2026年高考数学一轮考点讲义常用逻辑用语（知识点+试题+6大考点+4类典型易错）

第02讲常用逻辑用语

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................2

第三部分：高频考点一遍过..........................................................3

高频考点一：充分条件与必要条件的判断..........................................3

高频考点二：充分条件与必要条件的应用..........................................3

高频考点三：充分条件与必要条件(“是”，“的”)结构对比.........................5

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断.............................5

高频考点五：含有一个量词的命题的否定..........................................6

高频考点六：根据全称(特称)命题的真假求参数.................................7

第四部分：典型易错题型........................................................8

第一部分：基础知识

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

(1)若P=q,则〃是q的充分条件，4是〃的必要条件；

(2)若〃且94P,则〃是夕的充分不必要条件；

⑶若〃%q且q=>P,则〃是9的必要不充分条件；

(4)若poq,则P是4的充要条件；

(5)若〃％q且q匕P,则〃是夕的既不充分也不必要条件.

拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件

(1)〃是夕的充分不必要条件OF是力的充分不必要条件；

(2)〃是9的必要不充分条件or是力的必要不充分条件；

(3)〃是4的充要条件or是力的充要条件；

(4)P是q的既不充分也不必要条件。F是力的既不充分也不必要条件.

拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，4以集合B的形式出现，即P：A={x\p(x)}tq：B={x\qM}f贝I」

(1)若A7B,则〃是的充分条件；

(2)若则〃是4的必要条件；

(3)若438,则〃是的充分不必要条件；

(4)若则〃是4的必要不充分条件；

(5)若A=4,则〃是夕的充要条件；

(6)若且8坛4,则〃是4的既不充分也不必要条件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构

（1）〃是9的充分不必要条件=〃="且夕％p（注意标志性词：“是”，此时p与正常顺序）

（2），的充分不必要条件是q=9=〃且〃入q（注意标志性词：“的”，此时〃与乡倒装顺序）

2、全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

（2）存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

（3）全称量词命题及其否定（高频考点）

①全称量词命题：对M中的任意一个X,有p（x）成立；数学语言：VxeM,p（x）.

②全称量词命题的否定：BxeM^p（x）.

（4）存在量词命题及其否定（高频考点）

①存在量词命题：存在M中的元素x,有〃（幻成立；数学语言：*wM,p（x）.

②存在量词命题的否定：

（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于（二）大于＜＞）小于（＜）是

否定词语不等于（H）不大于（W）不小于（＞）不是

正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个

否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有

第二部分：高考真题回顾

1.（2024•天津•高考真题）已知幼eR,则“/=匕3”是“3。=卢的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•新课标II卷•高考真题）已知命题p：VxeR,l^v+11＞1；命题g：玉＞0,丁=不，则（）

A.0和q都是真命题B.力和q都是真命题

c.p和r都是真命题D.和r都是真命题

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：充分条件与必要条件的判断

典型例题

例题1.（24-25高三下•广东•阶段练习）已知集合A={xeR|/=〃?},8={XGR|X2+XK〃?+2},则“_2eA”

是“AnB=A”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

例题2.（2025高三上•全国•专题练习）己知p:a20"/:心€1<9-〃1+”0,则p是g的条件.（填

“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

精练高频考点

1.（24-25高三下・天津・阶段练习）设。/6%则“/+4=〃+/7，，是“4=/?〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2025高二下•湖南郴州•）“处1〃是。<-2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

高频考点二：充分条件与必要条件的应用

典型例题

例题1.（2025・河北・模拟预测）己知集合月={小2<]},B={.^2a<x<2a+\]f若“飞8〃是"/eA〃成立的

充分不必要条件，则实数〃的取值范围为（）

例题2.（24-25高三上•江苏徐州•阶段练习）已知集合人=卜三|<0,B={A|X2-4X<0}.

