2025京改版初二（下）期末数学汇编：四边形章节综合（解答题）

2025北京初二（下）期末数学汇编

四边形章节综合（京改版）（解答题）2

一、解答题

1.（2025北京西城初二下期末）小高同学在学习“勾股定理'’时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的

证明思路和证明过程，具体如下.

制作学具：两张直角三角形纸片A8C和。£下，其中NAC8=NOFE=90。，BC=EF=a,

AC=DF=b（a</?）,AB=DE=c.

证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片。房的边打落在纸片A8C的边AC上，点£

与点。重合，连接A。、08得到囚边形AC8Z）,利用四边形ACBO的面枳的两种不同表示方法证明

=c2.

请根据小高同学的思路补全以下证明过程.

证明：如图，作£）GJ_C3,垂足为点G,设A8与CQ的交点为H,

:.^ABC=^DEF,

:.ZCAB=Z_f

♦;NFDE+ZACH=9(r,

ZC4B+_=90°,

/.Z4/7C=90°,

/.AB_LCD,

B网电形ACHD=S.ACB+S^DB=JxABx_+-xABx_=^-xABx_=^c2,

J乙乙J

NCFD=NFCB=ZG=90°,

・•・西边形/CG。为矩形，

.­.DG=FC=a,

..S四边形ACBD=ACD+S&l)CD=—xACx_+—xBCx_=_»

:.cr4-Z?2=c2.

2.（2025北京西城初二下期末）如图，在VABC中，点Z）,E分别是AC,人B的中点，连接DE并延长到

点、F,使DF=BC,连接B尸.

⑴求证：四边形BCD尸是平行四边形；

（2）连接BQ,FA,若30=6,求线段E4的长.

3.（2025北京西城初二下期末）已知：如图，NMAN.

求作：射线AC,使得AC平分NM4N.

作法：①在射线AM上取点8,以点人为圆心，线段人8的长为半径画孤，交射线AN于点。;

②分别以点8,点。为圆心，线段A8的长为半径画弧，两弧交于点C（不与点A重合），

③作射线AC.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

⑵完成卜面的证明.

证明：连接BGCD.

•/AH-AD-=,

••・四边形A3CO是（填“矩形”"菱形''或"正方形”）

（）（填推理的依据）

「.AC平分（）（填推理的依据）.

即AC平分/MAN.

4.（2025北京大兴初二下期末）在正方形A8CO中，将边A8绕点A逆时针旋转。（0＜。＜180）得到线段

AP（点产不与点。重合），连接QP.过点8作直线PD的垂线，垂足为点Q,连接/好，CQ.

（1）如图，当0＜av90时.

①依据题意补全图形，求/8/Y）的度数;

②用等式表示线段8Q,DQ,CQ的数量关系，并证明；

（2）当90＜。＜180时，直接用等式表示BQ,DQ,CQ的数量关系.

5.（2025北京大兴初二下期末）如图，在矩形ABCO中，点七，厂分别在A。，BC上,且

AE=CF^BEF是等边三角形.

（1）求证：四边形8也应是菱形；

⑵若线段AB=n,求菱形由7）石的边长.

6.（2025北京大兴初二下期末）下面是小明“作矩形AEW”的尺规作图过程.

已知：四边形AOC。是平行四边形.

求作：矩形AECF（点E在BC上，点”在4。上）.

作法：①以点A为圆心，A8长为半径作弧，交BC于点G；

②分别以点3和点G为圆心，A4长为半径作弧，两弧交于点”（点〃与点A在4C异侧）;

③连接4〃交BC于点E；

④以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点、F；

⑤连接CF.

则四边形4EC尸为所求作的矩形.

（1）根据作法补全图形，保留作图痕迹；

（2）根据小明的作法完成下面的证明.

证明：连接，8HG,AG.

•.•四边形A8CD是平行四边形，

/.AD//BC.

,/AF=EC,

二•四边形AEb是平行四边形.

,:AG=AB=HB=HG,

二四边形ABHG为,

•••Z4EC=90°,

二四边形AEC尸为矩形（）（填写推理依据）.

7.（2025北京大兴初二下期末）如图，在oA8C£）中，AC,BD交于点0,点E,尸在4。上，且

BE=DF，求证：AF=EC.

8.(2025北京朝阳初二下期末)如图，在VA4C中，4C8=90。，点。在8C边上(不与点8,。重

合)，四边形A/7m为正方形.

(1)直接写出NCQE与NCAE之间的数量关系；

(2)过点七作⑦_LAC,垂足为〃，求证：EH=CH；

(3)在(2)的条件下，连接。尸，用等式表示线段A”与C尸之间的数最关系，并证明.

