湖南省永州市零陵区2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

数学

本试卷满分120分，考试时间120分钟，本试卷共有三道大题，24个小题.如有缺页，考生须

声明.

一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）

1.下列各数中，属于无理数的是（）

A.3.14B.72C.我D.1

2.在2026年5月执行的神舟二十一号任务中，精密机械臂与空间站的“对接环''设计至关重要，为了保证受

力均匀，这些组件常采用对称设计.下列图形中,

3.下列计算不正确的是（）

A.Q2./=Q5B.(2/y=

C.（a+l）2=/+iD.(a+l)(a-l)=a2-1

4.若〃?<〃，则下列不等式成立的是（）

--mn

A.+1>〃+1B.m-5>n-5C.—3〃7V—3〃D.一<—

55

5.下列调查中，最适合采用全面调查的是（

A.了解一大批炮弹的杀伤力B.调查一大批产品的使用寿命

C.旅客登机前的安检D.调查我市中小学生视力情况

6.若］+〃=8，=2，则优的值为（）

A.6B.4C.2D.-2

7.如图，将-A3C绕点。顺时针旋转80。变为A。斯，则卜.列说法不一定正确的是（）

A.AB=DEB.ZCAB=ZFDEC.ZAOD=80°D.AB//DF

8.若是关于x的一元一次不等式，则机的值为（）

A.-1B.-3C.-2D.-3或-1

9.如图，点。在直线机上移动，A,4是直线〃上的两个定点，直线〃?〃〃.对于下列各值，不会随点~的

移动而变化的是（）

A.NAPB的大小B.线段Q4的长度C.,..A依的周长D.小总的面积

10.如图，已知AB〃CD.将一副直角三角板投放在两条平行线之间，其中ZEG/=90。，NGEF=60。，

ZGFE=30°，ZMPN=骄,/PMN=/PNM=45。,使三角板EFG的顶点E落在直线A8上，三角

板PMN的边MV落在直线C。上，并且边G/、PN在一条直线上，则N8M的度数为（）

AEB

A.75°B.80°C.85°D.88°

二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）

11.25的算术平方根是.

12.已知（x-3）（x+2）=x24-/?u--6,则〃?的值为.

13.为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校30（X）名学生中随机抽取2（X）名学生进行

调查，该问题中样本容量是.

14.若关于x的不等式（利-2）%〈6—2的解集为1>1,则〃?的取值范围是.

15.如图，直线〃?〃〃，点A、8、。在直线机上，点C在直线〃上，且NACB=90。，CDLAB,AB=5,

BC=4,AC=3,则直线机与直线〃的距高为.

D力

16.仔细观察,探窕规律：(x-l)(x+l)=x2-l,(x-l)(x2+x+l)=x3-l,

324

(X-1)(X+X+X+1)=X-1,(工一1)(丁+/+Y+X+])=R5则算式

2。十2|十2,十2,十2"十一十2加4+2^+2WA值的个位数字是.

三、解答题(本大题共8个小题，共72分,17-20每小题8分，21-22每小题9分，23小题

10分，24小题12分.解答题要求写出证明步骤或解答过程)

4x-7<5

17.解不等式组：\-2x+\八，并把解集在数轴上表示出来.

-------<2+x

3

-4-3-2-101234

18.先化简，再求值：(a-3『+(4+l)(a-l)-2a(a-2),其中〃=一2.

19.把卜・列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据.

如图，已知ABCD,zi=Z2,试说明：4MlicN.

解：因为||CO()

所以()

又因为N1=N2

所以=()

即________

所以AM|CN()

20.为增强师生的国家安全意识，株洲某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、&C、

。四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：

根据图中提供的信息，回答下列问题:

(1)求参加知识竞赛的学生共有多少人？

(2)把条形统计图补充完整.

(3)扇形统计图中，机=,C等级对应的圆心角为度.

21.如图1,和,D瓦'的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点

三角形

(1)在图1的3x3正方形网格中，格点二ABC和格点,Z应/关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴.

(2)请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与二ABC成轴对称的格点.DEF.

(3)请在图3中画出-ABC绕C点顺时针旋转90后得到的格点△AEC.

