2026年高考数学一轮练习：一元二次方程、不等式（附答案）

§1.6一元二次方程、不等式

分值：100分

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2024•威海模拟）设集合A={x"l|21},8=3f*2v（）},则"行等于（）

A.（-2,0）0）

C.（-2,0]D.（-l,0]

2.若命题“m.r£R,-f-2g+2〃7-320”为真命题，则〃?的取值范围是（）

A.-1W〃?W3B.-3W〃?W1

或623DJ〃W-3或1

3.设p：实数机满足q：一元二次方程f+Bx+m+lR有两个负数根，则〃是9的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（2025・桂林模拟）已知实数a为常数,且a#0,函数危）=（的1乂④〃）,甲同学：加）乂）的解集为（-8,a）u

（；，+8）；乙同学：yw<o的解集为（-8,a）uQ,+8）；丙同学：/U）存在最小值.在这三个同学的论述

中，只有一个是错误的，则。的取值范围为（）

A.a<-1B.-]<a<0

C.O<d<lD.a>l

5.当入E（-l,1）时，不等式2代依次0恒成立，则k的取值范围是（）

O

A.（-3,0）B.[-3,0）

C.（一3,0D.（一3,1

6.已知关于X的不等式『3十1<0的解集为"hl<A<A2），其中XI中2，旦51—十（句-1）?=3,则a等于

（）

A.-lB.1

C.3D.-1或3

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.关于x的不等式加+/»+cvO的解集为（-1,2）,则下列结论正确的是（）

AavO

B.关的不等式云+c>0的解集为(-8,-2)

CAa-2b+c>0

D.关于x的不等式cf-法+»0的解集为(一1,1)

8.(2024・南平模拟)下列命题正确的是()

A.若关于x的方程寸+32-1)工+〃-2=0的一个根比1大且另一个根土1小，则。的取值范围是(-2,I)

B.若关于x的不等式d-h+hl<0在(1,2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-8,3)

C.若关于x的不等式办-/»0的解集是(1,+8),则关于x的不等式笔>0的解集是｛x|x>2或*-1｝

X-2

D.若工+[=1(4>0,〃>0),则祗的最小值为:

aba4o42

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.甲、乙两人解关于x的不等式/拓x+c<0,甲写错了常数儿得到的解集为(-3,2),乙写错了常数c,得

到的解集为G3,4).那么原不等式的解集为.

1().定义：若一个〃位正整数的所有数位上数字的〃次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所

有一位正整数的自恋数组成集合A,集合B二卜|兰pel,工工2且乂€旷｝,则ADB的非空子集个数

为.

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知不等式a』-3x+2>0的解集为｛x|x<l或x>/”.

⑴求a,8的值；(6分)

(2)解不等式ax1-(am+b)x+bm<0.(l分)

12.(14分)设函数公尸加+人^⑶关于x的一元二次不等式/(%)>0的解集为(-3,1).

(I)求不等式x1+ax+b>0的解集；(6分)

(2)若力£[-1,3],段)力加，求实数机的取值范围.(8分)

10能力拓展

13,15,16题每小题5分，14题6分，共21分

13.（2025・八省联考）已知函数段）=4"卜2/.若当人>2时，加）>0,则实数。的取值范围是（）

A3,1]B.[-2,1]C.[-l,2]D.[-l,+8）

14.（多选）已知kwz,若关于x的不等式f—xaa-i）只有一个整数解，则k的可能取值为（）

A.-lB.lC.2D.3

15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数产国，其中⑶表示“不超过x的

最大整数”，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828—3.写出满足a=1的一个x的值:：关于工的方

程[告卜的解集为.

16.（2025•日照模拟）若存在实数〃?，使得对于任意的[a,b],不等式〃f+sinxcosx<2sin（x-恒成立,

则当入〃取得最大值时，卜in半卜.

答案精析

1.D

2.D|由题意知不等式-『-2〃a+26-320有解.

即不等式.F+2〃?X-2，〃+3W0有解.

设贝幻=『+2/心-2〃?+3,

则函数/U）的图象开口向上，

要使不等式yu）wo有解，

则函数大幻的图象与X轴有交点，

则』=4序-4（-2闭+3）20，化简得〃F+2〃I-320,

解得泊W-3或m21.]

3.A[命题q：一元二次方程/+3K+"7+1=O有两个负数根，

_.（Zl=32-4xlx（7n+l）>0,

所以ll《

（771+1>0,

解得-1<〃K三,

4

所以P是4的充分不必要条件.］

4.C［若甲正确，则。>0且上,

a

则(Xa<l;

若乙正确，则a<0且a<-,

a

则。<-1;

若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即4>0；

因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故

5.D［当上0时，满足不等式恒成立；

当AHO时，令府忆去2-履［,则九K)<0在(-1,1)上恒成立，

8

函数;U)图象的对称轴为x=^,

当Q0时4X)在(_1,1)卜单调递减，在G，1)卜单调递增，

/(-I)=2k+k-l<0,

则有

/(I)=2/c-k-1<0,

解得04或；

o

当&<。时，火幻在(一1,3上单调递增，在(;，1)上单调递减，

则有

解得-3<k<0.

