2026年中考数学二轮复习 高效培优练02 统计与概率解答题原卷版

专题02统计与概率解答题

A题型01统计图表信息提取与补全＜

》技巧提炼

1.读图重点：

(1)条形图：关注“高度”对应频数，“横坐标”对应类别；

(2)扇形图：关注“圆心先”或“百分比”对应部分与整体的关系；

方法⑶折线图：关注“趋势”（上升/下降/平稳）及“拐点”（数据突变点）；

(4)频数分布直方图：关注“组距”、“频数”。

2.补全步骤：

(1)第一步：找“突破口”（如扇形图中已知的百分比、条形图中已知的频数）：

(2)第二步：计算总数量（总数量=某部分数量/对应百分比）；

(3)第三步：补全缺失数据（如用总数量减去已知部分数量得未知部分数量，再L算）。

易借1.混淆“频数”与“频率”（频数是具体个数，频率是比值）；

2.扇形图中计算总数量时，误将“部分数量”与“百分比”颠倒；

辨析

3.频数分布直方图中，组距计算错误（如组距=上限-下限，需注意“含下限不含上限”的规则）。

♦例题剖析♦

【典例01】（2025•河南洛阳•三模）为了解甲、乙两校学生的中华文化知识水平，从两校各随机抽取了

30名学生进行中华文化知识竞赛，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

甲校30名学生的成绩:56,69,69,76,76,77,77,78,79,83,83,83,84,86,87,87,87,88,89,89,89,89,89,89,

92,92,92,93,94,98；

乙校30名学生的成绩:57校S3,71,72,73,76,79,80,83,84,8454,85,85,87,87,88,89,89,90,90,91,92,

92,92,92,92,94,94.

各分数段条形统计图：

（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；

（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格:

平均数中位数众数

甲校84a89

乙校83.286b

a=,b=；

（3）请判断哪所学校学生的中华又化知识水平更好一些，并说明理由.

【典例02】（2025・安徽滁州•一模）某校组织开展主题为“节约用水，共建绿色校园”的社会实践活动.对

全校七年级和八年级学生开展节约用水知识测试，随机在两个年级中分别抽取20人的测试成绩进行统

计分析（满分为100分）.测试成绩为W，并绘制相关统计图（不完整），请你根据相关信息完成下

列任务：

信息1

七年级成绩:84,78,98,92.98,92,69,92,89,89,85,84,83,79,92,79,83,78,92,58.

信息2

八年级成绩在804x<90之间的数据为:89,88,85,81.

信息3

七年级抽取同学的成绩频数分布直方图和八年级抽取同学的成绩频数分布扇形统计图如下:

匕年级抽取同？的成绩%数分付人年级抽取同学的或缄扇形统计图

（1）填空：〃=,并补全七年级抽取同学的成绩频数分布百方图:

（2）请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表:

平均数众数中位数方差

七年级84.7①________84.567.21

八年级83.796②________183.68

（3）若该校七年级和八年级分别有学生680人，测试成绩90分以上（含90分）为优秀，则两个年级达到

优秀的人数•共大约有多少人?

♦巩固训I练

【训练01】（2024•山西朔州•二模）五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神•展青春风采”的教

育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩

（百分制）统计如下：

七年级：98968685849477695994

八年级：99967382967965965596

请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断.

（1）数据整理：根据上面得到的两组数据，分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成绩的

频数分布直方图.

七年级抽取学生的测试成绩统计图八年级抽取学生的测试成绩统计图

（2）数据分析•：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示.

年级平均数/分中位数/分方差

七年级a85.5144.36

八年级83.7b215.21

表格中。的值为,〃的值为.

⑶结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平均数”“中

位数"“方差''这三个统计最中选择两个统计量进行评价）

【训练02】（2023・湖北襄阳•一模）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指

导学生积极参加劳动教育.该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家

庭劳动次数情况，开展了一次调杳研究，请将下面过程补全.

（1）收集数据

①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面抽取方法中合理的.