22.2026年“湘BA”(湖南省篮球联赛)期间，某日永州队客场作战，永州啦啦队需要租用客车前往客场

为永州队加油，计划-共租用10辆大、小两种客车.已知大客车每辆最多坐60名乘客，小客车每辆最多坐

40名乘客；大客车租金每辆1000元，小客车租金每辆600元.

(1)本次前往客场的啦啦队员一共有500人，求至少要租多少辆大客车？

(2)在(1)的条件下，租车总费用不能超过8600元，一共有几种租车方案？

23.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，

则称这三个数为“完全数组”.这些算术平方根称为“完全子集例如：-2，-8,-18这三个数，

7(-2)x(-8)=4,7(-2)X(-18)=6,J(一8)x(-18)=12,其结果4,6,12都是整数，所以—2，—8,

-18这三个数是“完全数组”，而4,6，12称为“完全子集”.

(1)-9,-bT这三个数是“完全数组”吗？请说明理由.

(2)若=1,a,一16这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12,求〃的值.

24.某学习小组总结归纳了一种方法：对于平行线中的拐点问题，可以通过过拐点作平行线，再运用平行线

的性质来解决问题，请你利用这个方法解决以下问题：

已知直线点E、厂分别在直线A3、CDk,连接PE、PF.

(1)如图1，点P在AB、CO之间，若/AEP=30。，NC抨=60。，则NEPF=:请归纳总

结/EPF、NAEP和NC户?之间的数量关系，并加以证明：

【学以致用】

(2)如图2,点尸、。在A3、CZ)之间，QE平分NAEP，QF平分NCFP,若NEPF=110。，求NEQF

的度数；

【深入探究】

(3)如图3,点尸、。在CO下方，QE平分/AEP，QF平分NCFP,若/EQF=35。，求NEPF的

度数.

数学

本试卷满分120分，考试时间120分钟，本试卷共有三道大题，24个小题.如有缺页，考生须

声明.

一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）

1.下列各数中，属于无理数的是（）

A.3.14B.72C.我D.1

答案：B

解析：

思路：根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称逐项判断即可.

解答过程：解：•・•3.14是有限小数，属于有理数，选项A不符合题意；

•・•拉是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，选项B符合题意；

,:际=2.2是整数，属于有理数,选项C不符合题意：

•・•；是分数，属于有理数，选项D不符合题意.

2.在2026年5月执行的神舟二十一号任务中，精密机械臂与空间站的“对接环''设计至关重要，为了保证受

力均匀，这些组件常采用对称设计.下列图形中，属于轴对称图形的是（）

解析：

思路：根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行排除选项

即可.

解答过程：解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；

B、不是轴对称图形，故不符合题意；

C、是轴对称图形，故符合题意；

D、不是轴对称图形，故不符合题意.

3.下列计算不正确的是（）

235236

A.a-a=aB.（2a）=8f/

C.+1D.（«+l）（6Z-l）=672-1

答案：C

解析：

解答过程：解：选项A:•・•同底数幕相乘，底数不变，指数相加，・・・42.々3=/+3=/,计算正确，故本

选项不符合题意；

选项B：•・,积的乘方等于各因式分别乘方，鬲的乘方底数不变指数相乘，・・・（2/7=23.（"）*=8〃6,计

算正确，故本选项不符合题意；

选项C：・・•根据完全平方公式展开得（a+l）2=/+2.a.]+12=a2+2。+],.・.（。+]）2wa2+],计算不

正确，故本选项符合题意；

选项D:•・•根据平方差公式计算得（〃+1）（。-1）=。2-12=々2-],计算正确，故本选项不符合题意.

4.若〃〃，则下列不等式成立的是（）

A.+1B.m-5>n-5C.-3〃7V-3〃D.—<—

55

答案：D

解析：

思路：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正

数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

解答过程：解:A、不等式两边同时加1，不等号方向不变，得加++选项错误；

B、不等式两边同时减5,不等号方向不变，得机-5〈〃一5,选项错误；

C、不等式两边同时乘-3,不等号方向改变，得-3相>-3〃，选项错误；

D、不等式两边同时除以正数5,不等号方向不变，得葭<弓，选项正确.

5.下列调查中，最适合采用全面调查的是（）

A.了解一大批炮弹的杀伤力B.调查一大批产品的使用寿命

C.旅客登机前的安检D.调查我市中小学生视力情况

答案：C

解析：

思路：本题考查全面调查与抽样调杳的适用场景，根据调查是否具有破坏性，范围大小以及准确性要求，

即可判断适合的调查方式.

