2026年高考数学一轮复习：第四章 三角函数与解三角形（高效培优综合训练）学生版+解析

第四章三角函数与解三角形

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡匕写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若点P(—3,2siW)在角a的终边上,!则sina的值为()

1V3--f

A.一B.一c--i

22

3+COS2G

2.已知sin0=-2cos8,则,八八=()

sindcosG

A.-6B.C.8D.-8

1

已知a为锐角，且sin(2a一/)=则sin(a+1)=(

3.~9f)

21

A.-B.-C.—D.

33

4.在AABC中，2A=B+C,AC=8,cosC贝ij8C=()

56

A.11B.7C.16D.—

5

5.已知函数/'(%)=siM2x+〉将/(x)的图象向左平移中((p>0)个单位后，得到函数g(x)的图象,

若g(x)的图象与/(x)的图象关于)，轴对称，则的的最小值等于()

6.己知函数/'(%)=4s出3%+3)(4>0,3>0,|0|V冬)的部分图象如图所示，若方程f(X)=2///在

[-爸，0]上有两个不相等的实数根，则实数小的取值范围是()

-L乙

A.(-2,-I]B.(-1.•—；]C.(—1,苧)D.[一/，亭)

7.设函数f(x)=2sin(cox+(p)-1(co>0),若对于任意实数(p,f(x)在区间卢，当上至少有2个零

44

点，至多有3个零点，则①的取值范围是()

816、1620820

A.[―,——)B.[4,——)C.[4,——)D.[-»——)

333333

8.在锐角三角形ABC中，内角4,B,C的对边分别为小〃，c，且〃2=后+儿，则1的取值范围为()

b

A.(1,3)B.(2,3)C.(1,2)D.(2,4)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是()

A.若sina・cosa>0,则a为笫一象限角

B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30。

C.终边经过点(ma)(〃加)的角的集合是{a|a=*+—fceZ}

D.在一个半径为3c加的圆上画一个圆心角为30。的扇形，则该扇形面积为季cn?

10.记3c的内角A,3,C的对边分别为a,b,c.已知A是AA3C的最小内角，且taiB为整数，cosA+

asinC=2V2,则下列说法正确的是()

A.力=4

B.c=3

C.当C>B>A,且lanB也是整数时，tanC=-3

qq

D.MBC面积的取值范围是电总

11.关于函数/(x)=sin|A|+|cos.v,有下述四个结论，则正确的有()

A.2兀是/(x)的一个周期

B./(x)的最小值为-1

C.f(x)在区间苧)上单调递减

D./(x)在(・2026兀，20267:)上有4052个零点

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在中，若B=%a=&,S△.=2,则MBC的外接圆半径为.

13.若aW(0,分夕eg,4)且cos(a+/7)=—苧，tana=3—2V2,则2a+。的值为

14.已知函数/⑴=sin（2,v+（p）（0<（p<7t）,其图像的一个对称中心是（一1，0）,将/⑴图像向左平

移5个单位长度后得到函数g（X）的图像.若对任意XI,X2曰0,小当X|Vx2时，都有/（%|）-f（X2）

<g（xi）-g（X2）,则实数/的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知A/WC的内角人，B,C的对边分别为a,b,c,且2〃=c+2acosC.

（1）求A；

3V3

（2）若A/WC的周长为9,面积为---，求

4

16.（15分）

已知函数/（%）=sin2x+>/3sinxcosx.

（1）求/（x）的最小正周期和对称轴方程；

（2）求/（x）在区间［-1江上的最大值，并求出此时对应的x的值.

17.（15分）

已知函数/"（%）=Sin（3X+9）（3>0，fvS<7T）,/XO）=苧，且对任意XI,X2,若|/（XI）（X2）|=1,则

7T

田-间的最小值为二.

6

（1）求⑴和（p;

（2）求图像y=/（x）与、=cosx（s出x+V5cosx）在［0,1（）可上的交点个数.

18.（17分）

在AA8C中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为2百，且儿osC=a+亨cs出B.

