新人教版八年级上册数学各章节知识点总结

新人教版八年级上册数学各章节知识点总结同学们，八年级上册的数学学习之旅即将开启。这份知识点总结旨在帮助大家梳理各章节的核心内容，希望能为你们的学习提供一份清晰的指引。请记住，数学的学习不仅在于记忆，更在于理解和应用。第一章三角形本章我们将系统学习三角形的基本概念、性质以及与三角形相关的重要线段和角度关系，它是平面几何的基础。1.1与三角形有关的线段*三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”。*三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。*三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。*三角形的分类（按边）：*三边都相等的三角形叫做等边三角形。*有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形）*三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。*三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边。*推论：三角形两边的差小于第三边。*说明：判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可。*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的位置特点不同，需注意区分）*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。*三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。*三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。*三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。1.2与三角形有关的角*三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*推论1：直角三角形的两个锐角互余。*推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*三角形外角的性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角）。1.3多边形及其内角和*多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。*多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。*多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。*多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。*n边形从一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。*n边形共有n(n-3)/2条对角线。*正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。*多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°。*多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°。（与边数无关）第二章全等三角形全等三角形是研究图形性质的重要工具，通过全等可以证明线段相等、角相等，是后续学习的重要基础。2.1全等三角形*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。*全等三角形的性质：*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*（引申）全等三角形的对应边上的高、中线、对应角的平分线也相等。*（引申）全等三角形的周长相等，面积相等。2.2三角形全等的判定判定两个三角形全等，不需要验证所有边和角都对应相等，掌握以下基本事实和定理即可。*边边边（SSS）判定定理：三边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“边边边”或“SSS”)。*说明：此定理表明，只要三角形的三边长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原因。*边角边（SAS）判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)。*注意：这里的角必须是两条边的“夹角”，“边边角”（SSA）不能判定两个三角形一定全等。*角边角（ASA）判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“角边角”或“ASA”)。*角角边（AAS）判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(可以简写成“角角边”或“AAS”)。*斜边、直角边（HL）判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。*说明：此定理仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的全等判定方法。对于一般三角形，已知两边和其中一边的对角相等（SSA），不能保证全等。2.3角的平分线的性质角的平分线不仅平分角，还具有到角两边距离相等的性质，反之亦然。*角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。*几何语言描述：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。*角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。*几何语言描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。*三角形的角平分线：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（这个点就是三角形的内心，即内切圆的圆心）。第三章轴对称轴对称是一种重要的图形变换，利用轴对称可以解决一些最短路径问题，并能帮助我们更好地理解和研究等腰三角形等特殊图形。3.1轴对称*轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。*说明：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的有多条。*两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。*轴对称与轴对称图形的区别与联系：*区别：轴对称是指两个图形的位置关系；轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。*联系：都沿一条直线折叠后能够互相重合。如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴成轴对称。*轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*成轴对称的两个图形全等。*成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等。*线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。*线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。*线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。（这个点就是三角形的外心，即外接圆的圆心）。3.2画轴对称图形*画图形的对称轴：对于一个轴对称图形，只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴。*画轴对称图形：几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点、多边形顶点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。*步骤：1.确定原图形的关键点；2.分别作出这些关键点关于对称轴的对称点；3.按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形。3.3等腰三角形等腰三角形是一类特殊的三角形，具有许多独特的性质。*等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*等腰三角形的性质：*性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）。*性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（简写成“等腰三角形的三线合一”）。*说明：“三线合一”是等腰三角形的重要性质，在证明线段相等、角相等、垂直关系时非常有用。*等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）。*等边三角形：*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。*判定：*三条边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。*含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。*说明：此性质在解直角三角形时非常重要，要注意前提条件是“直角三角形”和“一个锐角是30°”。第四章整式的乘除与因式分解本章主要学习整式的乘法、除法运算以及因式分解，它们是代数运算的基础，在代数式的化简、求值、解方程等方面有广泛应用。4.1整式的乘法*同底数幂的乘法：am·an=am+n(m，n都是正整数)。*文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。*说明：此法则可以推广到多个同底数幂相乘。*幂的乘方：(am)n=amn(m，n都是正整数)。*文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。*积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)。*文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。*说明：此法则可以推广到多个因式的积的乘方。*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。*文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。*结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。*文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。*口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，中间符号看前方。*添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。（去括号法则的逆用）4.2整式的除法*同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)。*文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。*规定：a⁰=1(a≠0)。即任何不等于0的数的0次幂都等于1。*负整数指数幂：a⁻p=1/ap(a≠0，p是正整数)。即任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p次幂的倒数。*单项式除以单项式：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)。4.3因式分解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，它是代数式变形的重要手段。*因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。*说明：因式分解与整式乘法是互逆变形。例如，(a+b)(a-b)=a²-b²是整式乘