2026年中考数学：圆的相关概念和基本性质（知识解读+例题讲义）原卷版

第26讲圆的相关概念和基本性质

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知识点1：圆的定义及性质

知识点2：圆的有关概念

知识点3：垂径定理及应用

知识点4：圆心角和圆周角的相关概念

知识点5：圆内接四边形

M知识梳理

知识点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的--个端点0旋转--周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到•个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴：

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作靠，读作圆

弧AB或弧ABo

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。«

劣弧的概念：小于半圆的孤叫做劣弧“

知识点3：垂径定理及应用

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论L1）平分弦（不是直径）的直径垂直「弦，并且平分弦所对的两条弧;

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的•条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另•条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rta,用勾股，求长度:

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

垂径定理的应用：经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

知识点4：圆心角和圆周角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角，

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量

相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对为圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即；圆周角=；

圆心角）

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

知识点5：圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外带等于它的内对角。

即：在。O中，•・•四边43co是内接四边形

ZC+ABAD=180°N8+NO=180°

/DAE=ZC

F7题型精讲

【题型1圆的基本概念与辨析】

【典例1】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④

长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不•定是半圆.其中正确的说法有：）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1】如图，48是C。的直径，点。、。在。0上，ZBOC=116。，ADWC,乙力。。的

度数为（）

【变式2】如图，.4,B,C三点在。0上，若。川|CB,LC=40°,则乙4的度数是（）

A.140°B.90°C.70°D.60°

【变式3】下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦

B.圆是轴对称图形，任何•条直径都是圆的对称轴

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.等弧所对的弦必相等

【题型2垂径定理】

【典例2】如图，力B是C。的弦，半径0C148于点＞若48=8,。。=5.则。。的长是

（）

c

5

A.3B.2c.6D.2

【变式1】如图，在。。中，弦力B的长为8,圆心。至此B的距离0E=4,则。。的半径长

为（）

A.4B.4V2CC.5D.5V2

【变式2】如图，圆形拱门最下端4?在地面上。为45的中点，C为拱门最高点，线段C。经

过拱门所在圆的圆心，若力B=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

G

■合七二一一二，

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【变式3】工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）

所示的工件槽，其两个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图

（1）所示的小B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及.4、B、

E三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，力3是的弦，CQ切。。于

点£,ACLCD.BDLCD,若8=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为（）

图⑴图(2)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【题型3圆心角和圆周角】

【典例3］如图，已知点4、B、C在0。上,C为筋的中点.若NBAC=35。，则N40B等于

()

【变式1】如图，点4B,C在。。上，若乙。二64。，则24=（）

A.16°B.32°C.48°D.64°

【变式2】如图，AC,8c为。0的弦，连接04OB,0C.若=40。/。。4=30。,

则NBC。的度数为（）

A.40°B.45°D.55°

【变式3】如图，是C。的直径，NB4c=50。，则ND=（）

A.20°B.40°D.80°

【题型4圆内接四边形】

【典例4】如图，已知四边形/BCD是。。的内接四边形,E为延长线上一点，-1。。=128°,

则乙。DE等于（）

A.64°B.60°D.52°

【变式1】如图,四边形48co内接于。。，AB=BC,连接80,若N/BC=70%则480C

的度数为（)

A.20°B.35°D.70°

【变式3】如图，圆内接四边形A8CD中，LBCD=105°,连接08,OC,OD,BD,

（BOC=2（COD.贝I」乙CBD的度数是（）

A.25°B.D.40°

M随堂检测

1.下列各项命题中，属于真命题的是（）

A.相等的弦，所对的圆周角相等

B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长

C,相等的圆心角所对的弦相等

D.相等的弧，所对的弦相等

2.如图，。。中，为弦，OC为半径，且0C14B于点＞若4B4C=32。，则N/L4。的度

数为（）

A.28°B.26°C.25°D.24°

3.如图，。。的直径力8=4,半径。C148,点。是弧BC上的一个动点，DELOC,

DF1AB,垂足分别是E、F,则EF长（）

A.变大B.变小C.先变小，再变大D.不变，始终等于2

5.如图，点4B,C在0。上，点C是劣弧而的中点，若“0B=160。，则484c的度数是

6.如图，48是。。的直径，若NE=30。，则-1。0的度数为（）

7.如图，4?是半圆。的直径，C,D,£三点依次在半圆。上，若乙。=140。，则乙£的度

数为（）

D

cE

AB

A.110°B.120°C.130°D.140°

8.如图，四边形ABCD内接于。。，AB=AC,AB\\CD,乙B=70°,连接AC,则皿。的度

数为（）

A.25°B.28°D.35。

9.如图，点。在△ABC的边BC上，AC=OC,Z-C=36°,以0为圆心。4为半径的圆交,48于

点。，且80=。4则ZB的度数是

10.如图，四边形ABCD内接于O。，48为直径，BC=CD,连接Z1C.若NO4B=40。，则N。

的度数为

11.一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直

径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的

上下边沿分别与杯口相交于力，B,C,。四点，利用刻度尺量得该纸条宽为4.2cm