A.从该校七年级I班中随机抽取20名学生

B.从该校七作级女生中随机抽取20名学生

C.从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生

②通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：3,1,2,2,

4,3,3,2,3,4,3,4,0,5,5.）,6,4,6,3

（2）整理、描述数据

分组频数

0<x<22

24x<410

4<X<66

6<x<82

（3）分析数据

:中位数।众数।

3.25ab

Lf频数/人

2468次数/次

根据以上信息，解答下列问题：

①补全频数分布直方图；

②填空：4=,b=；

③该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的

学生人数有人.

【训练03】（2025・四川绵阳•中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富

多彩的体育活动.为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数

（次数用式表示，单位：次）：将其分成以下五组：

60<x<90,90<x<I20,120Kx<150,150<x<l80,180<x<210,并绘制成不完整的频数分布直方图，部

分信息如下：

1分钟的跳绳次数在90S。v120中的具体数据为92,97,99,103,105,105,105,110,113,113,

114,115,115,117,119.

根据以上信息，解答下列问题:

(1)1分钟的跳绳次数在9(”x<12()范围内的众数是次，中位数是次;

(2)补全频数分布直方图；

(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数.

I►题型02统计量计算与数据分析<

》技巧提炼

1.统计量计算：

(1)平均数：算术平均数=(数据之和)+数据个数；加权平均数=(各数据X权重)之和土

权重之和；

(2)中位数：将数据从小到大排序，若数据个数为奇数，取中间数；若为偶数，取中间两个数

方法的平均值；

(3)众数：数据中出现次数最多的数；

总结(4)方差：每个数据与平均数的差的平方的平均值，方差越小，数据越稳定。

2.数据分析：

(1)集中趋势：关心“平均水平”用平均数，关心“中等水平”用中位数，关心“普遍情况”

用众数；

(2)稳定性：用方差判断。

1.计算中位数时未排序(如“数据3,1,2,直接取中间数2,未排序会导致错误”)；

易错

2.混淆“众数”与“出现次数”(众数是数据本身，不是次数，如“数据2出现3次，众数是2,

不是3")；

辨析

3.方差计算时，忘记“除以数据个数”。

♦例题剖析♦

【典例01】(2024•四川南充・中考真题)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为

选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩

(百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分.李林综合成绩为()

A.170分B.86分C.85分D.84分

【典例02】(2025・江苏宿迁•中考真题)某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩

按6:4计算最终成绩.小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分,则小李的最终成绩为分.

♦巩固训练，

【训练01】（2024•四川德阳•中考真题）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三

项水平测试，综合成绩按照笔试占30%,面试占30%,试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图

所示，则她的综合成绩为

【训练02】（2024•新疆•中考真题）学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复

试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表:

项目

口语表达写作能力

应试者

甲8090

乙9080

学校规定口语表达按70%,写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取.通过计算，你认为

同学将被录取.

【训练03】（2023,福建•中考真题）某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、

工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示:

项目

综合知识工作经验语言表达

应聘者

甲758080

乙858070

丙707870

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5:2:3的比例计算其总成绩，并录用总成

绩最高的应聘者，则被录用的是

A题型03用样本估计总体＜

分技巧提炼

1.样本估计总体的核心逻辑："样本具有代表性”，即样本的特征能反映总体的特彳E。

方法2.常见应用：

（1）估计总体数量：总体数量=（样本中某类数量/样本总数量）X总体总数量；

总结（2）估计总体频率：总体频率比样本频率；

（3）估计总体平均数：总体平均数，样本平均数。

易错1.样本不具有代表性；

2.计算时混淆“样本容量”与“总体容量”；

辨析3.误将“样本频率”当作“总体概率”。

♦例题剖析♦

【典例01】（2025•四川攀枝花•中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300

条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘.过几天后从池塘中拼出200条鱼，发现当中有20条

做过标记.就可估计池塘里鱼的数目为（）

A.3000B.4000C.6000D.6000（）

【典例02】（2025•黑龙江哈尔滨•中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生

的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测

试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.