9.(2()25北京朝阳初二下期末)在四边形A3CO中，AD〃BC,点、E在BC边上,AE=AD,过点。作

DF//AE,交的延长线于点尸.

⑴求证：四边形AEFD为菱形；

(2)连接AEDE交于点、G,若4D=5,OG=石，求"'的长.

10.(2025北京房山初二下期末)如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别在C。和AO上，AE=BF,

AE与M交于点G.

(1)判断AE与种'的位置关系并证明；

(2)连接AC,取4C中点。，连接。G.过点C作C”_LA£,交的延长线于点从

①依题意补全图形；

②用等式表示线段八G,OG.之间的数量关系，并证明.

11.（2025北京房山初二下期末）如图，在VA3C中，ZABC=90°,AO平分/3AC,ZACE=/BAD,

且E4_LA3.

⑴求证：四边形ADCE是平行四边形；

⑵若八8=3,BC=4,求AE的长.

12.（2025北京房山初二卜.期末）下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程.

已知：VABC.

求作：V/1KC的中线AO.

作法：①如图，以点8为圆心，AC长为半径作弧；以点。为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于BC下方

的点E；

②连接AE,与交于点。.则线段AO即为所求中线.

根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题：

（1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）宗成卜.面的证明过程.

证明：连接相，CE,

-：BE=AC,CE=ABt

••・四边形ABEC是形（）（填推理依据），

.:。为8c中点（）（填推理依据），

为V/tAC的中线.

13.（2025北京丰台初二下期末）如图，在正方形A8CO中，点E是线段8c上的一点（不与点8重合）,

AE1EN丁点、E,且A£=EV,MW_L6c交6c的延长线丁点M.

（1）求证：BE=MN；

（2）连接AC,加）交于点O,连接OE,DN,用等式表示QE与。N的数量关系，并证明.

14.（2025北京丰台初二下期末）已知：如图，ZMON.

求作：NA/ON的平分线.

作法：①以点。为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点44；

②分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点P（不与点。重合）;

③作射线。P.

射线OP即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接AP,BP.

•/OA=OB==，

，四边形。4尸8是（）（填推理的依据）.

「•射线OP是NMON的平分线（）（填推理的依据）.

15.（2025北京东城初二下期末）已知点〃为图形叱上一点，点N为图形叫上一点（M,N不重合），若

一点产能使得点M为线段NP的中点，则称点尸为图形1匕关于图形吗的“二倍点若图形W上每一点都

是图形I匕关于图形”的“二倍点”，且图形I匕关于图形”的“二倍点”都在图形W上，则图形W为图形性

关于图形％的“一倍图在平面直角坐标系中,点A（LO）,*Q2）,C（2,—1）,0（3,3）.

⑴在点E（3,0）,F（l,2）,中，点是点。关亍线段48的“二倍点”；

（2）若图形W为线段AB关于线段。。的“二倍图”，则图形W的面积为；

⑶点7（1，0）是x轴上一动点，正方形A444的各顶点坐标为A。-？），

Aiy-l-1）,4（f+LT），*+Ll）,线段AB上任一点都为正方形A4AM关于正方形］4点儿的“二倍

点”，直接写出，的取值范围.

16.（2025北京东城初二下期末）在正方形A8CD中，E为平面上一点（不与点4,C重合），^BE=AB,连

接AE,BE,CE.

（1）若E为正方形内一点，

①在图I中依题意补全图形，并求N4EC的度数；

②射线AE交CD于点”，点N在8c边上，CN=CM,连接EV,写出EM,EN，EC之间的数量关系,

并证明.

⑵如图2,当E为正方形外一点时，/C8E的平分线交射线4E于点尸，交CE于点G,若

AE=8,EF=2,直接写出A5的长.

17.（2025北京通州初二下期末）如图，菱形A8CD中，分别延长。、CB至点E、F,使4E=AC,

BF=BC,连结石尸.

⑴求证：△理（是等腰三角形：

（2）连结弧，若4c=4,EF=2S求跖的长.

18.（2025北京通州初二下期末）如图，在VA8C中，点E,r分别是48,AC的中点，连接所，EC,

4c。是VAAC的一个外角.

（1）用尺规完成作图：作NACO的角平分线CM,交E尸的延长线于点M,连接AM.（保留作图痕迹）

⑵在（1）所作的图形中，若CF=FE,求证：四边形AECM是矩形.

