩阵点乘工程优化问题建模振动系统的材料质量分布优化p-轴向刚度、材料密度寻找最优材料质量分布使最小特征值最大、最大特征值最小！+工程优化问题建模+工程优化问题建模简化约束方程的形式：同乘A需要求mkvv工程优化问题建模采用另外一种变换：这样，约束都是线性的。工程优化问题建模s.t.优变:Lagrange转换必要不充分,但极值是λ的上下界xTx=1二次方程组一次方程组特殊性:求鞍点工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！取工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！取根据λ(a)在a=a0附近的极大极小性决定是λ1还是λ4maxmin->lamda-1minmax->lamda-n这里只用到一阶导数，没用到二阶导数，无法直接确定是最大还是最小特征值。需要其它信息来判断。工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！在n段情况：工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！+工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特