/组学生跳绳次数（单位：次）如下：657073808595969698

组别次数x（单位：次）频数

力组60<x<1009

4组100^x<140m

C组140<x<18012

。组180Kx<2203

Dfll

根据以上信息I可答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2/组学生跳绳次数的中位数是，机的值是：

⑶若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100Vx<140范围的学生有多少名.

♦巩固训练》

【训练01】（2024•青海西宁•中考真题）2024年5月9日,以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的

第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕.在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知

识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩

进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（）

A.本次调查的样本容量是50。

B.本次调查的学生成绩在7a80分之间的人数是10

C.本次调查的学生成绩的中位数落在80〜90分之间

D.估计500名参赛学生中成绩在80分以卜.的人数是70

【训练02】（2025•山东德州•中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生

实施了“百口提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用X（单

位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：x230；良好：25<x<30：合格：20<x<25；不合格：x<20.

为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述

和分析，部分信息如下：

信息一：3月份测试成绩如下：

17332827351921222522

25271927182728293132

信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下:

信息三：测试成绩对比表如下:

月份平均数/个众数/个优秀率

3月25.6ab

6月27.729C

请根据以上信息；完成下面问题：

⑴补全条形图；

(2)表中的［=_,b=_,c=_.

(3)已知该校七年级共40()人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？

【训练03】(2025•四川・中考真题)为了落宾国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提

升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课

程.受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取

了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解决下列问题：

⑴①此次调查一共抽取了名学生;

②请将条形统计图补充完整；

③扇形统计图中“数字艺术''课程对应的扇形圆心角为度；

（2）若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数.

A题型04简单事件概率计算・

》技巧提炼

1.事件类型判断：

(I)必然事件：一定会发生的事件（概率=1,如“太阳从东方升起”）；

方法(2)不可能事件：一定不会发生的事件（概率=0,如“掷骰子得到7点”）；

(3)随机事件：可能发生也可能不发生的事件（0〈概率＜1,如“掷硬币正面朝上”）。

然2.概率计算：

(1)理论概率：P（A尸所有等可能结果数♦事件A包含的结果数

⑵用频率估计概率：当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近

易错1.忽略“等可能性”；

2.混淆“必然事件”与“随机事件”；

辨析3.计算时遗漏”等可能结果”。

♦例题剖析，

【典例01】（2025•山东潍坊•中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时,

均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（）

【典例02】（2025•黑龙江哈尔滨•中考真题）桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2

张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是.

♦巩固训练》

【训练01】（2025•四川攀枝花•中考真题）在分别写有数字1到10的10张卡片中,随机地抽出1张卡

片，抽到卡片上的数字是质数的概率是.

【训练02】(2025•江苏镇江・中考真题)如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色.任

意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的暇率是

【训练03】(2025•山东济南•中考真题)在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些

球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为

A题型05两步/多步概率计算(列表法/树状图法)<

》技巧提炼

1.方法选择：

(1)两步试验：用列表法(清晰呈现所有等可能结臭)；

(2)三步及以上试验：用树状图法(层次分明，不易遗漏)。

2.解题步骤：

(1)第一步：确定“试验步骤”；

方法

(2)第二步：列出所有等可能结果(列表或树状图)；

(3)第三步：找出“符合条件的结果数”；

总结

(4)第四步：计算概率

3.注意事项：

(1)有放回试验：每次试验结果不变：

(2)不放回试验：每次试验结果减少；

(3)有序与无序：中考中-•般按“有序”计算。

易借1.未规范使用列表法或树状图；

2.混淆“有放回”与“不放回”；

辨析3.计算时遗漏”符合条件的结果”。

♦例题剖析

【典例01】(2025•山东东营•中考真题)盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海匚、红色刘集、

孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同.两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），

则他们抽到的卡片图案相同的概率为（）

【典例02】（2025・四川绵阳•中考真题）水是生命之源.水分子的化学式为H?。，即1个水分子HQ

由2个氢原子〃和1个氧原子。组成.现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有“，H.O,O图案,

小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率

是.

♦巩固训练♦

【训练01】（2025•山东德州•中考真题）把英文单词“尸EOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片

上，每张卡片上只写其中的1个字母.然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡

的概率是.

