导数压轴大题：证明不等式（原卷）

5J2导数压轴大题：证明不等式

模块一：基础知识...................................................2

考点一：导数证明不等式常见策略..................................2

考点二：极值点偏移证不等式......................................2

考点三：导数证明三角函数型不等式................................3

考点四：韦达定理证明不等式......................................3

考点五：切线放缩法证明不等式....................................3

考点六：数列不等式证明策略......................................3

模块二：题型分类...................................................4

题型一：不等式证明常规方法......................................4

题型二：单变量构造..............................................6

题型三：双变量构造..............................................7

题型四：虚设零点证不等式........................................8

题型五：同构型不等式证明.......................................10

题型六：凸凹转化证明不等式.....................................11

题型七：三角函数型不等式证明...................................12

题型八：切线放缩型证明.........................................13

题型九：韦达定理代换型.........................................14

题型十：极值点偏移加法型（xi+x2）.......................................................................................16

题型十一：极值点偏移乘积型（X1X2）........................................................................................17

题型十二：极值点偏移平方型（x彳+x》.............................18

题型十三：数列型单变量构造.....................................20

题型十四：无限和裂项型数列不等式...............................21

题型十五：累乘型数列不等式.....................................22

题型十六：取对数型数列不等式...................................24

模块三：综合巩固..................................................25

5J2导数压轴大题：证明不等式

模块一：基础知识

考点一：导数证明不等式常见策略

1.利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：

(I)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(x)—g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数做x)=/(x)—g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论：

(3)构造“形似”函数，梢作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形：

(2)构造新的函数〃(%)：

(3)利用导数研究〃(x)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值

问题.

3.一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向

(I)可以利用第一问单调性提炼出不等式

(2)可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式

(3)可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)

4.虚设零点法：【前面章节有讲到，这里不细讲】

涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出

来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决

5.凸凹反转型【前面章节有讲到，这里不细讲】

首先是证明不等式的一种技巧，欲证明/(x)>0,若可将不等式左端/'(X)拆成g(x)>〃(x),且

gmin(x)>/*x(x)的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取g(x)为上凸型函数，刀⑸为

下凹型函数来完成证明.

考点二：极值点偏移证不等式

【前面章节有讲到，这里不细讲】

极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：

1.零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。

2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。

3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理

4.处理极值点偏移问题中的类似于玉/<。(/(阳)=/(%))的问题的基本步骤如下：

①求导确定/")的单调性，得到和占的范围;

②构造函数F(x)=/(x)-求导可得F(X)恒正或恒负：

/\

③得到/(X)与--的大小关系后，将/(再)置换为/(/);

\xi7

④根据巧与色的范围，结合/("的单调性，可得々与上的大小关系，由此证得结论.

X\X]

考点三，导数证明三角函数型不等式

1.正余弦的有界性

2.三角函数与函数的重要放缩公式：x之sinx(x>0).

考点四：韦达定理证明不等式

1.题干条件大多数是与函数额极值小，X2有关。

2.利用韦达定理代换：可以消去参数

考点五：切线放缩法证明不等式

常用的切线放缩有：

|X

(1)>x+1;(2)ev>ex：(3)1—<Inx<x—1；(4)Inx<—.

考点六：数列不等式证明策略

1.单变量构造

数列型不等式证明

(I)对于ncN*型数列不等式证明，可以转化为定义域为xel,在实数范围内证明不等式。

(2)一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注

意对应换元的取值范围

数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明

2.裂项求和型

证明不等式/(1)+/(2)+…+/(〃)<g(〃)，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变

形将右边也转化为求和式，即

g(w)-[s(«)-^(,7-1)]+[5(w-I)-5(«-2)]+[g(w-2)-g(w-3)]4-.-.+[g(2)-g(l)]+[g(l)-g(0)]

这样一来，设优=g(〃卜g(〃-l)

则只需证/⑴+/(2)+…++h2+…+”,而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关

系，即如果能够证出/(〃)<”恒成立，则原不等式也就成立.

3.累乘证明数列不等式

证明不等式/⑴・/(2)•…・为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以

通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型

(〃)=g(〃).g(〃7)…必⑴

g'Jg(〃-l)g(〃-2)g⑴g3

设5

这样一来,(«GN'),

则只需证/(1卜/(2)/(〃)<%+优+…+"，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，

即如果能够证出/(〃)<"恒成立，则原不等式也就成立.

4.两边同时取对数型

证明不等式/'⑴・/(2)•…・为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以

通过取对数，把左边的积转化为时数和型，如转化为累加或者累积相消型

....../(w))<Int=>ln(/(l))+ln(/(2))+ln(/(3))--+ln(/(2))<lnt

模块二：题型分类

题型一：不等式证明常规方法

1.已知函数f(x)=x2-2Inx.