（1）求角6；

（2）若NB的角平分线交AC于点D,8。=遮，点E在线段AC上，EC=2EA,求ABQE的面积.

19.(17分)

71

已知函数/(x)=sin(a),v+(p)((o>O,0<(p<n)的周期为e图象的一个对称中心为(1，0),将函数/

(X)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个］单位长度

后得到函数g(X)的图象.

(1)求函数/(x)与g(x)的解析式

(2)是否存在(二，7),使得f(xo),g(xo),f(.w)g(xo)按照某种顺序成等差数列？若存

64

在，请确定期的个数，若不存在，说明理由：

(3)求实数。与正整数〃，使得b(x)=f(A)+qg(x)在(0,〃兀)内恰有2013个零点.

第四章三角函数与解三角形

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题F对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若点P（-3,2si遥）在角a的终边上，则sina的值为（）

A1R6n百

A.一B.C.—oD.—

2222

【答案】A

【分析】根据任意角三角函数的定义进行求解.

【解答】解：由己知，点P（-3,百），所以就』二7

V（-巴3）2+32

故选:A.

/1八

A.-6B.C.8D.-8

【答案】D

【分析】由已知求得tan0=-2,化为二次齐次式，再化为⑶用的代数式，求解即可.

【解答】解：由题意可得tan0=・2,

3+cos2e3sin2e+4cos203tan20+43x4+4

sinOcosOsindcosO

故选：D.

3.已知a为锐角，且sin（2a-勺=一等,则sin（a+/=（）

2112

A.-B.-C.-4D.

3333

【答案】A

【分析］令夕=a+?利用倍角公式即可求出s520=9,再根据a的范围即可求出.

OV

【解答】解：利用换元法令夕=。+,则。=/?一看

则2吁k2(/7冶)*=2£-今

故si〃(2a—：)=sin(2p-])=-cos2^=2sin2p_1=—：,

可得SE2/?二1因为a为锐角，则/?=a+g£(^

9ooo

则sin(a+》=sinp=

故选：A.

4.在"SC中,2A=B+C,4c=8,cosC=1,则8C=()

56

A.11B.7C.16D.——

5

【答案】D

【分析】由三角形内角和确定A=g,再由sinB=sin(A+C),结合正弦定理即可求解.

【解答】解：因为2A=B+C,在AABC中，可得A+B+C=7C,

可得力=p

显然sinC>0,故si"C=Vl-cos2C=竽，

于是siziB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=-x-4--x-=—,

V7277214

在AABC中由正弦定理可得即磊二蹩，

sinBsbxA3区

142

解得BC=y.

故选：D.

5.已知函数/(x)=s)(2%+公，将/(x)的图象向左平移q)((p>0)个单位后，得到函数g(x)的图象,

若g(x)的图象与/(x)的图象关于y轴对称，则<p的最小值等于()

nnnn

A.——B.-C.-D.-

12643

【答案】B

【分析】根据函数平移可得gQ)=sin(2x+29+"进而根据g(x)=f(-x)即可代入化简得*=£+

36

kn,kGZ求解.

【解答】解：g(x)=f(x+9)=sin(2x++勺，要g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，则

g。)=f(-x)=sin(-2x+j)=sin(2x+y),

所以2(p+土=旦+2kzr,kEZ,故乎=三+左71,kEZ,

336

又(p>(),故外nin=，

故选：B.

6.已知函数/(x)=AsM(s:+s)G4>0,(o>0,⑼V?)的部分图象如图所示，若方程/⑴=2m在

[-书，0]上有两个不相等的实数根，则实数，〃的取值范围是()

A.(-2>-I］B.(—1,—刍C.(—1，孚)D.［一/，亭)

【答案】B

【分析】首先根据函数f(x)的图象，可得A,T的值，进而可得a)=2,将点(卷，2)代入f(x)=2sin

(2x+(p),结合即可得/(%)=2sM(2x+g).令亡=2%+g,则勺，可得方程f(x)=

Z3363

2m在［-等，0］上有两个不相等的实数根等价于函数丫=加1的图象与直线y=m在［-裂口上有两个交

1263

点，在同一平面直角坐标系下画出函数y=sint,tG［-乎，勺的图象号直线丫=01,数形结合即可求解.