【训练02】（2025・江苏南京•中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙

袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1,2和4,先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋

子中随机取出2个小球.

（1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是；

（2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？

【训练03】（2025•江苏淮安•中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美FF力隹”“安”

四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.

（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽至『'淮"的概率是二

⑵一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”

的概率.

A题型06概率与统计综合应用■

♦技巧提炼

1.解题流程：

（1）第一步：处理统计数据（如补全统计图表、计算统计量）：

方法（2）第二步：确定概率模型；

（3）第三步：计算概率（用统计结果作为“等可能结果数”）。

总结2.常见场景：

（1）结合条形图/扇形图计算概率；

（2）结合频数分布直方图计算概率。

1.统计数据错误（如“补全统计图表时，总数量计算错误，导致后续概率计算错误”）；

易错2.概率模型建立错误（如“将'喜欢篮球的学生数‘当作’等可能结果数'，而非'总学生

数，”）；

辨析3.混淆“统计结论”与“概率结论”（如“统计中喜欢篮球的学生占20%,但概率是指'随机选1

人喜欢篮球的可能性'，而非'一定有20%的人喜欢篮球'”）。

♦例题剖析

【典例01】（2025•山东东营・中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为

了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10

名学生，数据分析如下.

（一）收集与整理

农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：

64,74,78,82,84,86,86,92,96,98；

城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：

62,70,79,83,85,87,87,90,97,100.

（-）描述与分析

城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：

统计量平均数中位数众数方差

农村84a86C

城区8486b118.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）直接写出表格中心b、c的值，,/?=

(三)迁移与应用

(2)若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画

树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；

(3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提

出一条合理化建议.

【典例02】(2025•山东滨州•中考直题)2025年6月6口是第30个全国“爱眼日”，为了推强学生的护

眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛.以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程.

【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.

【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统

计整理，绘制出如下不完整的统计表：

组别分数频数百分比

第1组51Vx<61a5%

第2组61<x<711()tn

第3组71vx<811515%

第4组81Vx<914040%

第5组91<x<101bn

【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图.

【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：

([)〃]=_,〃=」请将频数分布直方图补充完整；

(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第_组的分数段内；

(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识

达人”的人数.

♦巩固训练

【训练01】（2025・陕西・中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当

天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分,

满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：

匕年级10名学生成捕统计图/1凶级10名学生成绩统计图

・*…磬沪般•..尊

100步竽等95学电l(X)2

y*90*90：

X/U•可―on

vc

O?©J■0Z■

*

nU

1

U1，JV，＜6।/U13*㈠d6m

平均数中位数方差

七年级a95S；

八年级92.5bS；

根据以上信息，解答下列问题：

⑴表格中的。=，h=,SjSj（填或“=”）；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；

（3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等

级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.

【训练02】（2025•江苏淮安•中考真题）为了解某品牌4、8两种型号扫地机器人的销售情况，商场对

这两种型号的扫地机器人I〜8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析.

数据整理：1〜8月份4、B型号扫地机器人销售情况条形统计图

数据分析:

平均数中位数众数

力型号a1412

〃型号12bC

请认真阅读上述信息，回答下列问题：

⑴填空：q=_,b=_,c=_.

(2)请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由.

【训练03】(2025・海南•中考真题)2025年初，海南省教育，亍印发了《关于优化义务教育学校学生作息

时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动.某校为了解学生对本校大课间活动实施情

况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查(满分10()分，划分为力、B、C、D、E五个

等次)，统计结果如下(其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示)：54,71,57,▲,65,

67,73,76,76,77,79,87,88,87,87,82,89,★,92,94.

数据扇形统计图

分数段等次人数

90<x<100Aa

80Vx<90B6

70<x<80C6

60<x<70Db

0<X<60E2

(1)扇形统计图中加=_,统计表中

(2)这20个数据的众数为「中位数为」

(3)若该校八年级共有400人,请估计评价结果为Z”等次的八年级学生有—人;

（4）为更好地开展大课间活动，请提•条合理建议.