综上可知，A的取值范围是(-3,31

6.C［关于4的不等式』-办+1<0的解集为{小1<JV<X2},则X［和<2是关于X的方程X2-奴+1=0的两根，

则4寸2.4>0,

解得a>2或a<-2,

Wxi+1=CLV|,X1+\=aX2,X\+X2=a,X\X2=\,

22

(%i—1)+(X2-l)=xl-2x\+\+X2-2x2+\=axi-2x\+ax2-2x2=(a-2)(x\+x2)

=a(a-2)=3,

即a2-2a-3=0,

解得0=3(。=-1舍去).]

7.BC[由已知可得〃>()且-1,2是方程加+句:+(=0的两根，所以A选项不正确；

由根与系数的关系可得

[-1+2=

-1x2=-.

Va

解得b=-a,c=-2a,

则不等式bx+c>0可化为-ar-2»0,即x+2<0,

所以工<-2,所以B选项正确；

因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0,所以C选项正确；

不等式cjr-bx+a>0可化为々ad+av-a〉。,即2r-x-1<0,

解得-沁<1,

故不等式cfdx+4>0的解集为(-?1),所以D选项不正确.]

8.ACD[对于A,二次函数应丫)=9+(/_1)]+。-2的图象开口向上，

若关于x的方程f+(/-l)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，

则川)=1+(，/-1)+。-2=。2+〃_2<0,解得,故A正确；

对于B,若关于人的不等式心+A-lvO在(1,2)上恒成立，

则只需,即k>x+\在(1,2)上恒成立即可,

则实数A的取值范围是223,故B错误；

对于C,若关于x的不等式的解集是(1,+°°),则t7>0,a=h,

所以关于x的不等式空鸟或»2，故C正确；

X-2X-2

对于D,若X=13>0,b>0),则*=122区,

ababy]ab

解得!W；,当且仅当a=2"=4时等号成立，

ab2

所以+3)2-2=1=21-三，当且仅当a=2,44时等号成立，故D正确J

Q，O'\ab/abab22

9.(-2,3)

解析依题意知，c=-3X2=-6,f=-3+4=l,即b=-\,因此不等式F+bx+cyO,

即JT-X-6<0,解得-2<K3,

所以原不等式的解集为(-2,3).

10.31

解析

当日时，鼻口.7＜1,

2-X

则,

当x＞2时，不等式二一5二＜1化为r-4x-5＞0,解得第＞5,

2-x

所以8={小＞5,4£1＜或户1},

又？H1,2,3,4,5,6,7,8,9),

所以AnB={l,6,7,8,9),它的子集有32个，非空子集有31个.

II.解⑴因为不等式加-3户2＞0的解集为{小＜1或.0?},

所以.n=l,x2=b是方程ar-3x+2=0的两个根，

(l+b=-,

所以|%

lxb=~,

(2)由(1)知原不等式为

«-(〃2-2)工+2"?<0,

当〃?＞2时，不等式解集为32W〃?}；

当〃尸2时，不等式解集为0；

当m＜l时，

不等式解集为3〃?＜斥2}.

12.解(1)因为一元二次不等式人幻＞0的解集为(-3,1),

f--3+1=—

所以-3和1是方程加+加:+3=0的两个实根，贝什o

b3x1=.

解得”T，

5=-2.

因此所求不等式即为f-x-2>0,解集为{.巾《1或Q2}.

(2次〃浸可化为(川+1"忘21+3,当40时显然成立；

2

当％W0时，不等式可化为〃?+1・：+3(3对W0-1,0)U(0,3］恒成立，令《£(-8,-iju［1,+00),

贝lj"7+1W-2/+3/2,

当仁：，即x-3时，

2

(-2t+3t)min=-1,

所以加+1,即/nW二.

33

13.B［f(x)=x\x-a\-2a2

_(x2-ax-2a2,x>a,

l-x2+ax-2a2,x<a,

若a>2,当2<x<〃时人工尸-亡十&*-2/,此时关于x的方程-f+orZ/R的A=a2-4x2a2=-lcr<0,

所以我幻<0,不符合题意：

若0*<2,当x>2时<x)=Pax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,

则2aW2,即OvaWl;

若折口,当x>2时<x)=寸>0恒成立，符合题意：

若。<0,当x>2时«0=小-g-242二(『24)(X+。)>(),解得x>-a,

则-aW2,即-2Wa<。

综上,-2W〃W1,故a的取值范围是［-2』］.］

14.AD［关于x的不等式/一14(大一1),

即x2—(k+l)x+A<0,

即(x—l)(x—A)<0,

当攵=1时，(工一1)(工一6<0即。一1尸<0,

解集为空集，不符合题意；

当k>\时，。一1)(工一2)<0的解满足\<x<k,

要使得关于工的不等