63

【解答】解：由题意，根据函数f(x)的部分图象，可得A=2,；7=?一看=%

43124

可得T=TT,可得口=生=2,

T

因为f(x)=2sin(2x+(p)经过点舄，2),

根据五点法作图可得2x^+租=］+2而，keZ,

可得>=g+2k/r,kEZ,

又i*V，

可得3=g

所以/(x)=2sin(2x+9

令£=2x+g,则当时，t=2x+^e［-^-,3，

O1Z«5OO

所以方程f(x)=2m在［-"，0］上有两个不相等的实数根，等价于函数y=sint的图象与直线y=m在

［一?，勺上有两个交点，

oO

在同一平面直角坐标系下画出函数y=sini,亡6［-r，口的图象与直线y=m如下图所示：

63

可得实数m的取值范围为mW(-1,一)

故选:B.

7.设函数f(x)=2sin(co,r+(p)-1(to>0),若对于任意实数(p»f(x)在区间［一，一］上至少有2个零

44

点，至多有3个零点，则⑴的取值范围是()

8161620820

A.［一，—)B.［4,—)C.［4,——)D.［一，—)

333333

【答案】B

【分析】原问题转化为y=sinl在区间区3+。，手3+6］上至少有2个3至多有3个t,使得y=sint=

p求①的取值范围，作出图象可知满足条件的最短区间长度为2兀，最长区间长度为半，由此建立(0的不

等式组求(0的取值范围.

【解答】解：令f(x)=0,则sin(cox+(p)=令t=a)x+(p,则sint=5

则原问题转化为：

y=sint在区间《3+w，•3+0上至少有2个t,至多有3个t,使得y=sint=5求s的取值范围，

作出y=sint与y=T的图象，如图所示：

最长区间长度为耳—=等，

663

2后(-—to+(p)-(—to4-(p)<—,解得4%)V个

4433

所以3的取值范围是［4,当).

故选:B.

8.在锐角三角形由中，内角A,B，C的对边分别为小b,c,且-2-畤的取值范围为()

A.(I,3)B.(2,3)C.(1,2)D.(2,4)

【答案】C

【分析】由已知条件结合余弦定理可得b=c-2bcosA,利用正弦定理边化角得sinB=sin(A-B),求得

A=2B,结合AABC是锐知三角形和三角形内角和定理求出BE("；),再由正弦定理结合三角恒等变换

可得2=4COS2B-1,运算得解.

C

【解答】解：在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+bc,

由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA与a2=b2+bc联立，可得bc=c2-2bccosA,

HPb=c-2bcosA,由正弦定理可得,sinB=sinC-2sinBcosA,tPsinB=sin（A-B）,

故8=人-8+21（兀，k£Z或B+4-B=2xC+k7r）,keZ（舍去），

因为2B=A+2kn£（0,2兀），故k=0,故A=2B,

所以C=TU-3B,因为AABC是锐角三角形，

0<2B<^

0<^<7，解得

N64

（0V"38Vm

则当<cos8<圣

grpic_sinC_sin（7r-3B）

।'bsinBsinB

_9in（7?+?R）_<;inRcn^7R+cn^R>;ir>?R

sinBsinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-IE（1,2）.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若sina・cosa>0,则a为第一象限角

B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30。

C.终边经过点（a,a）（。刈）的角的集合是{a|a=与+krr,keZ}

D.在一个半径为3c/〃的圆上画一个圆心角为30。的扇形，则该扇形面积为］~cm2

【答案】BC

【分析】A项可得正余弦同号，由此判断；B项，表针转过的角度是负角，且转一圈是-360。；C项找经

过点的特殊性可确定；D项利用瓠长公式l=aR,S=gR即可.

【解答】解：A.若sina・cosa>0,则a为第一象限角或第三象限角，错误；

B.将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是-30。，正确；

C.终边经过点（a,a）（a^O）的角的终边再直线y=x上，故角的集合是{a|a=：+k7t,keZ},正确；

D.弧长l=gx3=j扇形面积为;xgx3=?,故错误；

62ZZ4

故选:BC.

