小学四年级数学《三位数除以两位数的笔算：从算法到算理》单元深度学习导学案

小学四年级数学《三位数除以两位数的笔算：从算法到算理》单元深度学习导学案

  一、学情深度分析与教学理论锚点

  四年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，其数学思维从依赖于具体实物和表象逐步向抽象逻辑推理发展。在知识基础上，学生已经熟练掌握了表内乘除法、两位数除以一位数的笔算，以及三位数除以整十数的除法，并具备了基本的试商经验。然而，从“两位数除以一位数”到“三位数除以两位数”的跨越，不仅是计算位数的增加，更是计算策略复杂化的质变。学生面临的核心认知冲突在于：如何将已有的“除数是一位数”的试商、乘减、落位这一程序性算法迁移到“除数是两位数”的情境中，并理解其背后的算理——即为什么试商有时会偏大或偏小？调商的依据是什么？

  本设计以建构主义学习理论和深度学习理念为基石，强调学生对算理的自主建构与深度理解，而非对算法的机械记忆。我们将计算教学置于真实、复杂的问题情境之中，引导学生经历“面对新问题——调用旧经验——发现认知冲突——探索调整策略——形成新方法——反思内化算理”的完整认知过程。同时，融合跨学科视野，将数学计算与问题解决、逻辑推理、数据验证（如科学探究中的数据整理）等能力相结合，培养学生的数学核心素养，特别是运算能力和推理意识。

  二、教学目标（基于核心素养的多元立体设定）

  1.知识与技能目标：学生能理解并掌握三位数除以两位数笔算除法的基本步骤（试商、乘、减、比、落），能根据除数的特征（如接近整十数）灵活采用“四舍五入”法进行试商，并能在初商不合适时进行有效调商（包括“商调大”和“商调小”两种情形），最终正确、熟练地完成计算，并能进行验算。

  2.过程与方法目标：学生通过操作小棒、方格图等直观模型，经历将分物的具体操作过程抽象为竖式计算符号的过程，深刻理解“为什么每次除得的余数必须比除数小”这一核心算理。在解决实际问题的过程中，发展策略性试商与调商的估算能力和推理能力。

  3.情感、态度与价值观目标：学生在探索算法多样性和最优化的过程中，体验数学的严谨性和灵活性，培养勇于尝试、细致检验的学习习惯和合作交流的意识。通过将除法计算应用于解决跨学科情境问题，体会数学的工具价值，增强学习数学的内在动力。

  三、教学重难点研判

  *教学重点：三位数除以两位数笔算除法的完整算法过程，特别是基于“四舍五入”法的试商方法。

  *教学难点：1.算理理解：理解试商、调商过程的数学原理，尤其是当除数个位“四舍”或“五入”后，初商可能偏大或偏小的原因。2.技能内化：在复杂情境中（如被除数前两位不够除需要看前三位）灵活、准确地进行调商。

  四、教学准备（体现跨学科与技术支持）

  1.教师准备：多媒体课件（内含动态演示分物过程的动画、互动式竖式生成器、真实问题情境视频或图片）；可粘贴的磁性小棒或方块模型；设计分层探究学习任务单。

  2.学生准备：每小组一套小棒（以10根一捆和单根形式呈现，模拟百、十、个位）或方格纸；常规学习用品。

  3.情境素材准备：链接科学课“种子发芽率实验”数据（如：共192颗种子，平均分到16个培养皿，每个培养皿放几颗？）；链接语文/社会课“图书馆图书整理”问题（如：全校捐赠图书共576本，如果每班分24本，可以分给几个班？）；链接环保主题数据（如：一个家庭季度节水总量为432升，若每月用水量相同，平均每月节水多少升？）。

  五、教学实施过程详案（总计四课时）

  第一课时：情境锚定与算理初探——从分物操作到竖式符号

  （一）真实性情境导入，激活已有认知（预计用时：12分钟）

  1.呈现跨学科情境：播放一段简短的学校“书香校园”活动视频，展示同学们整理捐赠图书的场景。随后出示问题：“四年级同学齐心协力，一共整理了192本图书。如果计划平均分给16个班级建立图书角，每个班级可以分到多少本？”

  2.引导分析，列出算式：引导学生提取数学信息（总本数192，班级数16），明确求“每份数”用除法，列出算式：192÷16。

  3.认知冲突与估算：提问：“这个算式和我们以前学的除法有什么不同？”（除数是两位数）“不计算，你能估一估大概每班能分到10本吗？还是更多？为什么？”引导学生估算：192≈200，16≈20，200÷20=10，所以商大约是10。此环节激活学生的估算意识，为试商铺垫。

  （二）多元表征探究，建构算理模型（预计用时：20分钟）

  1.小组合作，实物操作：各小组利用小棒模型（1捆10根代表10本）操作。要求：用192根小棒（19捆和2根单棒）平均分给16个小组（用16个杯子代表），亲历分的过程。