19.（2025北京延庆初二下期末）在平面直角坐标系/0v，中，对于点尸和线段MN,给出如下定义：

如果存在点Q,使得以MN为对角线的四边形尸MQN是平行四边形，则称点Q是点。关于线段MN的“关

联点”.已知A（0,l）,8（-1,0）,C（2J）,£＞（3,2）,£（-6,3）,F（l,0）,G（/n,l）.

(1)在点。，E,“中，点是点〃关于线段AC的“关联点”；

⑵求点0关于线段AC的“关联点”的坐标；

⑶若点/关于线段AG的“关联点”在的内部，直接写出，〃的取值范围.

20.(2025北京延庆初二下期末)如图，在正方形/仍CO中，E为对角线人C上一点，连接跖,

ZCTE=a(O°<a<45°),过点石作所_L随，交。。的延长线于点尸，交BC于点、G.

(1)求NCPE的大小(用含。的式子表示)；

(2)求证：BE=FE；

⑶连接"，点”是AF的中点，连接臼/，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段与。尸的数量关系，并证明.

21.(2025北京延庆初二下期末)如图，矩形48CO的对角线AC,8。交于点。，AE//BD,DE//AC.

⑴求证：四边形4%>£是菱形；

(2)若A8=6,AO=5,求菱形AOI陀的面枳.

22.(2025北京二中初二下期末)如图，在正方形A8CD中，E为BC上一点、(不与4C重合)，过点。作

C尸交4E延长线于点E连接8/，作DG_LR7交尸C的延长线于点G.

⑴补全图形并用等式表示线段"',C£A。的数量关系并证明；

⑵用等式表示线段BF与CG的数量关系并证明.

23.（2025北京二中初二下期末）如图，在VA3C中，AB=BC,过A点作8C的平行线与-WC的平分

（1）求证：四边形488是菱形；

⑵连接AC与8。交于点。，过点。作力E_L8C交BC的延长线于£点，连接EO,若EO=^,BE=4,

求CE的长.

24.（2025北京二中初二下期末）己知，如图，菱形人BCD的对角线AC、4。交于点O.

求作：矩形AOBE：

作法：①作AB的垂直平分线交AB于点色

②连接O”并延长，在。尸的延长线上截取点£,使所二09；

③连接AE,BE.

四边形AOBE为所求作的矩形.

⑴按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成以下证明：

证明：・・・43的垂直平分线交于点凡=

-EF=OF,・・・四边形AOBE是平行四边形，（）（填推理依据）

•・•四边形48co是菱形，

：.AC1BD,（）（填推理依据）

...Z4O3=90°,

••oAOBE是矩形.（）（填推理依据）

25.（2025北京朝阳初二卜期末）如图，oAACO中，点E在3c'上，点F在AD上，且A尸=C石.求证

AE=CF.

26.（2025北京平谷初二下期末）在正方形A3CO中，E为AO边上一点（不与点A,。重合），将线段CB

沿直线CE翻折，得到线段。尸，连接尸。并延长，与线段C石的延长线相交于点G,连接AG.

⑴依题意补全图形；

⑵求NCG77的度数；

（3）用等式表示线段AG与的数量关系，并证明.

27.（2025北京延庆初二下期末）如图，在oA8C£＞中，DEJ.AB,垂足为E,点尸在CO上，且

CF=AE.

28.（2025北京东城初二下期末）如图，四边形ABC。是平行四边形，点反尸分别在边BC、A。上，旦

BE=DF,连接AC、EF、AE.CF,AC与历相交于点P,求证：PA=PC.

29.（2025北京怀柔初二下期末）如图，在oA8C£）中，4c和8。相交于点O,E,产分别是Q4,OC的

中点.

求证：BE=DF.

DC

30.(2025北京怀柔初二下期末)如图，在四边形A8C。中，AB//DC,AB=AD,对角线4C,BD交

于点O,AC平分/84/),过点C作CESAB,交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形A8CO是菱形；

(2)若48=5,5。=6,求OE的长.