10.记△A/C的内角A,H,C的对边分别为a,b,c.已知A是AA/C'的最小内角，且tanA为整数，cosA+

asinC=2dL则下列说法正确的是()

..n

A.4=4

B.c=3

C.当且tanB也是整数时，lanC=-3

D.△A4C面积的取值范围是[；,1]

【答案】ABD

【分析】对于A,根据条件易得tanA=l,即可判断；对于B,利用正弦定理计算即得；对于C,根据

lanB也是整数，且C>B>A,可分tanB=2和tanBR两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于

D,由正弦定理推得6=把宅2=3鱼x陋等，结合mwCW?,利用正切函数的单调性即可求得

sinC2sinC42

△ABC面积的范围判断.

【解答】解：对于A,因A是^ABC的最小内角，则0V4W%

•5

又因tanA为整数，故tanA=1，可得4=f,故A正确；

4

对于B,由cos/l+asinC=2或，A=-,可得asinC=2，

42

由正弦定理，三二三，可得csi〃：=QsinC=乎，解得c=3,故B正确；

sinAsinC42

对干C,由A+B+C=7T,可得B+C=手，因且tanB乜是整数，

44

若tanB=2,因£加工=tcmg+£)

=*篝=2+遍，

则产”工,则gvcV雪,

此时，tanC=tan(——B)=二i=1---^―-=3>£cmB符合题意；

4'1-tanB1-tanB

若ianB=3,则‘VBV望，同理囚VCV田，此时，tanC=1------=2<tanB,不合题意，

3123121-tanB

随着tanB取更大的整数，tanC的值逐渐减小，不合题意，

故当C>B>A,且lanB也是整数时，lanC=3,故C错误；

对于D,由正弦定理，七二三和^+^二?，

sinBsinC4

可得^=艺喧B=2遮x2处，

smC2sinC

因A是AABC的最小内角，则BN]B+A>\<C<\

当时，ft=|V2,

△ABC的面积为£ABC=《absinC=|x|V2x|V2=

当mwcw?时，b=；V2x(H-^--),因tanCR,

422tanc

则IM1十白£2,；V2<Z;<3V2,

tanC2

故34SAABCWp

综上，AABC面积的取值范围是［J3，故D正确.

故选：ABD.

11.关于函数/(x)=sin|A|+|cosA-,有下述四个结论，则正确的有()

A.2兀是/(x)的一个周期

B./(x)的最小值为-1

C./Q)在区间G，写)上单调递减

D./(x)在(-2026m2026r)上有4052个零点

【答案】BD

【分析】举反例得到A错误；由sin|x|+|cosx|2-1,Ksin|y|+|cosy|=-1,判断B正确；当女6,

芋)时，去绝对值可得函数解析式，得到f(x)在区间G，号上单调递增，再由复合函数的单调性判断

C；说明函数f(x)=sin|x|+|cosx|为偶函数,并得到xNO时，f(x)=sinx+|cosx|的一个周期为2兀,考虑

xG［0,2利，得到f(X)的分段函数,令f(x)=0,可得％=学?，从而得到(-2026兀，2026冗)上零

点个数.

【解•答】解：对于A,/(-^)=sin\~I+|cos(—^)|=sin^+cos~=V2»