⑴求函数〃x)的单调区间：

(H［求证：当x>2时，/(x)>3x-4.

2.设函数/G)=lnx-x+l.

⑴讨论/*)的单调性；

r—1

(2)证明：当工£(1,+8)时，1＜丁一

Inx

3.已知函数/(x)=e'+ai+力，曲线y=/(x)在点(OJ(()))处的切线方程为y=〃-方.

(1)求4,〃的值；

(2)证明：/(x)NO.

4.已知函数/(x)=ax3-31ar.

(1)若a=\,证明：f(x)>1；

(2)讨论/(x)的单调性.

题型二：单变量构造

1.已知函数/(x)=ae'+/zr+1在x=0处有极值2.

(I)求明b的值;

(II)证明：f(x)>cx-x.

2.已知函数=.

⑴求的最小值；

47

(2)证明：In、>石.

3.设函数/(x)=(V-2到/+0勿-/]E，其中e为自然对数的底数，曲线y=/(x)在(2,/'(2))处切线的倾

斜角的正切值为5,+26.

(1)求。的值；

(2)证明：/(x)>0.

4.已知函数/(x)=xlnx.

(1)讨论)，=的单调性并求极值；

(2)证明：当时，ln2(x+1)>Inx-ln(x+2).

题型三：双变量构造

1.已知函数/(%)=三一ln(x+l)(aeR).

(1)求函数/(X)的单调区问；

(2)已知加，〃是正整数，且1<〃?<〃，证明(1+〃?)">(1+〃/.

2.已知函数/(X)=——(〃-0).

mx

(1)试讨论函数/(x)的单调性：

ba

(2)对V”,6c(e,+e),且。<〃，证明：a>b.

3.已知函数g(x)=l-山E.

X

(I)求g(x)的单调区间；

(2)当时，试证明巳<上坐

em1+In

7

4.已知函数/(x)=ln

(I)求证：函数/(X)在(O,+e)上单调递增:

Inm-In722

(2)设用>〃>0,求证:>-----

in—n--m+n

题型四：虚设零点证不等式

1.已知函数/(x)=ax+xlnx,aeR.

(1)判断/(M的单调性；

⑵若a=1,0<x«1,求证:e'+1-/(x)«e,其中e是自然对数的底数.

2.已知函数/(x)=x2-(a-2)x-alnx(aeA).

(1)求函数》=/(x)的单调区间；

(2)当。=1时，证明：对任意的x>0,/(幻+。*>/+工+2.

3.已知函数/(x)=x2-(a-2)x-alnx(aeR).

(1沐函数y=/(x)的单调区间；

(2)当。=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.

4.设函数/(x)=e、、-tzlnx.

(1戌〃=e时,/(x)的单调区间;

2

(2)求证：当q>0时，f(x)>2a+a\n-.

题型五：同构型不等式证明

1.已知/(x)=e*i-2,g(x)=A~lnA,aeR.

XX

⑴当X£(l,*o)时，求函数g(x)的极值；

(2)当。=0时,求证：f(x)>g(x).

2.已知/卜)=L「2,g(x)="x+m\QGR.

XX

(1)当X«l,+oo)时,求函数g(x)的极值;

(2)当4=0时，求证：/(x”gG).

3.已知函数/(幻=1-1,e=2.7l828…为自然对数的底数.

x

(1)试判断函数"X)的零点个数并说明理由：

(2)证明：/(x)2x—31n;c

题型六：凸凹转化证明不等式

1.已知函数,/'(X)=exeR).

(1)当x〉0时，/*)>0恒成立，求小的取值范围:

(2)当小=-1时，证明：

ee

2.已知函数/6)=W+lnx,mwR

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明:当〃>0时，

3.已知/(x)=lnx+ax,aeR.

(I)讨论/(x)的单调性;

(II)若。<一1,证明：/(x)<-l.

4.已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ar-3

⑴对xe(0,+oo),不等式2/(x)》g(x)恒成立，求实数。的取值范围:

(2)证明：对一切xc(O,y),都有布-巳.

eex

题型七：三角函数型不等式证明

1.已知函数/(%)=$皿》一。185工，acR

(1)若/(x)在x=0处的切线为由=%,求实数a的值;

(2)当azg,xw[0,+8)时，求证：f(x)<2ax.

2.已知函数/(x)=e'-x—l.

⑴证明:/(")皿

(2)当加工1时，证明不等式(/-〃7x+cosx-220,在xepy)上恒成立.

3.已知函数/(》)=.，一办+l.

⑴当〃=1时，过点(L0)作曲线y=/(x)的切线/,求/的方程;

(2)当。W0时，对于任意x>0,证明：/(x)>cosx.

题型八：切线放缩型证明

1.已知函数/(X)=4e'1+"2,曲线y=/(x)在x=］处的切线方程为y=6+1.

