2025-2026学年人教版八年级数学下册同步练习 第1课时 矩形的性质

21.3.1矩形

第1课时矩形的性质

宴出提优题目

1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线相等D.对角线相互平分

2.（2025陕西|如图、在△ABC中,NACB=9（T,NA=2（）o,CD为AB边上的中线,DE_LAC,则图中与NA互余的角

ftW（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.如图.在矩形ABCD中,对角线AC.BD交于点O,过点O作EF_LAC交AD于点E,交BC于点F.已知AB二

4,AAOE的面积为5,则DE的长为（）

A.2B.V5C.V6D.3

4.（2025无锡期中］如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果NADB=40。厕NE的度数

是________•

DCE"---------------

（第4题）（第5题）

5.如图，在矩形ABCD中，点E为BA的延长线上一点，F为CE的中点以点B为圆心，BF长为半径的圆

弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10厕AG=______.

6.如图，在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0、且/CDF=NBDC,

ZDCF-ZACD.

(1)求证:DF=CF;

B

⑵若NCDF=6（r,DF=8,求矩形ABCD的面积.

综合应用题

7.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意

切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，

在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.AD=3,AB=4,E是CD边上一点过点E作EH1BD于点H,EG±AC

于点G,则EH+EG的值是（）

A.2.4B.2.5C.3D.4

（第7题）（第8题）

8.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使0A,0C分别落在x轴、y轴上，连接AC将纸片0A

BC沿AC折叠，使点B落在点D的位置.AD与y轴交于点E.若B（2,4）,则0E的长为.

9.如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点,EF_LAE交BC于点F,连接AF.若NCFE=a，则NBAF的度数为一

（第10题）

10如图，矩形ABCD中，"=v5,5C=/,P是BC边上的一动点，E,F分别是线段PA,PD的中点，连接BE,E

F,CF过点E作EG〃FC,交BC边于点G,则BE+EG的最小值为

11如图.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,G,H分别是AB,DC的中点，E,F是对角线AC上的两个点,AE二FC.

(1判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

⑵若四边形EGFH为矩形，请直接写出AE的长度

创新拓展题

12.小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿它的一条对角线翻折，会得到很多结论.

例如：在匚ABCD中,ABWBC将aABC沿直线AC翻折至△AEC,连接DE,可以得至I」AC〃DE.

⑴如图.如果AD与CE相交于点O,求证:AC〃DE;

(2)如果NB=45o,BC=2,当以A,C,D.E为顶点的四边形是矩形时，求出AC的长；，,

8/5

(3)如果NB=30O,AB=3^AAED是直角三角形时，直接写出BC的长.

第1课时矩形的性质

1.C

2.C【点拨】题图中与NA巨余的角是/B./DCB,/CDE,NADE,共有4个.

3.D

4.20°【点拨】如图，连接AC交BD于点0「・・四边形人!^：口是矩形，匚/。匚4邑4。=8。,。4=；4。。0=；BD.

/.ZE=ZDAE.OA=OD.AZADB=ZCAD=40°.VBD=CE,ACE=CA,/.ZE=ZCAE.VZCAD=ZCAE+ZDAE,.\ZE

+NE=40°,即NE=20°.

6.(1)【证明】•・•四边形ABCD是矩形,

OD=：BD,OC=gAC且AC=BD.AOD=OC.

；・/ODC=/OCD.又；ZCDF=zBDC,ZDCF=ZACD,AZFDC=ZFCD.ADF=CF.

(2)【解】•・・NCDF=60°,

；・ZCDO=ZCDF=ZDCO=ZDCF=60°.

・•・AOCD,ADCF都是等边三角形.

/.DF=CD=0D=8.

■:四边形ABCD雄形，

/.ZBCD=90°,BD=2OD=16.

匚BC=>/BD2-CD2=y/162-82=8V3.

匚SABCD=BJCD=64V3.

7.A【点拨】连接0E「・•四边形ABCD是矩形".CD=AB=4,A0=CO=BO=DO,ZADC=90°./.AC=NAN+CD1

=57=5.口。£>=。。=3，匚5"=S.DOE+SCOE=；OD,EH/OCEG=；SI/□那所濯EG=1x；x3x4QEG+

EH=j=2.4.