解答过程：解：全面调查适用于调查范围较小，调查不具有破坏性，且对结果准确性要求高的场景，抽样

调查适用于范围较大或调查具有破坏性的场景，

A选项调查炮弹杀伤力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；

B选项调杳产品使用寿命，调查都会破坏调查对象，适合抽样调查，故本选项不符合题意；

C选项旅客登机安检关系公共安全，需要对所有旅客检查，必须采用全面调查，故本选项符合题意;

D选项我市中小学生数量多，调查范围大，适合抽样调查，故本选项不符合题意.

6.若"计〃=8，，'=2,则优的值为（）

A.6B.4C.2D.-2

答案：B

解析：

思路：利用同底数幕相乘，底数不变，指数相加的性质，变形即可求出优的值.

解答过程：解：根据同底数幕乘法法则，可得""+"=4〃'七〃，

•・•""+"=8，""=2,

・•・8=2d，

・•・屋=8+2=4，

7.如图，将一A3C绕点。顺时针旋转80。变为△£）七厂，则下列说法不一定正确的是（）

A.AB=DEB.ZCAB=ZFDEC.ZAOD=80°D.AB//DF

答案：D

解析：

思路：本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键.

解答过程：解：由旋转的性质可得：AB=DE，NCAB=NFDE,NAO力=80。，故ABC正确；

而,4〃与DF不一定平行，故D不一定正确，

故选：D.

8.若（m+DJM+Z+dvO是关于x的一元一次不等式，则机的值为（）

A.-lB.-3C.-2口.-3或-1

答案：B

解析：

思路：利用一元一次不等式的定义判断即可确定出〃，的值.含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式,

叫做一元一次不等式.

解答过程：解：•・・（帆+1）业"+2|+4<0,

二"7+100且|相+2|=1,

解得机=-3.

故选：B.

方法提示：本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键.

9.如图，点P在直线机上移动，A,B是直线〃上的两个定点，直线相〃〃.对于下列各值，不会随点P的

移动而变化的是（）

A./A尸8的大小B.线段Q4的长度C.尸3的周长D.的面积

答案：D

解析：

思路：本题考:g平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点。的移动，点P到A3的距

离不变，即可得出.的面积不变，判断即可.

解答过程：解：•・•直线加〃〃，点尸在直线加上移动，

・••点尸与直线〃的距离保持不变，

VX,8是直线〃上的两个定点，

・••点P到的距离不变，

・•・,八。8的面积不变，故D正确；

NAPB的大小,线段Q4的长度，△人依的周长都随着点P的移动而变化；

故选D.

10.如图，已知AB〃C”将一副直角三角板摆放在两条平行线之间，其中NEG/=90。，ZGEF=60°,

NGEE=30。，NM/>N=90。，NPMN=4PNM=45°,使三角板EFG的顶点E1落在直线A8上，三角

板PMN的边MV落在宜线CO上，并且边G/、PN在一条直线上，则N跳产的度数为（）

AEB

B.80°C.85°D.88°

答案：A

解析:

思路：过点G作GH〃A5,由平行线的性质得出NNG”=NPMW=45。，NAEG=NEGH=45。,

再根据平角求解即可.

解答过程：解：如图，过点G作

VAB//CD,

:.AB//CD//GH,

:.ANGH=ZPNM=45°,NAEG=4EGH,

•.zEGF=9O°,

AEGH=ZEGF-/NGH=45°，

/.ZAEG=45°,

•/ZGEF=60°,

ZBE尸=180°-NGEF-ZAEG=180°-60°-45°=75。.

二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）

11.25的算术平方根是.

答案：5

解析：

思路：根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根.

解答过程：解：•・•52=25,

・・・25的算术平方根是5,

故答案为：5.

方法提示：题FI主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键.

12.已知（x-3）（x+2）=x2+//ix-6,则用的值为.

答案：-1

解析:

思路：利用多项式乘以多项式法则计算（工一3乂3+2）=%2一工一6,从而得出m=-1.

解答过程：解：V（x-3）（x+2）=x2-x-6=x2+/nv-6,

故答案为：-1.

方法提示：本题主要考查了整式乘法的运算，正确计算出（1一3）（3+2）二%2一工一6,是解题的关键.