⑴求4（ADB）；

（2）已知集合。={叶〃+1。<2/〃-1},若“xwC〃是的充分不必要条件，求实数，〃的取值范围.

精练高频考点

1.（2024高三•全国•专题练习）已知集合人=x=W（）/，xwA的一个必要条件是xZ。，则实数〃的取

A+1

值范围为（）

A.a<0B.a>2C.a<1-\D.a>-\

2.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知〃,0,使得不等式成立的一个充分不必要条件是

x2-2x-3<0,贝!Im的取值范围是.

3.（23-24高三上•江苏扬州•阶段练习）已知命题〃：女6旦/一6工+/=0,当命题〃为真命题时，实数。

的取值集合为A.

（1）求集合A;

⑵设非空集合A=M3〃L2KCY〃L1},若工eA是的必要条件，求实数机的取值范围.

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”“的”）结构对比

典型例题

例题1.（24-25高三上•云南・期中）己知〃?-2）>0〃是4：例?7一6«0”的必要不充分条

件，则实数，〃的取值范围为（）

A.（-8,-4]53,+8）B.（-OO,-4）U（3,+R）

C.|-4,3）D.[-4,3]

例题2.（25-26高三上•全国•课后作业）使-g<x<3成立的一个充分条件是（）

A.—<x43B.—<x<0C.—1<x<6D.-3<x<一

222

精练高频考点

2

1.（25・26高三上•全国•课后作业）若“了之心是的充分不必要条件，则实数〃的取值范围是（）

x-1

A.[3,+oo）B.（3,+30）C.“收）D.（-<0,1]

2.（25-26高三上•全国•课后作业）若-ivxvl是或x>3的一个既不充分也不必要条件，则实数。的

取值范围是（）

A.闻4《1}B.<1）C.卜山22}D.

3.（2025•广西桂林•一模）“玉wR,使这2-以-3>0〃的一个充分不必要条件是（）

4

A.a<0B.a<~—

3

4

C.a>\D."一§或。"

4.（2025•甘肃白银•模拟预测）使不等式丁+3石4戈成立的一个充分不必要条件为（）

A.l<x<3B.0<x<3C.x>3D.l<x<3

5.（24-25高三上•北京•阶段练习）若"x>l或x<-3〃是“x〈a〃的必要不充分条件,则实数，的最大值是一.

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断

典型例题

例题1.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知命题P：VxwR,|1731,命题夕:天>0,x2=x,则（）