/(-^+2zr)=sin\^-\+\cos^\=+=0,f(-^)工人一：+2兀)，

则2冗不是f(x)的一个周期，故A错误；

对于B,因为-iWsin冈Wl,0<|cosx|<l»所以sin|x|+|cosx2・1,

且当％=学过，sm|季|十|cos手|=一1+0=-1,故f(x)的最小值为-1,故B正确；

对于C当％WG,学)时，/(x)=sin\x\+|cosx|=sinx—cosx=\f2sin(x-^),

由％Wg,牛),得％-今，z=x-彳在q,上单调递增，

而函数y=&si7iz在zEC，］)上单调递增，

所以f(x)在区间G，与)上单调递增，故C错误；

对于D,f(x)=sin|x|+|cosx|的定义域为R,

且f(-x)=sin|(-x)|+|cos(-x)|=sin|x|+|cosx|=f(x),

可得f(x)=sin|x|+|cosx|为定义域上的偶函数，

当xNO时，f(x)=sinx+|cosx|,

此时满足f(X+2TC)=sin(X+2TC)+|COS(x+2兀)|=sinx+|cosx|=f(x)>

所以x20时,f(x)=sinx+|cosx|的,个周期为2兀，

sinx+cosx,0<x<

sinx-cosx,^<x<y,

(sinx+cosx,<x<2n

令f(x)=0,可得,

44

故x£[0,202671)上有2026个零点，同理可得x£(-2026兀，0)上有2026个零点,

综上，f(x)在(-2026兀，2026x)上有4052个零点，故D正确.

故选：BD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在"BC中，若B=1a=近,S△.=2,则ZkABC的外接圆半径为

【答案】V5

【分析】根据三角形的面积公式算出c=4,然后由余弦定理算出b=最后运用正弦定理求出^ABC

的外接圆半径的大小.

【解答】解：根据题意，可得S△加c=gacs出B=2,即gx企・c・日=2,解得c=4,

由余弦定理得b2=a2+c2・2ac=2+16・2x^x4cost=10,解得b=40（舍负）.

所以AABC的外接圆半径R满足2R=上=手=2V5,可得R=V5.

smBv2

故答案为：V5.

13.若ae（o,1）,0呜,4）且cos（a+S）=—字，tana=3-2V2,则2a+0的值为.

【答案】?

【分析】结合同角基本关系及和差角公式即可求解.

【解答】解：因为ae（0,》tana=3-2&V苧，

故a€（0,—）»

因为0W（1,兀），所以;

因为cos（a+p）=一？＞一字，

所以a+0W(~»it)»

所以sin(a+p)=孚，tan(a+p)=—V2,

则3(2a+p)-%

vl-tanatan(a+(i)l-(3-2>/2)x(-V2)

又2a+p£(p))，

所以2a+B=f.

故答案为：v-

4

14.己知函数/(.i)=sin(2x+(p)(0<(p<7r),其图像的一个对称中心是(一/0),将/(外图像向左平

移5个单位长度后得到函数8(X)的图像.若对任意内，X2e[0,t],当XlVx2时，都有f(%l)-f(.V2)

Vg(XI)-g(X2)»则实数/的最大值为.

【答案】

【分析】根据函数的对称性求出(P的值，利用图象变换关系求出g(X),构造函数h(X)=f(x)-g

(x),将条件转化为当x€[0,u，h(x)为增函数，利用函数的单调性进行求解即可.

【解答】解：Vf(X)一个对称中心是(一？0),

x2+(p=kji,kEZ,即(p=g+k7T,kGZ,

♦•♦OVcpVm.•.当k=0时,(p=即f(x)=sin(2x+j),

将f(x)图像向左平移£个单位长度后得到函数g(X)的图像，

即g(x)=sin[2(x+；)+；]=sin(2X+TI)=-sin2x,

由f(xl)-f(x2)<g(xl)-g(x2),得f(xl)-g(xl)<f(x2)-g(x2),

设h(x)=f(x)-g(x),则不等式等价为当xlVx2时，h(xl)<h(x2),

即若对任意x@0,t],h(x)为增函数.

h(x)=sin(2x+-)+sin2x=-sin2x+^cos2x+sin2x

322

=|sin2x+苧cos2x=V5(去in2x+；cos2x)=V3sin(2x4-^)>

当x6[0,t]时，2xe[0,2t],所以2x+汨，2t+g,

因为对任意x40,t],h(x)为增函数，

所以21+£工？所以所以OVH：,

6236

即t的最大值为三

故答案为：7-

O

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.已知AABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且2〃=c+24cosC.

(1)求A；

(2)若AABC的周长为9,面积为---，求

4

【分析】(1)根据正弦定理化简所给等式，结合两角的正弦公式化简，进而求得角A的大小；

(2)由(I)的结论，利用三角形面积公式与余弦定理列式求解，即可得到本题的答案.