参考答案

I.FDE,ACH,CH,DH,CD,DF,DG.#+#

【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，全等三角形的判定利性质，矩形的判定和性质，作QG_LC4,

垂足为点G,设A4与C。的交点为“，由得NC4B=NFQE,进而可得NAHC=90。，得

到S四边形ACM=S.ACB+SaADB=¥'又由四边形FCGD为矩形得DG=FC=a,即得

S四边形Acm=Sje+S/m=g从+；/,即得到"十从素?，即可求证，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】证明：如图，作DG_LC8,垂足为点G,设A3与CO的交点为“，

VBC=EF,AC=DF,AB=DE,

:心ABC^QEF,

...NCAB=/FDE,

•.•NF£)E+ZAC〃=90°,

.-.ZC4B+ZACH=90o,

/.ZAHC=90°,

ABA.CD,

S四边形ACBD=SjcB+S.QB=-xABxCH+-xABxDH

22

=-xABxCD

2

1、

-c~

2

NCFD=4FCB=ZG=90°,

••・四边形R7GO为矩形,

.-.DG=FC=a,

S四边形ACBD=S.ACD+S&BCD=-xACxDF+-xBCxDG

22

1,1

=-b-2+-a~2

22

/.a2+b2=c2

故答案为：FDE,ACH,CH,DH、CD,DF,DG,+

2.（1）见解析

⑵KA=6

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定

与性质是解题的关键.

（1）证明。石是△A6C的中位线，得再由平行四边形的判定即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得进而证明再证明四边形A08/是平行四边形，然后由

平行四边形的性质即可得出结论.

【详解】（1）证明：,•,点。，E分别是AC，/W的中点，

.•.。石是^A8C的中位线，

..DE//I3C,

•;DF=BC,

四边形8c办是平行四边形；

（2）解：如图，连接8£>,

由（1）可知，四边形8C”"是平行四边形,

:.BF=CD,

•••点。是AC的中点，

AD=CD,

;.BF=AD,

二•四边形AO3”是平行四边形，

：.FA=BD=6,

即线段E4的长为6.

3.⑴见解析

（2）BGCD；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角

【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的

关键.

（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）连接8C,CQ由AB=AP=3C=CO,可得四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）,则

AC平分NBAD,（菱形的每一条对角线平分一组对角）

即可解答.

【详解】（1）解：作图如图所示.

N,

AM

（2）证明：连接8GCD,如图

•/AB=AD=I3C=CDt

.,.四［之形八ACQ是菱形.

（四条边相等的四边形是菱形）.

,47平分/84。

（菱形的每一条对角线平分一组对角）

即AC平分/MAN.

故答案为：BGCD：菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角

4.（1）①见解析，135。②（。。一82）2=2。。2

（2）［3Q_QQ）2=2CQZ

【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定

理，正确作出图形是解题的关键.

（1）①依据题意补全图形，有==求出乙4BP=NAP3=9（）o」a,

NAPO=NAOP=/a+45。，即可解答；②在。Q上截取=BQ,连接CM,令BC,DQ交点、为”,先

证明./BHQ+NHBQ=90。、NCDH+NCHD=90°,则NHBQ=NCDH.可得△BC-ZXQCM.推导出

/DCM=NBCQ,CQ=MC,NMCQ=90。，根据勾股定理，得"炉=。炉十。^,即可解答.

（2）当90<avl80时，在。。上截取。知=%?，连接CM,令BQ,DC交点、为H,

同理推导出△8CQ四△OCM,/MCQ=90。，根据勾股定理，可得例行=CQ?，即可解答.

【详解】（1）解：①当0<a<90时，如图，由旋转，得

/BAP=a,AB=AP,

・•・ZABP=ZAPB=-(180°-ZBAP)=90°--«,

22

;四边形A3c。是正方形，

:.AB=AD,ABAD=90",

/.乙DAP=90°-a,AD=APf

，ZAPD=ZADP=g(180。一ZDAP)=g。+45。，

:./BPD=/APB+ZAPD=135°.

答：-4。。的度数为135。.

②在。Q上截取OM=8Q,连接CM,令BC.DQ交苴为H,圻图

•・•四边形488是正方形，4。，。。于点。，

:./BQP=NBCD=90°,BC=CD,

・•・ABHQ+ZHBQ=90°,ZCDH+/CHD=90°,

/BHQ=NCHD,

・•・CHBQ=/CDH,

：.ABCQ^ADCM,

.•・4DCM=NBCQ,CQ=MC,

：./MCQ=/RCQ+/RCM=/DCM+/RCM=7DCR=90°,

：.MQ2=CQ2+CM2,

即(QQ-OM)2=CQ2+CQ2,

(DQ-BQ)2=2CQ2.

(2)当90<avl8。时，在。。上截取。M=3Q,连接CM,令BQ,DC交点、为H,如图,

•・•四边形4BCO是正方形，5。，。。于点。，

/.4BQP=NBCD=90°,BC=CD,

・•・ABHC+ZHBC=90°,ZHDQ+ZQHD=90°,

•/CBHC=/QHD,

，乙HBC=4QDH,

.•・△8C'Q空△OGW,

:.4DCM=ZBCQ,CQ=MC,

・•・ZMCQ=ZDCM-ZDCQ=ZQCB-ZDCQ=/BCD=90°,

.\MQ2=CQ2+CM2,

即(OM-DQ)2=CQ2+CQ~,

(8Q_QQ)2=2CQ2

5.⑴见解析

⑵2夜

【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，关键是掌握菱形的判定，菱形的性质；应用勾股

定理求解.