⑴求实数。，b的值：

(2)x>0且对1时，证明：曲线y=/(x)的图象恒在切线y=6x+1的上方；

(3)证明不等式：4xev1—%3—3x—2Inx>0.

2.已知xilnxi=X21nx2=〃，且口＜¥2,求证:

2

R—XI〈2Q+1+e.

n,,

“I"n

求证：I。一"vf+n.

Inn

3.已知函数=4e-+av2,曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=柢+l.

(I)求实数。、b的值；

⑵x>0且XHI时，证明：曲线y=/(x)的图象恒在切线歹=队+1的上方;

(3)证明：不等式：4xeA-,-x3-3x-21nx^0.

4.已知函数/(力=炭-、(工+㈤①

(I)设工=0是/("的极值点，求〃?并讨论/(x)的单调性;

(2)当〃1W2时，证明：/(.v)>0

题型九：韦达定理代换型

1.已知函数/("=皿,1+/-ar(aeR).

(I)求函数/(》)的单调区间；

I3

(2)设/(x)存在两个极值点X，Z，且为<占，若0<用<不，求证：/(^)-/(^)>--1112.

/2*T

2.已知函数/'(x)=lnA+av2—x.

(I)若。=一1，求函数/(x)的极值；

(2)设/(X)为/(X)的导函数，若XI，42是函数/(X)的两个不相等的零点，求证：/(XI)+/(X2)

<X：+x2-5

3.已知函数/(x)=x—g-alnx(4wR),

(I)求曲线y=/(x)在点3」)处的切线与坐标轴围成三角形的面积.

e

(2)/'(x)是〃x)的导函数，若函数g(x)=)/(x)-or+21nx有两个极值点且0<x—。，

2

求证：g(xl)+—<g(x2)+e-4.

夕

4.已知函数/(x)=；/+lnx+/”x,(/〃€&).

(I)若/(X)存在两个极值点，求实数机的取值范围;

(2)若％,W为〃x)的两个极值点，证明：'«)；'&)心卜守•

题型十：极值点偏移加法型(X1±x2l

1.己知函数/(x)=e"-QX?+e々有两个极值点M，々(X<工2).

(1戌实数。的取值范围：

(2)证明：X)+x2<2ln2a.

2.已知函数/(x)=lnx-a&+lMWR.

(1)若/(力40,求〃的取值范围；

(2)若关于x的方程/(一)=6如-e?有两个不同的正实根和小，证明：内+々>2人.

3.已知函数/(x)=x+=.

e

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若用工》2，且/(为)=/(与)=2,证明：()<〃?<e,且%+工2<2.

4.已知函数/(x)=lnx+干,awK.若函数/(x)杓两个不相等的零点3.

(1)求。的取值范围；

(2)证明:x,+x2>4a.

题型十一：极值点偏移乘积型(X[Xz)

1.己知函数/(©=ax2-(2a+1).«+2hix(afcR)

2

(1)若/J)有唯一极值，求。的取值范围;

(2)当a40时，若/(2)=/(X2)，MF，求证：x\xi<4.

2.已知函数/(x)=^,g(.v)=lnx-x.

A

(1)求函数g(x)的极值；

⑵若〃(x)=/(x)-g(x),求函数〃(x)的最小值;

(3)若〃(x)=a有两个零点七，x?,证明：*々<1.

3.已知函数/(x)=xlnr-。/+工,4£R.

(1)若函数/(x)是减函数，求。的取值范围：

Q

⑵若/(X)有两个零点须应，且%>。，证明：石电>丁.

e

12

4.已知函数/(x)=Int+一。厂-e+i)x(4GR).

2

(1)当”=1时，求函数歹=/(x)的零点个数.

(2)若关于x的方程/(X)=gad有两个不同实根加与，求实数a的取值范围并证明用.

题型十二：极值点偏移平方型(X彳土xfl

L已知函数/(x)=叵上

ax

⑴讨论/(X)的单调性：

⑵若(叫厂=(%)”(e是自然对数的底数)，且%>0,x2>ofx产乙,证明：x-+x->2.

2.已知函数/(x)=ku-

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)若乱々是方程/(x)=0的两不等实根，求证：x；+x；>2e：

3.己知函数/(力=¥一'氏

(1)若/(x)K-l,求实数。的取值范围；

12

(2)若/(x)有2个不同的零点卬三(*<占)，求证：2x；+3*>:.

5a

4.已知函数/(x)=L詈，a>0.

(1)若/("WI，求。的取值范围;

(2)证明：若存在不，使得/(%)=〃/),则H+

题型十三：数列型单变量•构造

/|\-V

1.已知函数/(x)=1+-(x>0).

\X)

(1)证明：/(x)<e；

(2)讨论/(x)的单调性，并证明：当〃eN'时，(2〃+l)ln(〃+l)<〃1n〃+(〃+l)ln(〃+2).