  2.操作过程与思维外化：

   *第一步：先分整捆的。19捆（代表190本）平均分给16个组，每组能分到1捆（10本），分掉了16捆（16×10=160本），还剩下3捆（30本）和2根单棒，总共剩下32根。

   *第二步：将剩下的32根单棒平均分给16个组，每组再分得2根。

   *结论：每组共分得1捆加2根，即12根（本）。

  3.从操作到竖式的符号化抽象：教师同步板演，将操作步骤与竖式计算建立一一对应关系。

   *“先分整捆的”对应竖式中“看被除数前两位19”。

   *“19捆分给16组，每组1捆”对应“试商1”，写在十位上。

   *“分掉了16捆”对应“1×16=16”，写在19下面。

   *“还剩下3捆”对应“19-16=3”，即余数3（实际是3个十，30）。

   *“把剩下的3捆拆开成30根，和2根合起来是32根”对应“落下一个位上的数字2”，组成新的被除数32。

   *“32根分给16组，每组2根”对应“试商2”，写在个位上，完成“2×16=32”和“32-32=0”。

  4.核心算理聚焦：引导学生讨论：“在分的过程中，为什么第一次分完后剩下的3捆（30本）一定要和剩下的2本合起来再分？”“在竖式里，这个‘合起来’是怎么体现的？”从而深刻理解“每次除得的余数，必须比除数小”以及“落位”的算理——余数与被除数下一位结合，形成新的计数单位继续除。

  （三）对比迁移，初步建模（预计用时：8分钟）

  1.变式练习：出示184÷23。引导学生思考：被除数前两位18比除数23小，怎么办？（看前三位）估算商大约是多少？（23≈20，184÷20≈9）能否直接用9试商？

  2.尝试计算与反思：学生尝试用竖式计算。教师巡视，捕捉典型算法（包括正确的和可能商9偏大的）。通过讨论，初步感知当除数个位较小（如3）时，用“四舍”法看作整十数试商，初商可能合适或需要调整。

  第二课时：算法精细化与策略生成——四舍五入试商法

  （一）复习回顾，引出核心策略（预计用时：10分钟）

  1.快速口算与上节课回顾：进行一组除数是一位数和除数是整十数的口算练习。回顾192÷16的计算过程，强调步骤。

  2.提出核心探究问题：“上节课的除数16，我们很容易想到把它看作20来估算。如果遇到像23、17、58、63这样的除数，我们该怎么快速找到试商的起点呢？”

  （二）探究“四舍五入”试商法的原理（预计用时：25分钟）

  1.案例对比探究（一）：“四舍”法

   *出示例题：王老师带了196元，买单价28元的科学实验材料包，最多能买几个？

   *列式：196÷28。

   *引导推理：除数28接近哪个整十数？（30）把28看作30来试商，196里面大约有几个30？（6个）为什么看作30？因为28的个位8＞5，向十位进一，用“五入”法。

   *尝试计算：学生试商6，计算6×28=168，196-168=28。发现余数28等于除数28。

   *认知冲突与调商：提问：“余数还能再分一个吗？这说明什么？”（说明商6小了）怎么办？（把商调大1，变成7）计算7×28=196，正好。

   *归纳：当除数个位是5、6、7、8、9时，通常用“五入”法看作接近的较大的整十数试商，这时初商可能偏小，需要调大。

  2.案例对比探究（二）：“五入”法

   *出示例题：上述案例改为买单价32元的材料包，196元最多能买几个？

   *列式：196÷32。

   *引导推理：除数32接近哪个整十数？（30）把32看作30来试商，为什么？（个位2＜5，用“四舍”法）。196里面大约有几个30？（6个）

   *尝试计算：学生试商6，计算6×32=192，196-192=4。余数4＜32，正确。

   *变式与调商：若将题目改为190÷32，试商6，6×32=192＞190，说明什么？（商6偏大）怎么办？（调小为5）。

   *归纳：当除数个位是1、2、3、4时，通常用“四舍”法看作接近的较小的整十数试商，这时初商可能偏大，需要调小。

  3.策略建模：师生共同总结“四舍五入试商歌诀”：“四舍除数易商大，酌情往小调一下；五入除数易商小，酌情往大调一下。”强调“酌情”二字，理解调商的依据是“余数与除数的大小比较”以及“乘积与被除数的大小比较”。

  （三）巩固与应用（预计用时：5分钟）

  完成一组针对性练习，如：153÷34（四舍，需调小），245÷38（五入，需调大），要求学生先判断如何试商，再计算，并口头说明试商和调商过程。

  第三课时：综合应用与灵活调商——应对复杂情境

  （一）复杂情境引入，挑战高阶思维（预计用时：15分钟）

  1.呈现复杂问题：“学校气象小组连续记录了一周的空气质量数据（PM2.5平均值），分别为：56，62，58，65，70，68，61（微克/立方米）。为了绘制成更直观的图表，需要将总浓度平均分成7份，但要求以整十数为单位进行分段统计。如何快速计算总浓度的大致平均值？”