A.〃和4都是真命题B.和^都是真命题

C.〃和F都是真命题D."和F都是真命题

例题2.（2025•江西宜春•模拟预测）已知命题P：VxeR,2'>x2,命题夕：3x,ywR,x+y<2而，则

（）

A.〃和夕都是真命题B.力和q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.和r都是真命题

精练高频考点

1.（24-25高三上•山东荷泽•期末）已知命题P：D〃0-1,M>0；命题q：虫<0,20251=x2,则（）

A.〃和。都是真命题B.3和“都是真命题

c.P和r都是真命题D.-/?和r都是真命题

2.（24-25高三上•四川•阶段练习）已知命题p:VxwR,e*+eT22,命题〃:公=（0,10）,“（10T）>5,则

（）

A.命题〃与，/均为真命题

B.命题〃与F均为真命题

C.命题力与q均为真命题

D.命题与F均为真命题

高频考点五：含有一个量词的命题的否定

典型例题

例题1.（2025•甘肃•模拟预测）若命题〃:立>1,/一3工+2>0,则（）

A.〃是真命题，且I,/-3x+2K0

B.〃是真命题，且「pHxWI,/_3工+24。

C.〃是假命题，且l,x2-3x+2K0

D.〃是假命题，且「〃：女&-3x+2K0

例题2.（2025•黑龙江哈尔滨•三模）命题“王£氏/一3.丫+440〃的否定是（）

A.3XGR,X2-3X+4>0

B.3x€R.x2-3x+4>0

C.VxeR,x2-3x+4<0

D.VxGR,x2-3x+4>0

精练高频考点

1.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）命题“Dx>0,c'+IK3/'的否定是（）

A.3x<0,ev+l>3xB.3x>0,e'+l<3x

C.Hr>0,ev+l>3xD.Vx>0,ev+1>3x

2.（2025•甘肃庆阳•模拟预测）命题“axeaQ，/-拒eQ”的否定是（）

A.HreQQ,/一届QB.3AeQ,x2->/2eQ

C.Vxe（^Q,x2-V2eQD.VxtQQ,/一页任Q

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数

典型例题

例题1.（2025•湖北黄冈•模拟预测）若“/止1<--〃a+2>0”是真命题，则实数，〃的取值范围为（）

A.（-2X/2,2A/2）B.[―2&,2&]C.（-2,2）D.[-2,2]

例题2.（2024•四川攀枝花•一模）命题“土£1<,丁+（4+1口+1<：0〃为假命题，则实数。的取值范围为（）

A.（^o,-3]u[l,+co）B.（F,-3）U（1，E）

C.[-3,1]D.（-3,1）

例题3.（2025高三下•天津•专题练习）命题〃：“土£；,2，使2./-"+1<0〃的否定是

若该命题是假命题，则实数五的取值范围是.

精练高频考点

1.（24-25高三下•江苏苏州•开学考试）若命题“VxwR,x2-2ah6〃>0"是假命题，则〃的取值范围是（）

A.（0,6）B.（f,0）U（6,~H»）

C.[0,6]D.（-co,0]U[6,+oo）

2.（23-24高三上•福建龙岩•阶段练习）若命题,x；+<©-1）玉）+1<0〃是真命题，则实数〃的取值

范围是（）

A.[-1,3]B.（-1,3）

C.（-co,-1）53,*c）D.（-co,-l）o（3,-HO）

3.（2025•辽宁•二模）命题。:“玉«-1,3],*"2x-〃?W0”是假命题，则〃，的取值范围是.

第四部分：典型易错题型

易错点一：忽视了“的”字结构倒装

1.（24-25高三上•广东湛江•阶段练习）不等式工。-2）〈。成立的一个充分不必要条件是（）

A.0<人W2B.0<A<2C.0<A<ID.A<0

2.（24-25高三上•安徽亳州•期末）/-工<0的必要不充分条件是（）

A.x<0B.x>\C.（）<x<lD.0<x<l

3.（多选）（2025高三•全国•专题练习）已知a,〃>0,则使得成立的一个充分条件可以是（）

A.一<—B.a>b—2

ah

C.b2<t72（l+Z）2）D.ln（t72+l）>ln（Z>2+l）

易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）已知”命题亚2|2.S1W0”为真命题，则实数〃的取值范围是

（）

A.[0,1）B.C.（9/D.[i,+co）

2.（23-24高三上•山西太原•阶段练习）3AGR,ar2+6u+l<（）.若此命题是假命题，则实数。的取值集合

是_________

3.（24-25高三上•湖南永州•阶段练习）已知命题3xe（0，”），-4x+2<0为真命题，求实数之的取值

范围.

易错点三：给定的区间是非R区间，不能用△判别法

1.（24-25高三上•安徽亳州•阶段练习）若命题“Dx«0,3]"2-2x-aW0〃为真命题，则实数。的最小值是

（）

A.-IB,0C.1D.3

2.（24-25高三上•陕西西安•阶段练习）若命题”去40,3],丁_2.〃>0〃为假命题，则实数”的最小值是

<）

A.-1B.0C.1D.3

3.（24-25高三上•山西•阶段练习）若命题〃:玉e[-2,2],使得产_2犬-〃,+2m20为假命题，则实数〃?的

取值范围为（）

A.（y,l）D（l,田）B.（田,0）"2,同

C.（e,-4）D（2,e）D.（3,一2）54,也）

易错点四：给定的区间是H区间，可用△判别法

1.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨,期末）已知命题Tx°eR,@+2/-120〃为假命题，则实数。的取值

范围是（）

A.（-L0）C.[-1,0]D.（-1,0]

2.（2025高三•全国•专题练习）若命题“大cR,/—2x+机<（）〃为真命题，则实数打的取值范围为.