(1)由矩形的性质得到AO〃8C,AD=BC,而A£=b,因此AO—AE=8C—CF,得到。七二3/，即

可证明四边形8处是平行四边形，再由等边三角形的性质即可证明；

(2)根据等边三角形的性质得出“旗尸=60。，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求

解.

【详解】(1)证明：•.・四边形ABCO是矩形，

.二AD〃BC,AD=BC,

-AE=CF,

AD—AE=BC—CF,

:.DE=BF,

二•四边形BFDE是平行四边形，

•••△BEF是等边三角形,

:.BE=BF,

•••四边形是菱形；

(2)解：•・•△5律是等边三角形，

.•./瓦/'=60。，

••・四边形"CD是矩形，

.-.ZABF=^A=90°,

.•./4BE=30。，

：.AE=-BE,

2

-AE2+AB2=BE2^

AB=R,

+(X/6)2=BE2,

解得：BE=2叵，

・••菱形BFDE的边长为2夜.

6.（1）见解析

（2）菱形，AH,BG,有一个角是直角的平行四边形是矩形

【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作矩形，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判

定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

（1）利用矩形的判定定理进行尺规作图即可；

（2）根据平行四边形的性质，先判定四边形4ECF是平行四边形，再判定出四边形为菱形，利用

菱形的性质得出直角，然后根据矩形的定义即可得出结论.

【详解】（1）解：四边形艮J为所求；

/.AD//BC.

AF=EC,

，四边形AECF是平行四边形.

AG=AB=HB=HG,

四边形为菱形，

AAH上BG,

:Z4EC=90°,

二四边形4EC尸为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

7.证明见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键.先根据平

行四边形的性质可得==从而可得。£=。产，再证出四边形AACE是平行四边形，根据平

行四边形的性质即可得证.

【详解】证明：•・•四功形ABC。是平行四边形，

OA=OC、OB=OD,

,:BE=DF,

：・OB-BE=OD-DF,即=

・•・ACM互相平分，

・•・四边形是平行四边形，

・•・AF=EC.

8.(1)ZCD£1=ZC4E；

⑵见解析；

3CF=6AH,证明见解析.

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解

题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

(1)根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果；

(2)作EWJ.3C,交8C的延长线于点根据正方形的性质得出AE=D£NAEO=90。，再由矩形的判

定和性质及全等三角形的判定和性质证明即可；

(3)作在N_LAC于点N,根据正方形的性质及勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：/CDE=/CAE；理由如下：

F

VZACT=90°,四边形为正方形.

・•・=/=90。，

/AME=NCMD,

/CDE=/CAE

(2)证明：如图，作交BC的延长线于点M

F

\EH±AC,

:.ZAHE=ZDME=90°

•.•四边形八中£为正方形，

二.AE=DE,ZAED=90。

设ACOE交于点G,

:.ZAGE=^CGD

vZACB=90°,

••・四边形CME”为矩形

ZAGE+ZC4E=ZCDE+ZCGD=90°

/.NCAE=NCDE

:.^AHE=iJ)ME

EH=EM

矩形CM£H为正方形

:.EH=CH；

(3)CF=41AH

证明：如图，作方N_L4c于点N.

:.ZAHE=/FNA=90。

•.•四边形4H^为正方形，

/.AF=AE,ZEAF=90°

:.ZAEH+ZEAH=ZFAN+AEAH=9(r

ZAEH=/FAN

:.&AEH^FAN

：.AH=FN,AN=EH

•••EH=CH,

:.AN=CH

/.AH=FN=CN

在RIACFN中,根据勾股定理得C/=&FN

CF=41AH

9.(1)见解析

⑵4石

【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答

的关键.

(1)先证明四边形AEF。是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；

(2)由菱形的性质得到4尸=2AG,AF_LOE,然后利用勾股定理求得4G=2石即可求解.

【详解】(1)证明：-AD//BC,

..AD//EF,

\'AE//DF,

二•四边形是平行四边形.

,/AE=AD,

・•・平行四边形AE五。是菱形；

(2)解：•「四边形•力是菱形，

AF=2AG,AFlDEt

.-.ZAGD=90°.

在心AAGO中，AD=5,DG=«,

根据勾股定理，得AG=JA/Z-心=26，

:.AF=2AG=4y/5.