  2.引导策略：先估算总和（约56+60+60+65+70+70+60≈441），再计算441÷7。这是一个被除数前两位44小于除数7但前三位够除的简单情况，巩固看前三位的方法。进而提出本课核心：在需要调商时，如何更灵活高效。

  3.揭示课题：今天我们将学习更巧妙的调商方法，解决更复杂的计算问题。

  （二）探究灵活调商策略（预计用时：20分钟）

  1.典型难题突破：出示240÷26。

   *学生常规思路：26≈30（五入），试商8，8×26=208，240-208=32，余数32＞26，商8偏小，调商9，9×26=234，240-234=6，正确。

   *引导发现：“从8调9，我们试乘了两次。有没有可能一次就找到更接近的商？”观察26，它离25更近。25×9=225，25×10=250。因为240介于225和250之间，且更接近225，所以可以尝试直接商9。

   *策略提炼：当除数接近几十五（如25、35、45）时，可以想这个几十五的乘法口诀来试商，可能更快捷。这种方法可称为“靠五法”或“中数法”。

  2.同头无除商八九：出示312÷39。

   *引导学生观察被除数和除数的首位都是3（同头），但被除数的前两位31小于39（无除）。

   *经验总结：这种情况，商通常不是8就是9。可以直接从9开始试商，提高效率。学生试商9，成功。

  3.综合练习：提供一组特征各异的算式，如：252÷36（接近35），143÷16（同头无除），让学生自主选择最优试商策略，并比较不同策略的优劣。

  （三）联系实际，解决问题（预计用时：5分钟）

  回归导入的气象数据问题，计算精确的平均值：56+62+58+65+70+68+61=440，440÷7=62……6。讨论余数的意义（表示平均浓度约为62.86），以及在实际统计中如何处理（四舍五入保留整数或一位小数），体现数学的精确性与应用灵活性。

  第四课时：单元整合、迁移与评估——从计算熟练到思维结构化

  （一）计算技能竞赛与错例诊断（预计用时：15分钟）

  1.限时计算挑战：设计包含“四舍需调小”、“五入需调大”、“同头无除”、“除数接近几十五”等多种类型的8-10道竖式计算题，进行小组竞赛。

  2.典型错例会诊：教师选取竞赛中出现的典型错误（如：余数大于除数忘记调商、试商后忘记乘原来的除数、数位对不齐等），用投影展示，由学生扮演“小医生”进行诊断，分析错误原因并纠正。重点强化“余数比除数小”这一算理在检验中的核心作用。

  （二）跨学科项目式问题解决（预计用时：20分钟）

  项目任务：“规划我们的‘班级丰收节’”

  背景：班级在科学课种植的南瓜丰收了，共收获85个。计划用于以下活动：

  *活动A：义卖。每箱装12个，能装满几箱？还剩几个用于其他活动？

  *活动B：烹饪分享。每个小组（共6个小组）平均分得一些用于制作南瓜饼，最多每个小组能分到几个？最终会剩下几个？

  *活动C：赠送老师。如果每位老师送2个，最多可以送给几位老师？

  任务要求：

  1.请根据以上信息，提出至少两个不同的用除法解决的数学问题，并列出算式。

  2.选择其中一个你认为最有挑战性的问题进行计算，并验算。

  3.结合计算结果，为班级设计一个合理的南瓜分配方案（需用到所有85个南瓜），并说明理由。

  此任务综合考察学生从情境中提取信息、提出问题、灵活运用除法计算（包含包含除、等分除、有余数处理）以及方案设计与论证的能力。

  （三）单元反思与思维导图构建（预计用时：5分钟）

  引导学生以小组为单位，回顾本单元学习历程，共同绘制“三位数除以两位数”的思维导图。主干应包括：算理核心（如：计数单位细分、余数必比除数小）、算法步骤（试商、乘、减、比、落）、试商策略（四舍法、五入法、灵活调商法）、应用场景、易错点提醒等。通过构建知识网络，促进学生对知识的深度理解和结构化存储。

  六、分层作业设计

  *基础巩固层：完成教材配套练习，重点巩固“四舍五入”试商法的基本计算。要求书写规范，并逐题验算。

  *能力拓展层：

   1.填空：□56÷45的商是一位数，□里最大填；如果商是两位数，□里最小填。

   2.解决一个需要两步运算的问题（如：先乘后除或先除后加）。

   3.搜集生活中遇到的一个除法问题，记录下来并解答。

  *探究挑战层：

   1.探究“在除法算式a÷b中，如果被除数a扩大2倍，除数b不变，商会如何变化？如果被除数不变，除数扩大2倍呢？”（渗透函数思想）。

   2.尝试计算并总结“三位数除以两位数”中，商是5、6、7、8、9时，被除数和除数之间大致的关系。

  七、板书设计（动态生成式）

  板书分为三个区域：

  *左区：核心算理固定呈现“每次除得的余数必须比除数小”“哪一位不够商1，就在那一位写0占位”。

  *中区：算法流程动态生成，随课堂教学推进逐步完善：

    一看