2.设函数/(.r)=x2+/>ln(x+e/)，其中/>wO.

(1)当8=1时，JU)在x=-2时取得极值，求。：

(2)当。=1时，若/(*)在(-1,+功上单调递增，求〃的取值范围:

⑶证明对任意的正整数〃，不等式lnd+1)>二-二都成立.

nirn

3.设函数/(x)=(l-ov)ln(x+l)-bx,其中。和6是实数，曲线y=/(x)恒与x轴相切于坐标原点.

(1)求常数6的值;

(2)当0时，关于x的不等式/(x)20恒成立，求实数。的取值范围;

loooiY00004r10011000.5

(3)求证:<e<--

10000JUOC'O

4.(1)已知函数/(x)=xlnx,判断函数g")=/(l+x)+/(17)的单调性并证明;

⑵设〃为大于1的整数，证明：(〃+1)吧(〃-1产〉小

题型十四：无限和裂项型数列不等式

1.已知函数/(x)=ln(l+x)一心.

⑴求函数/(X)的极值：

(2俅证：—+—+•••+—!—>inlineN,).

〃+1n+2〃+〃+1'7

2.已知函数/(X)=2alnx-x2+“，deR.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)证明：21n(〃+1)>[+；+；+.•.+-!~j«(〃€N).

NJ4fl+1

3.已知函数/(x)=axlnx-x,(4€R)).

⑴讨论/(x)的单调性：

⑵若X>1时，/(">-1,求实数”的取值范围；

(3)对任意〃cN*,证明：J+JR+,,•+J—+ln\jn+1>n.

4.已知函数/(x)=Ax,g(x)=8二

A

(1)若不等式/(x)2g(x)在区间(0,+s)内恒成立，求实数上的取值范围;

(2俅证：竽+竽+•••+竽(〃22,〃wN,,e为自然对数的底数)

题型十五：累乘型数列不等式

1.已知函数/(x)=Hnx—or—3m£R).

(1)若。=-1,求函数/(X)的单调区间；

(2)若函数j，=/a)的图象在点(2,犬2))处的切线的倾斜角为45。,对于任意的±[1,2].函数g(x)=3+

X2f\x)+-(f'a)是大X)的导函数)在区间0,3)上总不是单调函数，求〃?的取值范围；

n_

-4丁In2In3In4Inn1

(3)求证：——x——x——x...x——<—z(n>2,)

234nn

2.已知函数/(x)=〃lnx+l-x.

⑴若/(x)KO,求。的值:

-u、“zr……In2ln3In4Inn1

(2)证明：当〃wN+.且〃22时，-^-x—x—x---x—<-.

3.已知函数/(x)=(x+1)Inx,g(x)=ax-2(aeR)

⑴若f(x)>g(x)对任意的x恒成立，求实数。的取值范围;

2n

(2)求证：In21n31n4...1nn>------(//>2,/?eN+).

/?(/?+1)

4.设整数〃>1,x>—l且XHO,函数/(x)=(l+x)Jpx—l.

(1)求证：/(x)>0；

1

(2)求证:>72/?+1.

3人5)I2n-\

题型十六：取对数型数列不等式

1.已知函数/(x)=ln(l+x).

(1)求证：当X€(O,y)时，p-</(X)<X;

(2)已知e为自然对数的底数，求,正：V//eN*»厩<1+^lG…+

2.已知函数/(X)=sinx-xcosx(x>0).

(1)求函数〃x)的图象在处的切线方程；

(2)若任意工£(0,+8),不等式恒成立，求实数。的取值范围;

(3)设g(x)=*/(x)，证明："g(g"g!…"gg

3.已知函数/(x)=a・aTnx.

⑴求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)证明：当”=1时，/(x"0；

(3)设机为整数，若对于双⑻1+扣+同卜+同…卜+/卜机成立，求机的最小值.

4.已知关于x的函数/(x)=aLlnx-(l+ln2).

(I)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当〃wN'时，In(lx2x3x…一〃ln2.

模块三：综合巩固

1.已知函数/(x)=x-sinx,xe(Q,+co).

⑴求曲线产/(x)在点生/(学)处的切线方程;

(2)证明:2e'-f(x)+cos.vc'>1.

2.已知函数/(x)=j,aeR.

X

(1)若/(X)在定义域内无极值点，求实数。的取值范围;

(2)求证：当时，恒成立.

3.已知函数f(x)=\nx-a^~^

(I)若函数/(x)在(o,+8)上为单调增函数，求。的取值范围;

八\、八•、口。_ix,-rm-nm+n

(2)设叭neR,且m工n,求证■；----；—<-----

Inm-inn2

4.已知函数/(x)=x-aliu-4,owR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。=1