I►题型07游戏公平性与概率决策・

雕

1.游戏公平性判断：

（1）若双方获胜的概率相等（如“甲获胜概率=1/2,乙获胜概率=1/2”），则游戏公平；

（2）若双方获胜的概率不相等（如“甲获胜概率=1/3,乙获胜概率=2/3"）,则游戏不公平。

方法

2.决策方法：

（1）选择获胜概率大的方案（如“方案A获胜概率=3/5,方案B获胜概率=2/5,选择方案

总结

A”）；

（2）调整规则使游戏公平（如“甲获胜概率=1/3,乙获胜概率=2/3,可将乙的奖励减少一半，

使双方期望收益相等”）c

1.计算错误（如“树状图列出的结果数错误,导致概妥计算错误,进而判断错误”）：

易错2.忽略“等可能性”（如“游戏规则中，双方的机会天均等，如'甲掷骰子，乙猜点数，甲可以

选点数，导致甲获胜概率大'”）；

辨析3.决策时未考虑“概率大小”（如“认为'小概率事件不会发生'，但实际上小概率事件仍有可

能发生”）。

♦例题剖析，

【典例01】（2026・湖北鄂州・模拟预测）下列说法正确的是（）

A.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件

B.“明天降雨的概率为g”，表示明天有半天都在降雨

C.任意画一个三角形，其内生和是36（）。是必然事件

D.通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是大公平的

【典例02】（2024•山东青岛•中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，

九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面

数字分别为1，2,3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先

从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,

则小明胜；若和小于4,则小红胜；若和等于4,则重复上述过程.

（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“I”的概率是；

(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

♦巩固训练

【训练01】(2024・甘肃・中考真题)在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球

上分别标有数字1，2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出I个小球，若

两球上的数字之和为奇数，则甲胜：若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.

(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.

【训练02】(2026・陕西西安・模拟预测)如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘,

A盘被等分为四个扇形，分别标有数字1,2,3,5；B盘中圆心角为120。的扇形上标有数字4,其余

部分标有数字3.他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动A,B转盘各一次，转

用停止后,将A,B转桶的指针所指数字相乘(指针指向两个扇形的交线时，重新转动转智),若积为

偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜.

(1)随意转动B盘，指针指向3的概率为:

(2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由.

【训练03】(2026•陕西西安•一模)如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌

面上

(1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是；

(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获

胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小凫再从剩余的3张卡片中也抽出一张

卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画

树状图或列表法的方法说明理由.

A题型08统计结论辨析与说理•

分技巧提炼

1.辨析步骤：

（1）第一步：明确结论中的“关键词”（如“平均K平”“稳定性”“普遍情况”）；

（2）第二步：对应统计量（如“平均水平”对应平均数，“稳定性”对应方差，“普遍情况”

对应众数）；

方法（3）第三步：验证结论是否符合数据特征（如“结论说‘甲班成绩比乙班好'，需比较两班的

平均数、中位数或方差”）o

2.说理技巧：

（1）用“数据支持”（如“甲班平均数8（）分，乙班平均数75分，所以甲班平均水平更高”）；

（2）用“统计量解释”（如“甲班方差10,乙班方差20,所以甲班成绩更稳定”）；

（3）用“概率说明”（如“样本中喜欢数学的学生占20%,所以总体中喜欢数学的学生约为

20%”）o

1.结论与数据不符（如“数据中说‘众数是3',结论说'中位数是3',不符合数据特征”）；

易错

2.说理不充分（如“结论说‘甲班成绩好’，但未说明是用平均数还是中位数，理由不具体”）；

3.混淆“相关”与“因果”（如“数据显示'冰淇淋铛量与溺水人数正相关'，但不能说‘冰淇

辨析

淋销量导致溺水’，可能是因为夏天温度高”）。

♦例题剖析，

【典例01】（2025•内蒙古通辽•三模）为提升学生的文化认同感，弘扬中华民族传统文化，某校举办了

“诗意校园•魅力诗词”古诗词知识竞赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行

整理、描述和分析（分数用x表示，总分为100分，共分成四组：A.60Mx<70；B.70<x<80；

C.80A<90；D.90<x<100,其中分数不低于80为优秀）.下面给出部分信息:

八年级20名学生的竞赛成绩为：

67,69,72,72,75,77,78,79,85,85,86,90,91,92,92,92,95,96,98,99.