【解答】解：(1)根据2b=c+2acosC,由正弦定理得2sinB=sinC+2sinAcosC,

在AABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

则2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinAcosC,整理得2cosAsinC=sinC»

结合sinC>0,可得cosA=gXAG(0,兀)，所以

(2)由(1)得SAABC=Jbcsim4=立儿=乎，解得bc=3,

根据ZkABC的周长为a+b+c=9,可得b+c=9-a,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,可得a2=(9-a)2-9,解得a=4.

16.己知函数/'(%)=sin2x+\/3sinxcosx.

(1)求/(x)的最小正周期和对称轴方程；

(2)求/(x)在区间［-果当上的最大值，并求出此时对应的x的值.

【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简得/•Q)=sin(2x-：)+j结合正弦函数的周期公式与对称性求

出答案；

(2)求出［-警，勺，根据正弦函数的最大值进行求解，可得本题答案.

OOZ

【解答】解:(1)由题意得f(X)=i(1-cos2x)+ysin2x

=sin2xcos--cos2xsin-+-=sin(2x--)+

66262

所以f(x)的最小正周期T=g=兀，

令&-?=?+kzr,kEZf解得汇二三十二九，kEZ,

6232

可得f(X)的对称轴方程为％=2+JTT,kez.

•5C

(2)若g］,则2%—

当=即％=g时，sin(2工一g)=1,f(x)取得最大值:，

62362

所以f(x)在区间［一黑自上的最大值为会此时乃二今

17.已知函数/(X)=Sin(3X+@)(3>0,<(P<7T),/(0)=苧，且对任意XI,.V2,若(加)-f(,r2)|=

1,则|川・X2|的最小值为J

6

(1)求3和(p；

(2)求图像y=/(像与)/=cos%(sinx+V5cos%)在［0,10—上的交点个数.

【分析】(1)根据/"(0)=曰求出乎=争不妨令01=3xl+(p,02=3x2+(p,根据|f(xl)-f1x2)|=1,

则|xl・x2|的最小值为看得到|01-02|最小值为:，故,=£,求出(0=2；

(2)/(x)=sin(2x+争，恒等变换得到g(x)=sin(2x+；)+今换元后，等价于sin(u-§=

一日，UG［^,竽,解得u=2丘或〃=*+2k7r(k£Z),分两种情况.得到si心一》二一日日〃6

g，等］的u共有10+10=20个，得到答案.

