2026年新高二暑假数学预习：巧用圆锥曲线二级结论秒杀素养拓展

与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.椭圆=1(a>b>0(和双曲线=1(a>0,b>0(通径的端点坐标为(c,±,(-c,±抛物线y2=2px(p>0(通径的端点坐标为,±p(.(c,(,B(c,-进一步可得通径长|AB|=.若AB过A,p(,B,-p(,∴通径|AB|=2p.3D.3D.311.tan(θ为焦距对应的张角)m,PF2=nF1) 2 (则椭圆两式相减得kAB⋅kOM=⋅=⋅==-=e2-1.和|PF2|可按下面的公式计算：【焦半径形式2】椭圆+=1(a>b>0(的一个焦点33A在x轴上方),记直线l的倾斜角为θ(即θ为直线l与x轴正方向所成的角),有以下性质:坐标形态:|AF2|=a-ex1,|BF2|=a-ex2|AB|=|A|+|B当且仅当θ=90°时,|AB|min,此时称为“通径”曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算：ex0-a|(记忆：左加右减)公式中取“+”还是取“-”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负)支于A(x1,y1(,B(x2,y2((其中A在x轴上方),记直线l的倾斜角为θ(即θ为直线l与x轴正方向所成的角),有以下性质:44==2b2③焦半径之比=-8.已知F是椭圆C:+=1的右焦点，设直线AB过点F且与椭圆C相交于点A,B，则+1 =.a=()A.2B.1C.D.1+.③|AF|=xA+，|BF|=xB+AB|=xA+xB+p.2-p.xAxB=m2,yAyB=-2pm.55①以弦AB为直径的圆与准线相切.②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.A.以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切11.(24-25高二上·海南省直232D.D.314.已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图66在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已A.B.1C.2D.4A.3B.3C.2D.218.(24-25高二上·上海金山·期末)双曲线x2-=1的左焦点F到其中一条渐近线的距离为. .A.±B.±C.±22FA.B.C.D.3A.x2-=1B.77)A.1B.3C.3A.4-2B.22-2C.22+2D.4+2()A.F27.(25-26高二上·陕西西安·阶段检测)已知直线l交抛物线C:x2=-18y于M、N两点，且MN的中点为))C.D.-3A.-C.D.-3328.(25-26高二上·湖南常德·期末)椭圆2+2=1中，以P(1,-1(为中点的弦所在的直线方程为()A.x+2y+1=0B.x+2y-3=0C.x-2y-3=0D.x-2y+1=0A.x=-B.x=-1C.x=-D.x=-230.(25-26高二下·重庆·阶段检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0(的右焦点为F(c,0(，过点F且斜率88A.B.C.D.A.B.C.D.22-y2=1B.x2-=1C.2A.B.C.D.A.B.C.D.))|AF|-|BF|e2D.A.B.C.D.2=1(0<b<2=1(0<b<99M(x0,y0(是椭圆E上第一象限的一点，△MF1F2的内心为N(x()+y2=1B.C.+=1D.+=1=.|AF| =.①x1x2=，y1y2=-p2；④以线段AF为直径的圆与y轴相切；A.2B.3C.4D.5B(x2A.F的坐标为(1,0(B.x1x2+y1y2=-3C.|AB|的最小值为2D.+=1—→—→A.y12=-16B.OA⋅OB=-8A.抛物线C的准线方程为x=-2B.若直线AB过点F，则y1y2=-4D.若直线AB过点F，则以线段AB为直径的圆与C的准线相切48.已知抛物线x2=4y上的一点M(x0,y0(到其焦点F的距离为3，则y0的值为()A.1B.()A.4B.5C.6D.7P为椭圆C在A.B.3C.2D.23251.(24-25高二上·福建厦门·期中)已知焦点在x轴上的椭圆+=1的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4,1(，则椭圆的短半轴长为()对值为()1A.B.1C.3D.2253.(25-26高二上·西藏拉萨·期末)已知双曲线C:-=1A.2B.5C.4D.5A.x-2y=0B.x-y-2=0C.2x-y-10=0D.2x-y-6=055.过抛物线y2=2px的焦点F作弦PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定A.4B.3C.2D.157.已知F是双曲线C:2A.2B.C.D.A.2B.C.D.58.(25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0(的焦点为F，过点F的直线l259.已知双曲线E：x2-y2=1(a>0,b>0(的右焦点为F，以F为圆心，2b为半径的圆与双曲线2A.A.D.C.D.2A.B.C.D.A.抛物线C的准线方程为x=-1B.当l的倾斜角为时，|AF|=4说法正确的是()A.以AF为直径的圆与y轴相切65.已知抛物线C:y2=2px(p>0(的焦点为F，点M在C上，MF⊥心．求A，B，C三点到F距离之和为；与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.椭圆=1(a>b>0(和双曲线=1(a>0,b>0(通径的端点坐标为(c,±(-c,±抛物线y2=2px(p>0(通径的端点坐标为,±p(.(c,(,B(c,-进一步可得通径长|AB|=.若AB过,p(,B(,-p(,∴通径|AB|=2p.A.6A.B.D.C.2B.D.3112=a2-b2=4，解得c=2A=xB=2，代入椭圆方程可得yA=,yB=-，所以|AB|=|yA-yB|==4.