AD

/\yu\\

BECF

10.(1)AE_LA产，见解析

(2)①图见解析；②GH-AG=6OG，见解析

【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作

出辅助线.

(1)通过证明RLA£^gR^QAE(HL),得出=再由各角之间的关系即可求解：

(2)①根据题意补全图形即可；

②取O”的中点。连接07,过点。作OM_L8G,根据全等三角形的判定和性质得出

△8MO@~4丁5AAS),再由正方形的判定和性质得出四边形OWG7为正方形，确定2007=451再由勾

股定理确定OT=GT=ZG,然后结合图形求解即司二

【洋解】(1)解：•••四边形ABCZ)为正方形,

AB=AD,ZBAF=NO=90°,

VAE=BF,

・•・R%A8/运RSD4E（HL）,

・•・ZABF=AEAD,

'：乙44尸+NA依=90°,

；・ZE4D+ZAF5=90°,

，ZAGF=90°,

-\AEA-BF；

（2）解：①根据题意补全图形如图所示:

②取A”的中点。连接。丁，过点。作OM_L8G,如图所示：

根据题意得：NBGr=NGMO=90。,

TA，的中点7；AC的中点O,

/.OT//CH,AT=TH,

:.0T±AH,

・•・四边形0MG7为矩形，

•••正方形ABC。，

Z.BO=AO,ZABO=NOAD=45°,

:.COBM=4)AT,

'：/8WO=/A7'O=90。，

...AB/VI0^A4TO(AAS),

：・0M=0T,

・•・四边形0MG7为正方形，

/.NOGT=45。,

：.^OGT=^GOT=45°.

历

，OT=GT=—OG,

2

GT=AT-AG=TH-AG=GH-TG-AGf

,2GT=GH-AG=五OG.

11.(1)证明见解析

呜

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，相似三角形的判定

和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

（1）利用同旁内角互补两直线平行得出A£〃4C,利用角平分线的性质及等量代换得出

ZCAD=ZACE,利用内错角相等两直线平行得出CE〃/V）,利用两组对边分别平行即可得出平行四边

形；

（2）过点。作。E1AC交AC于点尸，利用角平分线的性质和平行四边形的性质得出相等的边，假设

C£>=AE=.Y,则。尸=4力=4-x,判定出△NCs&wc,利用相似三角形的性质得出g=空，最后求

ACAB

解即可.

【详解】（1）证明：・・・£4_148,

.•.Z£45=90°,

:.ZEAB+ZABC=\m

：.AE//BC,

•・•AO平分28人C,

/.^CAD=ZBAD,

又ZACE=ZBAD,

:.ACAD=ZACEt

:.CE\\AD,

，四边形ADCE是平行四边形；

(2)解：如图，过点。作。/14c交AC于点尸,

又7A。平分NB4C,ZABC=90°,

:・DF=BD,

由（1）得四边形人叱是平行四边形,

：.CD=AEf

假设8=AE=x,则。/=8。=4一工，

由勾股定埋得，AC={AB、BC2=5,

,**SjCD+SjBD=SjBC，

.5(47)3(4-X)_3X4

222

解得x=g,

/.AE=-.

12.(1)见解析

(2)见解析

【分析】题目主要考查基本作图及平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这叫知识点是解题关

键.

(1)根据题意作图即可；

(2)根据题中证明过程结合平行四边形的判定和性质即可证明.

【详解】(1)解：如图所示即为所求；

(2)证明：连接跖，CE,

-BE=AC,CE=AB,

.•.四边形八AEC是平行四边形形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形〉，

二。为8C中点(平行四边形的对角线互相平分)，

/.为VA8C的中线.

13.(1)见解析

Q)DN=OOE,证明见解析

【分析】(1)依题意得N8=NM=90。，证明N8A£=NMEN,进而依据AAS判定^川?石和△£3可全等，

再根据全等三角形的性质即可得出结论；

(2)过点N作八。_1_8于点P,连接OP,EP,证明四边形MATC是正方形得

MN=PN=CP=CM=BE,进而依据SAS判定△OBE和△OCP全等得OE=OP,/BOE=NCOP,再证

明NEOP=90。得a0律是等腰直角三角形，由勾股定理得成=,。零+。尸=血用，再证明ACEP和

公PDN全等得EP=DN,由此即可得出OE与DN的数量关系.