【脩答】解：(I)由题意函数/(X)=Sin(3X+尹)(3>0,gVpVTT),/(0)=

可得f(0)=sin@=曰,而］v@V7r,所以@=等

不妨令01=3xl+(p,02=cox2+(p,

则If(4)—f(外)1=|SE%—S出21=⑸力(空+空)一S出(第-空)|

=21cos空||s山空I=1<21s5空I，

%=g+3n(%=—+kxit

当且仅当黑或联(Qk2ez,k1+k2=2k,kez)时该式取等，

。2=—+k2n(%=§+A27r

故最小为3此时电-021可取最小值m

而丫=3加在(0,今单调递增，|S仇弩|最小为玄故|弩|不存在比陛小的取值，

即期-02|不存在比骐小的取值，即满足条件的|。1-。2|最小值为:，

|01-02|=|(cox1+(p)-(<ox2+(p)|=co|xl-x2|,

且对任意满足If(xl)・f(x2)|=1的实数xl,x2,|xl-x2|的最小值为，故合,，3=2；

(2)由(1)可得/(%)=sin(2x+^)»不妨令g(%)=cosx(sinx4-75cosx),

贝叼(")=cosxsinx+>/3cos2x=g-2sinxcosx+^-(2cos2x-1)+号

=-sin2x+—cos2x+—=sinCZx+-)+—,

222'3，2

此时，图象y=f(x)与y=cosx(sinx+V5cosx)在［0,10兀］上的交点个数，

等于方程5皿2%+争=5)(2%+^)+?在［0,10兀］上的解的个数，

令或=2%+/,则该方程等价于sinQ+3)=simz+?,uG［^,岑］,

化简得Tsizi”一^cosu=-?，即sinQ—W)=一当，uG［^,等］,

此时，u--=--4-2k?r或〃+2kn(kEZ),

3333

即u=2k兀或〃=—1+2krc(kGZ),

u=2kn(keZ)时，三三2〃汗三¥，；三上$萼，上共有I，2,3,.......,10这10个取值，

3366

即有10个符合条件的u；

〃=一三+2/c7r(kWZ)时，^<-^+2kn<—,；</c<-,

k共有1,2,3............10这10个取值，即有10个符合条件的u；

故满足s皿〃一》=一手且〃e均等］的u共有10+10=20个，

即图象y=f(x)与y=cosx(sinx+百cos%)在［0,1()兀］上的交点个数为2().

18.在“BC中，内角4,B,C所对的边分别为，，b,c,其外接圆的半径为275,HbcosC=a+^csinF.

(1)求角B；

(2)若NB的角平分线交AC于点。，BO=g,点石在线段AC上，EC=2EA,求的面积.

【分析】(1)利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得〃九8=-百，结合角的取值范围可求得角

B的值；

(2)利用正弦定理可求得b的值，利用SzkABC=Sz\BCD+Sz\ABD可得ac=V5(a+c),余弦定理可得

(a+c)2-ac=36,两式联立可得a=c=2k，然后利用三角彩的面积公式可求得ABDE的面积.

【解答】解：(1)因为bcosC=a+4csin8,

由正弦定理可得si〃8cosC=sinA+^-sinCsinB,

又A=TT-(B+C),所以sinBcosC=sM(8+C)+fsiziCsiTiB,

^[XsinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+=sinCsin8,

BPsinCcosF+—sinCsmB—0»

3

vCG(0,冗)，故sinC，0,

•'-CGSB+^-sinB=0,即taziB=-V3,

又B6(0,又，则B=拳

(2)

B

CDEA

由(1)可知，B=胃,又外接圆的半径为2国，

•J

由正弦定理可知々=475,

sinB

所以6=4V3sin^=6,

因为BD是4ABC的平分线，故乙CB。=Z-ABD=^ABC=p

又BD=V3,

由SAABC=SABCD+SAABD,

可得3acsing=[°'V5sinm+：c•x/3sinp即ac=V3(a+c),CO

由余弦定理可知，bz=a2+c2-2accos^,即(a+c)2-ac=36,②

由①②可知a=c=2V3,

所以BD1AC,

又•；EC=2AE,则DE=1,

所以S^BDE=：x1xV3—Y*

19.已知函数f(x)=sin((ar+(p;(<o>O,0<(p<n)的周期为死，图象的一个对称中心为(今0),将函

数/(工)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个］单位长

度后得到函数gQ)的图象.

(1)求函数/(X)与g(X)的解析式

7T7T

(2)是否存在灿€(二，-),使得/Go),g(A0),/(.Y0)g(A-0)按照某种顺序成等差数列？若存

64

在，请确定刈的个数，若不存在，说明理由；

(3)求实数。与正整数〃，使得尸(x)=f(A)+ag(x)在(0,〃兀)内恰有2013个零点.

【分析】(1)依题意，可求得a)=2,(p=p利用三角函数的图象变换可求得g(x)=sinx；

(2)依题意，当xW(-,-)时，-<sinx<―,OVcosxV二=sinx>cos2x>sinxcos2x,问题转化为方程

64222

2cos2x=sinx+sinxcos2x在(-,-)内是否有解.通过G，(x)>0,可知G(x)在(2，-)内单调递增，

6464

而G(?)<0,G(7)>0,从而可得答案；

(3)依题意，F(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0,方程F(x)=0等价于关于x的方程

a=-黑(kWZ).问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),xe(0,兀)U(九，2兀)的交点

情况.通过其导数，列表分析即可求得答案.

【解答】解：(1)•.・函数f(x)=sin(cox+(p)(co>0,0<(p<n)的周期为兀，

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