3.（2025高三•全国•专题练习）若“VxeR,/一0r一2〃>0〃是假命题，则实数。的取值范围是.

第02讲常用逻辑用语

目录

第一部分：基础知识................................................................1

第二部分：高考真题回顾............................................................2

第三部分：高频考点一遍过..........................................................3

高频考点一，充分条件与必要条件的判断..........................................3

高频考点二：充分条件与必要条件的应用..........................................3

高频考点三：充分条件与必要条件(“是”，“的”)结构对比.........................5

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断.............................5

高频考点五：含有一个量词的命题的否定..........................................6

高频考点六：根据全称(特称)命题的真假求参数.................................7

第四部分：典型易错题型........................................................8

第一部分：基础知识

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

(1)若p=q,则〃是9的充分条件，4是P的必要条件；

(2)若〃=＞夕且夕％P,则〃是4的充分不必要条件；

(3)若〃4。且4=则〃是4的必要不充分条件；

(4)若P=q,则〃是乡的充要条件；

(5)若，4q且%P,则〃是夕的既不充分也不必要条件.

拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件

(1)〃是^的充分不必要条件OF是力的充分不必要条件；

(2)P是9的必要不充分条件Of是的必要不充分条件；

(3)〃是4的充要条件or是力的充要条件；

(4)P是q的既不充分也不必要条件oF是m的既不充分也不必要条件.

拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，以集合B的形式出现，即〃：A={x\pM}fq：B={x\q(x)}t贝ij

(1)若则〃是夕的充分条件；

(2)若则，是〃的必要条件；

(3)若则P是的充分不必要条件；

(4)若则〃是夕的必要不充分条件；

(£)若A=/,则〃是9的充要条件：

（6）若且则〃是^的既不充分也不必要条件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构

（1）〃是乡的充分不必要条件o〃=4且九p（注意标志性词：“是”，此时p与q正常顺序）

（2）〃的充分不必要条件是40夕=〃且〃4q（注意标志性词：“的”，此时〃与＜7倒装顺序）

2、全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做仝称量词，并用符号“D”表示.

（2）存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

（3）全称量词命题及其否定（高频考点）

①全称量词命题：对M中的任意一个孙有成立；数学语言：VXEM，P（X）.

②全称量词命题的否定：

（4）存在量词命题及其否定（高频考点）

①存在量词命题：存在M中的元素X,有p（x）成立；数学语言：*£M，P（X）.

②存在量词命题的否定：VAG

（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于（=）大于＜＞）小于（＜）是

否定词语不等于（。）不大于（V）不小于（N）不是

正面词语都是任意的所有的至多个至少个

否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有

第二部分：高考真题回顾

1.（2024•天津•高考真题）已知a/eR,贝//=少，，是"3“=3,”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数第的大小、判断一般事函数的单调

性

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，/=川和3“=3〃都当且仅当〃=〃，所以二者互为充要条件.

故选：c.

3

2.（2024•新课标口卷•高考真题）己知命题》VXGR,|X+1|>I;命题/BLr>0,x=x,则（）

A.p和g都是真命题B.r，和g都是真命题

c.p和r都是真命题D.和r都是真命题

【答案】B

【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-l、x=\t再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于〃而言，取x=-l,则有卜+1|=0<1,故〃是假命题，力是真命题，

对于4而言，取x=l,则有{=户=1=一故4是真命题，F是假命题，

综上，力和夕都是真命题.