九年级2（）名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：83,83,88,88,88,89.

八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表

年级八年级九年级

平均数84.584.5

中位数85.5a

众数b88

优秀率60%C%

九”级所抽学生的克和成格

取形统汁图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中，。=_,b=_,c=_；

(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的古诗词竞赛成绩较好？请说明理由(写

出一条理由即可)；

(3)赛后，学校准备从九年级学生中竞赛成绩位于前四名的甲乙丙丁4人中随机选取2人作古诗词积累的

经验交流，请用列表法或画树状图的方法，求选中的2人恰好是丁和乙的概率.

【典例02】(2024•安徽羌湖•三模)为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织；、八年级学

生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取20名学生，并对他们的得分情况进行整

理、描述和分析.分数用〃?表示，共分为三个等级：优秀(90WW100),良好(70Ww<90),不合格

(“<70).下面给出了部分信息：

①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于8S分的数据为85,88,89,89,96,96,

96,98,100；

②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为72,77,81,83,84,85,87

抽收的八年级学生”、仪知.

比•成缕阐形-il图

年级平均数中位数众数优秀等级所占百分比

七年级84.684a25%

八年级84.6b9845%

根据以上信息，解答下列问题

(1)4=,b=,x=.

(2)根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好.请说明理由.(写出一条理

由即可)

(3)学校计划从成绩优秀的5名学生(分别记为甲、乙，丙，丁、戊)中随机选取2人进社区宣传环保知

识，请用列表法或画树状图法求恰好选中丁、戊的概率.

♦巩固训练》

【训练01】(2024•河南开封•二模)2024年3月25日，是第29个全国中小学生安全教育日，为切实增

强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力,

某校在3月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情

况.学校分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理

和分析•，研究过程中的部分信息如下：

信息一：安全知识测试题共10道题目，每题10分：

信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：

信息三：八年级平均成绩的计算过程如下:

60x3+70x17+80x3+90x9+100x8

3+17+3+9+8―

信息四：

统计量平均数中位数众数方差

九年级82.580n118.75

八年级80.5m70174.75

根据以上信息，解答下列问题:

⑴加=_，，7=_；

(2)你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由：

(3)在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为80分，你认为两人在各自年级中谁的成绩

排名更靠前？请说明理由.

(4)学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从人交通安全，B.食品安全，C.消防安全，

。.网络与信息安全，E.心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择。

和E的概率.

【训练02】(2024•山东潍坊•二模)为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发

生，市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险会避险”的交通安全主题宣传教育活动.为检验

学习效果，组织学生进行相关知识竞赛，从4B两校各随机抽取30名学生的成绩(满分100分)，对

数据(成绩)进行了整理和分析.

数据收集：力校成绩在80c<90这•组的数据是：81,82,83,84,84,85,85,85,85,86,87,89.

数据整理：4、B两校学生成绩的频数分布统计表.

学校

50以下50A-<60605x<7070x<8080Mx<9090<x<l00

组别

A1364124

32679m2

数据分析-：4、B两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表.

学校

平均数众数中位数方差

统计量

A75.985n185.4

B67.87068161.1

根据以上信息，回答下列问题：

(1)加=_，〃=」

(2)若将力校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在80Sx<90这•组的扇形的圆心角是多少度？本次

测试成绩更整齐的是哪个学校？请说明理由.

(3)在此次测试中，某学生的成绩是76分，在他所属学校排在前15名，该学生是哪个学校的学生？请说

明理由.

(4)48两校要举行升级赛，从样本中两校成绩均在904x900范围内的学生中选取两名参加比赛，请

用列表法或画树状图的方法求出所选2人来自同一学校的概率.

【训练03】（2023•重庆九龙坡•二模）特种部队是世界些国家军队中，担负破袭敌方重要的政治、经济、

军事目标和遂行其他特殊任务的部队，某特种部队在今年4