13.为了检验学生对防溺水“七不两会”的掌握情况，某学校从全校3000名学生中随机抽取200名学生进行

调查，该问题中样本容量是.

答案：200

解析：

解答过程：解：根据统计相关概念，样本容最是指样本中包含的个体数量，

V从全校3000名学生中随机抽取200名学生进行调查，

因此样本容量为200.

14.若关于x的不等式（m-2）%〈加一2的解集为x>l,则机的取值范围是.

答案：m<2

解析：

思路：根据不等式解集的不等号方向变化，判断未知数系数的正负，即可求出机的取值范围。

解答过程：解：•.•不等式（m—2）xvm—2的解集为戈>1,不等号方向发生改变，

根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，

.,.〃7-2<0，

解得：m<2.

15.如图，直线相〃〃，点A、"、。在直线加上，点C在直线〃上，且NACB=90。，CDLAB,AB=5,

BC=4,4c=3,则直线，〃与直线〃的距离为.

C

m

BDA

解析：

解答过程：解：VZACB=90°,CD工AB,AB=5,8c=4,AC=3,

•/A!<M>(.-.=-2ABCD=-2ACBC,

.rn3x412

55

12

/.直线机与直线〃的距离为一.

5

16.仔细观察，探究规律：(x—=X?-1,(x—+x+l)=x3—1,

(X-1)(X3+X2+x+l)=X4-1,+x34-X2+x+l)=x5-1,则算式

20+T+2?+23+2,+,+22024+22025+22026值的个位数字是.

答案：7

解析：

2024202520262027

思路：根据规律可得2°+)+22+23+24+4.2+24-2=2-b根据乘方的计算规律可得

2次7的个位数是8,22°27_1的个位数是7.

解答过程：解：2°+2,+22+23+24++22024+22025+22026

0,234202420252026

=(2-1)X(2+2+24-2+2-+-..+2+2+2)

=22027-b

・.・2=2，个位数是2，

22=4,个位数是4,

23=8,个位数是个

24=16,个位数是6,

2$=32，个位数是2，

.•.每4次运算一个循环，

・・•2027+4=506…3,

...2畋7的个位数是8，

...2的_1的个位数是7.

三、解答题(本大题共8个小题，共72分.17-20每小题8分，21-22每小题9分，23小题

10分，24小题12分.解答题要求写出证明步骤或解答过程)

4x-7<5

17.解不等式组：〈-2x+l，并把解集在数轴上表示出来.

--------<2+x

3

[11111111A

-4-3-2-101234

答案：一1WXV3,数轴上表示解集如下:

」111」」」J—

-4-3-2-101234

解析：

4%一7<5①

解答过程：解:—2x+l

(2+遨

亍

解不等式①得3,

解不等式②得xNT,

所以不等式组的解集为TKxv3,

不等式解集在数轴上表示略.

18.先化简，再求值：（〃-3）2+.+1）（4-1）-2〃（〃一2）,其中〃=一2.

答案：—2。+8；12

解析：

思路：先利用整式的混合运算法则化简，然后将。=-2代入求值即可.

解答过程：解：（cL3y+（〃+l）（4—1）-244-2）

=/-6。+9+/-1-2/+4。

=-2。+8；

当。=一2时，原式=-2x（-2）+8=12.

19.把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据.

如图，已知ABCD,zi=Z2,试说明：AM||CN.

E

M

解：因为AB||CO()

所以（）

又因为N1=N2

所以=（）

即________

所以（）

答案：解：因为A8|C。（已知），

所以NE48=NEC。（两直线平行，同位角相等）,

乂因为N1=N2,

所以NE45—N1=NECO—N2（等式基本性质），

即ZEAM=/ECN,

所以AMCN（同位角相等，两宜线平行）.

解析:

思路：根据平行线的性质与判定进行求解即可.

解答过程：略

20.为增强师生的国家安全意识，株洲某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、&C、

。四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图:

根据图中提供的信息，回答下列问题:

（1）求参加知识竞赛的学生共有多少人？

（2）把条形统计图补充完整.

（3）扇形统计图中，机=,C等级对应的圆心角为度.