故选：B.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：充分条件与必要条件的判断

典型例题

例题1.（24-25高三下•广东•阶段练习）已知集合A={xeR|/=〃7},8=卜€R|V+xW〃?+2},贝！]“一2£A”

是“An8=A”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式

【分析】令-2eA代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令"?=0可得必要性不成立.

【详解】若—2eA,则6=4,贝!]A={2,—2},5={xeR|x2+A<6}=[-3,2],此时4nB=4,

当加=0时，也能得到=

所以“-2eA〃是“AfiB=A”的充分不必要条件.

故选：A.

例题2.（2025高三上•全国•专题练习）己知〃:。20；4：VxeR.W-ax+a>0,则p是g的条件.（填

“充分不必要〃“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件

【详解】

因为DxeR,x2-o¥+4>0,所以A=（-O）2-4。<0,解得0<〃<4,所以,0<av4,又〃:〃之0,因为

（0,4蜂[0,+B）,故〃是q的必要不充分条件.

精练高频考点

1.（24-25高三下•天津•阶段练习）设。SeR,贝!1“/+〃=〃+〃，是“仁人的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.

【详解】a2+a=b2+b,得/一从+。一人=（"一人）（4+[?+1）=0,得a=。或。+8+1=0,所以"a：+a=6+〃”

不是“〃=»’的充分条件，

反过来，〃=。能推出々2+。=6+/?,"。2+4=/?2+6"是"。="'的必要条件.

所以“〃2+4=32+3，，是“〃=/,，，的必要不充分条件

故选：B

2.（2025高二下•湖南郴州•）。41〃是。<-2〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件

【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】因为{小力}{x\.x<-2]t故“xWl”是。<-2”的必要不充分条件.

故选：B.

高频考点二：充分条件与必要条件的应用

典型例题

例题1.（2025•河北,模拟预测）已知集合人={也2<1},B={^2a<x<2a+\}t若“/e8〃是“reA”成立的

充分不必要条件，则实数。的取值范围为（）

1I（11A「1

A.--,0B.--,0C.0,-D.0,-

L2JI22）L2J

【答案】A

【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求解不等式P<1,得到集合A,再由“/匕6”是“，七A”成立的充分不必耍条件，

分析得到3A,再列出不等式组，求解即可.

【详解】由d<]解得—ivxvl,故A=(-l,l),

因为“七山’是“小人”成立的充分不必要条件，

所以AA,所以有;:解得-白公。，

故选：A.

例题2.(24-25高三上・江苏徐州•阶段练习)已知集合A=[x=<o],B={X|X2-4X<0}.

x-211)

⑴求，(ADB)；

(2)已知集合C={xW+lc<2/〃-l},若“xtC〃是〃X€8〃的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1族(AuB)={x|x«O或XN6)

【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】(1)解分式不等式以及一元二次不等式可得集合A8,再由集合的运算可得结果；

(2)易知CB,对集合C是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可.

【详解】(1)4=卜三|<。，7#-6)«2)<0}=32<]<6},

B=[x\x2-4x<0}={x|x(x-4)<0}={x|O<x<4},

可得Au8={x[O<x<6},

所以0(人口3)={刈_¥«0或"6}.

(2)若“xcC”是的充分不必要条件，则CB,

若C=0,则2m—-,解得〃於2；

2m-\>m+\

若。工0,贝Ijm+12。,且等号不能同时成立，解得2<mW.

2m-1<4

综上可知，实数机的取值范围为"?"今

精练高频考点

1.(2024高三•全国•专题练习)已知集合A=x=W。，的一个必要条件是xNa,则实数〃的取

x+1

值范围为()

A.«<0B.a>2C.a<-\D.a>-\

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式

【分析】由题意可得4=｛乂-1<犬K2）,再由必要不充分条件，求解即可.