【详解】(1)证明：在正方形48CO中，?B90?,AB=BC=CD,

*/NM1.BC,

.•・ZB=ZM=90°,

工NBAE+ZAEB=90。,

VAEA.EN,且AE=EN,

/.乙M£B+NMEN=9()。,

/./BAE=/MEN,

/B=/M=90。

在&A3E和△EMN中，＜NBAE=ZMEN,

AE=EN

：MABMAEMN(AAS),

:.BE=MN；

(2)解:OE与£W的数量关系是：DN=0OE，证明如下:

过点N作NPJ_C。于点P,连接OP,EP,如图所示：

，NNPC=NM7>=90。，

在正方形人AC。中，OB=OC,OBA.OC.NOBE=NOCP=45。,NBCD=90。,

工乙NPC=/PCM=ZM=90°,

・•・四边形MNPC是矩形，

由(1)可知：△ABNAEMN,

:.AR=EM=RC,BE=MN,

JEC+CM=BE+EC,

:,CM=BE=MN,

•••矩形MNPC是正方形，

:・MN=PN=CP=CM=BE,

OB=OC

在丛OBE和△OCP中,-NOBE=Z.OCP,

BE=CP

・LOBE%OCP(SAS),

：.OE=OP,NBOE=NCOP,

,：OB1OC,

・•・ZBOE+ZEOC=9()0,

:.JCOP+NEOC=90°,

即ZEOP=90°,

・•・AO律是等腰直角三角形，

由勾股定理得：EP=y]OE2+OP2=-J1OE，

,:BC=CD,

，BE+EC=CP+DP,

*/BE=CP,

/.EC=DP,

EC=DP

在NCEP和4PDN中,，匕PCE-NN/。-90°,

CP=PN

：.么CE咤APDN（SAS）,

:.EP=DN,

•••DN=yf2OE.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性

质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关犍.

14.⑴见解析

（2）4/>,PB,菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分一组对角

【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

（1）根据要求作出图形；

（2）证明四边形Q4P8是菱形即可.

【详解】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：连接AP,BP.

♦：OA=OB=AP=PB,

・•・四边形0AP8是菱形（四边相等的四边形是菱形），

工射线OP是NMON的平分线（菱形的对角线平分一组对角）.

故答案为：”，PB,菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分一组对角.

15.（1）F

⑵12

（3）-24或2W

【分析】（1）先求出直线A8的解析式为），=-21+2,根据题意可知：若点尸是点。关于线段A8的“二倍

点”，则OP的中点在线段A8上，再分别验证OE,OF、OG的中点是否在线段AB上即可；

（2）根据题意推导图形W是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可；

（3）根据题意可知正方形AAA4关于正方形A&A3Ad的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正

方形A4AA共对角线的交点即点「且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形

44&A.的内部所得到的.分别求出四个临界情况时，的值，从而得解.

【详解】（1）解：设直线A6的解析式是：y—2b,

将点A,8的坐标代入解析式得:

%+〃=0k=-2

解得：

\b=2b=2

・•・直线A8的解析式是：y=-2x+2,

由题意可知：若点P是点。关于线段48的“二倍点则。尸的中点在线段A8上,

对于点E（3,0）,OE的中点是：点停。），

3

当%=1时，），=-2X+2=-IHO,

,3、

・••点钟。不在线段48上，即点后（3,0）不是点。关于线段A8的“二倍点”；

IZ/

同理•：。”的中点（提1）在线段A8上，即点尸（1,2）是点。关于线段48的“二倍点”;

OG的中点（J1）不在线段A4上，即点G（g,2）不是点0关于线段A4的“二倍点”；

故答案为：F；

（2）解：由题意可知：如下图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的第三边，下图中

点。关于线段/W的“二倍图''即为C。，此时人4是三角形08的中位线，

由中位线定理可知：AB=^CDf即当A3长度不变时，CO的长度不变，

・••线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形,

如卜图所示，图形W为线段AB关于线段CO的“二倍图”是平行四边形EF”G,

其中点A关于线段CD的“二倍图”是EG,点8关于线段CO的“二倍图”是FH,

则C是AG的中点，设点G为（x,y）,

又・..A(1,O),C(2,-l),

4=2”T

22

解得：x=3,y=-2,即G(3,-2),

同理可得：E(5,6),F(6,4),“(4,T),

・•・阴影部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积，

即图形W的面积为：5=3x10-2x1x2x1-2x1x8x2=12,

22

故答案为：12；

(3)-2<r<-^-nR2</<3,理由如下：

如下图所示：正方形的边长为2.

正方形A&&A关于正方形A4A4的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形A4&a共对

角线的交点即点7且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形444A的内部所得到

的.