答案：（1）参加知识竞赛的学生共有40人；

（2）补全条形统计图如图所示：

（3）10；144

解析：

思路：本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、求扇形统计图圆心角度数，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）先由。等级的人数和所占的比例求出参加知识竞赛的学生人数；

（2）求出8等级的人数，最后补全条形统计图即可；

（3）用A等级的人数除以总人数即可得出胆的值，用C等级人数所占比例乘360。即可得出圆心角度数.

（1）解：参加知识竞赛的学生共有12・30%=40人：

（2）解：故A等级的人数为40x20%=8人，

4

（3）解：,77%=—X100%=10%,即机=10；

40

C等级对应的圆心角为3x360。=144°.

40

故答案为：10；144.

21.如图1,.A3C和4。所的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点

三角形

（1）在图1的3x3正方形网格中，格点.A3C和格点,。斯关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴.

（2）请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与cABC成轴对称的格点./无尸.

（3）请在图3中画出LABC绕C点顺时针旋转90后得到的格点△A7TC.

答案：（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

解析：

思路：本题主要考查的是利用轴对称、旋转设计图案，掌握轴对称图形、旋转图形的性质是解题的关键.

（1）根据轴对称图形的概念可得其对称轴；

（2）根据对称图形关于某直线对称，找出对称轴，对称轴确定，根据确定的对称轴去画另•半对称图形,

那这两个图形一定是轴对称图形；

（3）根据旋转图形性质，找出A、8绕C点顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形；

（1）解：如图1所示，直线/（对角线）即为所求.

（2）解：如图2所示，...£＞£尸即为所求.

（3）解：如图3所示，△A'8'C即为所求.

22.2026年“湘BA”（湖南省篮球联赛）期间，某日永州队客场作战，永州啦啦队需要租用客车前往客场

为永州队加油，计划一共租用10辆大、小两种客车.已知大客车每辆最多坐60名乘客，小客车每辆最多坐

40名乘客；大客车租金每辆1000元，小客车租金每辆600元.

（1）本次前往客场的啦啦队员一共有5（X）人，求至少要租多少辆大客车？

（2）在（1）的条件下，租车总费用不能超过8600元，一共有几种租车方案？

答案：（1）至少要租5辆大客车

（2）租车的方案有两种，分别为方案一：租用大客车5辆，租用小客车5辆，方案二：租用大客车6辆，

租用小客车4辆

解析：

思路：（1）设租用大客车辆，则租用小客车（10-2）辆，根据题意可得：60A+40（10-A）＞500,然后

进行求解即可；

⑵根据题意可得：1000x+600（10-x）W8600,然后可得5KxW6.5,进而问题可求解.

（1）解：设租用大客车x辆，则租用小客车（10一司辆，根据题意可得：

60x+40（10-x）＞50（）,

解得，x>5,

・••至少要租5辆大客车.

(2)解：根据题意可得：

10()0x+600(10-x)<8600,

解得，x«6.5,

由(1)得xN5,

.\5<x<6.5，

又."为正整数，

所以x可以取5或6.

答：租车的方案有两种，方案一：租用大客车5辆，租用小客车5辆，方案二：租用大客车6辆，租用小客

车4辆.

23.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数,

则称这三个数为“完全数组”.这些算术平方根称为“完全了集”.例如：-2，-8,-18这三个数，

7(-2)x(-8)=4,J(-2)x(T8)=6,J(—8)x(-18)=12,其结果4,6,12都是整数，所以一2，—8,

一18这三个数是“完全数组”，而4,6,12称为“完全子集”.

(1)-9,-bT这三个数是“完全数组'’吗？请说明理由.

(2)若T，a,-16这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12,求。的值.

答案：(1)解：是，理由如下：

&9)x(-1)=3,

&9)x(-4)=6,

7(-1)X(-4)=2,

•・•其结果3、6、2都为整数，

-9,-1，T这三个数是“完全数组”

(2)。的值为-36或-9

解析：

思路：(1)根据题中所给新定义进行求解即可；

(2)根据题意可分当"？=12和4^=12,进而分类进行求解即可.

⑴略

(2)解：•・•“完全子集”中有一个数为12,

・••当W^二12,

解得a=-36,

当J—16a=12,

解得a=-9,

经检验，。=-36或-9时均符合题意，

综上，4的值为一36或一9.

24.某学习小组总结归纳了一种方法：对于平行线中的拐点问题，可以通过过拐点作平行线，再运用平行线

的性质来解决问题，请你利用这个方法解决以下问题：

已知直线A3||CO