【详解】不等式号<0,即解得一1<442,

x+11x+lwO

^A=｛jA-1<x<2｝t

又xeA的一个必要条件是X",则A=｛x|-1vxK2｝是｛小之力的真子集，

对于A,a<0,A=｛x|-1<xW2｝不一定是｛小之。｝的子集，比如〃=时，A错误；

对于B,a>2,A=｛x|-1vx02｝不是｛MxN。｝的子集，B错误；

对于C,a<-\,A=｛x|-1vx42｝是｛小之4的真子集，C正确；

对于D,a>-\,A=｛X-l<xK2｝不一定是｛小"｝的子集，比如。=0时，D错误.

故选：C.

2.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知〃>0,使得不等式T"X<，〃成立的一个充分不必要条件是

X2-2A-3<0,则小的取值范围是.

【答案】〃此3

【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围.

【详解】不等式x12x3<0<=>（xIl）（x3）<0,解得—lvxv3,

依题意，（T，3）（TW,m）,则小之3,此时—m<-3<-1,

所以w的取值范围是"后3.

故答案为：〃后3

3.（23-24高三上•江苏扬州•阶段练习）已知命题pTxeR,』-6x+/=o,当命题〃为真命题时，实数。

的取值集合为A.

⑴求集合A;

⑵设非室集合4=｛d3〃L2KaK〃—｝,若.rwA是xwB的必要条件，求实数，〃的取值范围.

【答案】（l）A=｛a|-34aq3｝；

【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求

参数

【分析】（1）由题意可得方程/6皿/=0有解，根据^上。求解即可；

（2）由题意可得列出不等式组求解即可.

【详解】（1）解：由题意可得方程V-6%+/=。有解，

所以△=36-4°220,解得一3三心3,

所以A=[〃|-3KaK3）；

（2）解：因为xwA是xeB的必要条件，

所以又因为6为非空集合，

3/w-2<m-\

所以卜*22-3,解得白但,

m-\<3

所以实数，〃的取值范围为｛〃?।-:《〃?工与.

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的“）结构对比

典型例题

例题1.（24-25高三上•云南•期中）已知P："（XT〃）（X-〃L2）>0〃是9：”一厂6K0”的必要不充分条

件，则实数机的取值范围为（）

A.（-8,-4]53,+8）B.（-CO,-4）U（3,+»）

C.[-4,3）D.[-4,3]

【答案】B

【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】首先解不等式化简〃、心结合〃是4的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可.

【详解】由“一〃。*一〃?-2）>。，解得c+2或“<，〃，

即P:"x>〃?+2或

由工2_x_6K0，BP（x-3）（x+2）<0,解得-2W3,

所以4：“-2«不<3”,

因为〃是，/的必要不充分条件，

所以6+2<—2或in>3,解得<-4或"？>3,

即实数〃?的取值范围为（—，-4）11（3,y）.

故选：B

本题结构为正序结构，标志词：“是“〃是"的必要不充分条件，翻译为数学语言：4且

“=〃，根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围原则，本题中，"表示的范围比〃表

示的范围小。

例题2.（25・26高三上•全国•课后作业）使成立的一个充分条件是（）

A.—vx<3B.—<x<0C.-1<JV<6D.-3<x<一

222

【答案】B

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【详解】对于选项A,是-；vx<3成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B,

-；<犬<0是-3<工<3成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C,-1<x<6是-;<x<3成立的一个

必要条件，故C错误；对于选项D,-3是-;<x<3成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误.

本题结构为倒序结构，标志词：“的”使〃成立的一个充分不必要条件是（q）,翻译成数学

语言为：q=p且P%q,注意〃与q前后位置要调换。

精练高频考点

7

1.（25-26高三上•全国•课后作业）若〃是“弋<1”的充分不必要条件，则实数人的取值范围是（）

x-1

A.[3,-Ko）B.（3,-H»）C.[1,-Ko）D.

【答案】B

【知识点】根据充分不必要条件求参数、分式不等式

2

【详解】一;<1,当x>l时，x-l>0,即2。一1,解得x>3,故此时x>3符合题意.当x<l时，x-l<0,

22

所以一，<o<l,故x<l符合题意.由三<1得xe（-«U）U（3,+oo）,由题可知闺XN4}是（-oo,l）U（3,y）

x-1x-\

的子集，所以左>3.