8.|【点拨】•・•四边形OABC是矩形.・•・OC〃AB..•・NECA=NCAB.根据题意得ZCAB=ZCAD,.*.Z

ECA=NEAC.；・EC=EA.在矩形OABC中.B(2.4).・•・OC=AB=4.OA=2.没OE=x.贝l|AE=EC=OC-OE=4-x.在RtAAOE

中，力6=0炉+O].即(4-x)2=x2+22.解得x=\.UOE=\.

9.2a-90【点拨】延长AE,交BC的延长线于点G,如图所示.:四边形ABCD为矩形"・ZBAD=ZD=

ZDCB=90°.AD//BC.AZECG=ZD=90°.VE为CD边的中点,，DE=CE.又VZAED=ZGEC,AAADE^

△GCEJAE=GE.又•・・EF_LAE,・・・EF垂直平分线段AG.・•・AF=GF..•・NFAE=NG.•・•AD〃BC,・•・NDAE=NG.)

90-CBAF

ZDAE=ZFAE./.ZDAE=/.VZDAE+ZAED=90°,ZAED+ZFEC=90^UFEC=\2DAE=

90BAF

90:助二□匚/£C+NEFC=90°,/.ZEFC=90-=a,；.ZBAF=2a-90°.

I。.乎【点拨】连接AG「・•矩形ABCD中，^C=V5,AAD=BC=V5.AD〃BC,NABC=90，・.・E,F分别是线段

PA,PD的中点，CEF=\AD=^yEFADBC.：EG〃FC,・••四边形EGCF是平彳亍四边形.JCG=EF==,「BG=

1.□儿尸中，E是线段AP的中点・・・AE二BE.・•.当点A,E,G三点共线时,AE十EG值的最小，即BE+EG值的最小,

最小值为AG的长.□XG=J"2+8G2=J(a)2+(gj=¥，BE+EG的最小值为

11.【解】(1)四边形EGFH是平行四边形.

理由:•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB=CD,AB〃CD.・・・ZGAE=ZHCF.

•・・G,H分别是AB.DC的中点，

AG=BG=：AB,CH=DH=gCD.

2'2

AAG=CH.

VAE=CF,/.△AEG丝△CFH(SAS).

r.GE=HF,ZAEG=ZCFH.

/.ZFEG=ZEFH.AEG//FH.

:.四边形EGFH是平行四边形.

(2)AE的长度为g或【点拨】连接GH交AC于点0.

丁四边形ABCD是矩形、

/.AB=CD,AB#CD,ZB=90°,OA=OC.

VAB=3,BC=4,AAC=5.AOA=OC=1AC=g

由⑴易得BG=CH.

:.四边形BCHG是平行四边形.

AGH=BC=4.

,:四边形EGFH是矩形、・••EF=GH=4.

匚02*2.

分两种情况：①当点E在0A上，点F在0C上时，如图①,AE=OA-OE=\-2=\;

②当点E在0C上点F在0A上时,如图②,AE=OA+OE=^2=1.

综上所述，若四边形EGFH为矩形，AE的长度为域g

12.(1)【证明】:四边形ABCD为平行四边形,・\AD〃BC,AD=ZDAC=ZBCA.fcLlfffZACE=ZBCA,

EC=BC,

:.ZDAC=ZACE,EC=AD.AOA=OC.

□OAC=l8U"/>(7C^D-OA=CE-OC^OD=OE.AZODE=ZOED.

匚□0Z)£jo-DOE

2

VZDOE=ZAOC.

180匚180口一匚40。

-22，

即ZODE=ZOAC.AAC//DE.

⑵【解】①当四边形ACDE为矩形时,如图①，则NCAE=90o,・・.NBA090。.

ZB=45。,,ZACB=45°=ZB,.\AB=AC.

•・•在RtABAC中，AB2+AC2=BBC2,BC=2,

••・易得AC=^\

②当四功形ACED为矩形时，如图②，ZACE=90°..\ZACB=90°.

VZB=45°,

AZBAC=45°=ZB.

.\AC=BC=2,

综上可知，当以A,C,D,E为顶点的四边形是矩形时,AC的长为0或2.

⑶【解】BC的长为2V3孚或36或V3.【点拨】①当NAED=90。时,如图③.

VAC//DE,二ZCAE