所以点7到阴影部分的外边界与X轴的交点的距离是3,到阴影部分的内边界与x轴的交点的距离是1,

要使得线段AB上任一点都为正方形AA2A关于正方形AA244的“二倍点”，只需阴影部分包括线段AB

即可.

①如图，当外边界与x轴的右交点是点A时，AT=3,

所以f=l-3=—2,

②如图，当点儿与在线段人A上时，

将点儿，代入直线的解析式得：1=-2。+1)+2,

解得：i—~~，

Ai

Ai

③如图，当内边界与x轴的左交点是点A时，AT=\,

所以/=1+1=2,

④如图，当点8与在阴影部分的左边界线上时，OT=t=3

结合以上四种情况可知：，的取值范围是：或2W/W3.

【点睛】本题考查中位线定理，中点坐标公式，正方形的性质，割补法求面积，待定系数法，平行四边形

的判定等知识，审清题意找出“二倍图”是解题的关键.

16.(1)®ZA£C=135°；②EN+EM=6CE，理由见解析

(2)AB=2石

【分析】(1)①先画出图形，利用等边对等角得到N8EC=180。-：。班：,/8£4=180°-/跖,两式子相

加，结合NC8E+ZABE=90。即可得解：

②作出图形，并将△CME绕着点。逆时针旋转90。，则NM反』NPC,证明NNPC=NEPC=45。，得到

点E、N、。三点共线，再利用是等腰直角三角形即可得解.

⑵过点B作伙2_LAE于点Q,则AQ=EQ=gAE=4,EQ=EQ-EF=2,三线合一得到8G_LCE,

与(1)①同理可得N4£C=45。得到NMQ-NEFG-4EC-45。-NMQ,继而求出月Q,最后用勾股定

理求解即可.

【详解】(1)解：①依题意画图如卜:

则ZABC=90°,

I8O0-NCBEI8O0-NAB£

工BEC=，/BEA

~2~—

18。〜CB”8。。“跖

/AEC=NBEC+NBEA

J/AEC=180°-^(NCBE+NABE)=180°-^x90°=135°；

②EN+EM=®CE，理由如下：

作出图形图下，并将△GWE绕着点C逆时针旋转90。，

连接MN、EP,由CM=CN可知点M旋转到点N处，

•••ZEPC=45°,

由①可知：Z4EC=135°,则NMEC=1800-ZAEC=45。,

:.Z?/PC=ZEPC=45°,

・••点£、N、尸三点共线,

VCE=CP,ZPCE=90°,

EP=6CE,

•**EN+EM=EN+NP=EP=6cE•

(2)AB=2«,理由如下:

过点8作8Q_L4E于点Q,

同理：AB=BC=BE,ZABC=90。,

180。一NC4E1800-NABE

ZBEC=4BEA=

~T~7.

180°-NCBE180。-/ABE

ZAEC=ZBEC-ZBEA=

22

・•・=g(ZABE-NCBE)=gx90。=45°；

又•:AB=BE,

：.A()=EQ=^AE=4,

・•・FQ=EQ—EF=2,

,:BC=BE,NCBE的平分线交射线AE于点厂,

/.BGtCE,

XVZAEC=45°,

・•・CBFQ=乙EFG=ZAEC=45°=NFBQ,

.・.BQ=FQ=2,

AB=JAQ2+BQ?=2亚.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，止方形的性质和全等三角形的综合问题等知识，

难度较大，正确作出辅助线是解题的关键.

17.⑴见解析

(2)BE=y/31

【分析】本题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理：

(1)根据菱形的性质以及三角形中位线定理可得/五EC=NRX,即可求证；

(2)根据三角形中位线定理可得AB=!M=逐，再由菱形的性质可得AC上30,且AO=：4C=2.在

22

RUAOA中，根据勾股定理可得08=1,然后在RL80E中，根据勾股定理解答即可.

【详解】(1)证明：•・•四边形48co是菱形，

/.AB=BC.

・•・ZBAC=ZBCA.

VAE=AC,BF=BC,

JAB//EF.

，/FEC=/BAC.

:.^FEC=ZFCA.

，FE=FC.

••・AEFC是等腰三角形.

（2）解：连结3。交4c于点。,

VAE=AC,BF=BC,EF=2&

・•・AB=-EF=>/5.

2

•・•四边形A3CO是菱形，47=4,

AAC-LI3D,且AO」AC=2.

2

，在RtaAOB中，OB=>JAB2-O^=^（V5）2-22=1,

・••在R^BOE中，BEny/oE?+OB?=《62+12=历.

18.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了角平分线的性

质、三角形中位线定理.、平行四边形的