2.（25-26高三上•全国•课后作业）若-ivxvl是或x>3的一个既不充分也不必要条件，则实数。的

取值范围是（）

A.{a|aKl}B.C.[a\a>2^D.{*>1}

【答案】B

【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件

【详解】解法1^A={x\-\<x<\}tB={x\x{a^x）3\f由题意可知和BqA都不成立，所以.

解法2若a=l,贝1」{x|-l<%<1}1卜卜卜1或°3},故不成立，排除A,C；若4=2,贝IJ

{x|-l<x<1}「卜卜,或*3},故不成立，排除n

3.（2025,广西桂林•一模）”玉wR,使ad-4x-3>0”的一个充分不必要条件是（）

八4

A.。40B.a<——

4-

C.a>\D.。<一］或。“

【答案】C

【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数

【分析】分〃=0、。>0、。<0三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据

集合的包含关系判断即可.

【详解】当。=0时，Tx—3>0有解；

当〃>0时，二次函数），=杰-4%-3开口向上，所以苏-4x-3>0有解；

当〃<0时，公2_叔_3>0有解，则卜二㈠〜乂63”>0,解得多公。；

a<03

4

综上可得。>-铲

因为［1,+O0）真包含于，£+8,

所以“去GR,使加一曲一3>0”的一个充分不必要条件是a>\.

故选：C.

4.（2025•甘肃白银•模拟预测）使不等式/+3工©成立的一个充分不必要条件为（）

A.l<x<3B.0<x<3C.x>3D.1cx<3

【答案】D

【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式

【分析】解不等式V+3W4X可得1WXW3,结合充分条件及必要条件的定义判断结论.

【详解】解不等式V+3W4X,可得1JW3,

所以不等式X2+3<4x成立的一个充分不必要条件必须为卜|1<A<3}的非空真子集，

所以可以排除选项A,B,C,

因为由1<工<3可推得1WxW3,由1WxW3不能推得1cx<3,

所以使不等式/+344.1成立的一个充分不必要条件为l<x<3.

故选：D.

5.（24-25高三上・北京•阶段练习）若小>1或不<-3〃是“xv”的必要不充分条件,则实数”的最大值是—.

【答案】-3

【知识点】根据必要不充分条件求参数

【分析】设A=卜卜>1或不<-3},B={x\x<a]f由题意可得B是A的真子集，即可得实数。的取值范围,

可得，的最大值.

【详解】设4={小>1或彳<-3},A={x|x<a},

因为“x>1或xv-3〃是"x<”的必要不充分条件，

所以。是A的真子集，则。W-3,

即实数。的最大值是-3.

故答案为：-3.

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断

典型例题

例题1.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）己知命题P：DxwR,11-xlVl,命题“：太>0,f=x,则（）

A.〃和“都是真命题B.和^都是真命题

C.〃和F都是真命题D.-P和r都是真命题

【答案】B

【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假

【分析】判断出〃、9的真假，即可得出结论.

【详解】对于命题“，不妨取x=3,贝!J|l-3|>1,则命题P为假命题，

对于命题“，由f=工可得工=0或x=l,则命题9为真命题，

因此，和“都是真命题.

故选：B.

例题2.（2025•江西宜春•模拟预测）已知命题P：VXGR,21>XS命题4：玉x+），<2历，则

（）

A.，和“都是真命题B.r，和“都是真命题

c.P和F都是真命题D.力和r都是真命题

【答案】B

【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称〔存在性）命题的真假

【分析】先判断命题〃国的真假，再逐项判断即可.

【详解】对命题P：当X=-1时，2T>（-1）2不成立，所以命题〃为假命题，f为真命题；

对命题夕：当x=y=T时，％+y<2而