证明：设PF1=m,PF2=n=b2tan=b2tanSPF2=60F用三角形面积公式即可得到答案.2FFF2+-2|PF1,222=. =4.++33PAPB=⋅M(x0O0(则椭圆2+=1(1(+=1(2(kAB⋅kOM=⋅=⋅==-=e2-1.+x2=-2,Oy1+y2=2，，两式作差变形得(x2-x1((x2+x1(+(y2-y1((y2+y1(44代入上式整理得：x0(x1-x2)=y0(y1-y2)，7.(25-26高二上·湖北武汉·期末)已知抛物线C:x2=2py(p>0(，直线y=kx+2与抛物线相交于A,B两点，且AB的中点为M(1,5(，则p=设点A(x1,y1(,B(x2,y2(，则，两式作差得x-x=2p(y1-y2(，整理得(x1+x2((x1-x2(=2p(y1-y2(，FP(x0,y0(为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算：55A在x轴上方),记直线l的倾斜角为θ(即θ为直线l与x轴正方向所成的角),有以下性质:坐标形态:|AF2|=a-ex1,|BF2|=a-ex2|AB|=|A|+|B当且仅当θ=90°时,|AB|min,此时称为“通径”曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算：ex0-a|(记忆：左加右减)公式中取“+”还是取“-”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负)支于A(x1,y1(,B(x2,y2((其中A在x轴上方),记直线l的倾斜角为θ(即θ为直线l与x轴正方向所成的角),有以下性质:66坐标形态:|AF2|=ex1-a,|BF2|=ex2-a；a(1-ecosθ(,a(1+ecosθ(a(1-ecosθ(,a(1+ecosθ(8.已知F是椭圆C:+=1的右焦点，设直线AB过点F且与椭圆C相交于点A,B，则+9.设双曲线=1(a>0，b>0(上一点P(2,y0(到其两焦点F1(-3,0(，F2(3,0(的距离之和为d1，A.2B.1C.D.解.77所以e===6，解得a=，1+③|AF|=xA+，|BF|=xB+AB|=xA+xB+p.2-p.xAxB=m2,yAyB=-2pm.①以弦AB为直径的圆与准线相切.②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.A.以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切882py的焦点坐标为F(0,准线方程是y=-，消去y得x2-2pkx-p2=0，设线段AB的中点M(x0,y0)，所以点M到准线y=-的距离d=y0+==， <x2，则点A在点B左侧，如图，直线l与准线交于点D，|AAI|,|BBI|分别表示点A,B到准线y=-的距离，故选:ACD.992A.23B.3C.3D.63值.2+可取A(2,B(2,-故|AB|=a,焦点△ABF2(弦AB边另a,焦点△ABF2(弦AB边另x2-y22D.A.3B.2C.D.3F(-c,0(,M(c,如图所示：故选:D.14.已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已A.B.1C.2D.4从而可得答案.且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1(，A.3B.3C.2D.2点A到直线bx-ay=0的距离为点A到直线bx+ay=0的距离为∵Δ>0，所以y1+y2=2pm，y1y2=-p2，=1+m2⋅|y1-y2|=1+m2⋅(y1+y2(2-4y1y2=2p(1+m2(≥2p，当且仅当m=0时，取“=”.18.(24-25高二上·上海金山·期末)双曲线x2-=1的左焦点F到其中一条渐近线的距离为.所以左焦点F为(-3,0(，渐近线方程为y=±x=±2x， 、2+119.若双曲线+=1的离心率为3，则渐近线方程 . 23 23 =.=.A.±B.±C.±D.±22若PF2=1F、、心率即可.a2+b2=b=a2+b2=b=1，A.x2-D.-=1F2-2a2=3，又c所以双曲线的方程为x2-=1.)2|PF2-b2=4-2=2.FF°=×(8-4()(、、C.B.D.A.C.B.D.2可求出结果.=m2+n2-mn=(m+n(2-3mn=4a2-3a2=a2所以4c2=a22=c2=1⇒e=-=1(a>0,b>0(的两个焦点，P为CF2.22.2tan=2c，FFF=2F-(|PF1|-|PF2|(2=(2c(2222=b2=b2.2.2=1822=182=b22tanA.-B.-C.D.-3所以直线l的斜率存在，设点M(x1,y1(、N(x2,y2(，则{这两个等式作差得x-x=-18(y1-y2(，即(x1+x2((x1-x2(=-18(y1-y2(，故直线l的斜率为=-=-=-.28.(25-26高二上·湖南常德·期末)椭圆+=1中，以P(1,-1(为中点的弦所在的直线方程为()A.x+2y+1=0B.x+2y-3=0C.x-2y-3=0D.x-2y+1=0又P(1,-1(不在坐标轴上，故以P(1,-1(为中点的弦所在的直线斜率存在，设以点P(1,-1)为中点的弦的两端的坐标分别为(x1,y1(,(x2,y2(，(x+y=1424(y1+y2(x1-x2，得(x1-x2((x1+x2(+(y1-y2((y1+y2(=0，则-2424(y1+y2(x1-x2，A.x=-B.x=-1C.x=-D.x=-2-y2((y1+y2(=2p(x1-x2(，即kAB==，30.(25-26高二下·重庆·阶段检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0(的右焦点为F(c,0(，过点F且斜率、A.B.C.D.、A.B.C.D.【详解】过点F且斜率为-33的直线交椭圆于A、B两点，若M(2,3(是线段AB的中点，两式相减得x-x+y-y=0，则有-b2=(y1-y2((y1+y2(，a2(x1-x2((x1+x2(y1+y2x1+x22y1+y2x1+x22=-4点为C(-1,-2(，则|AB|=()由题意知C(-1,-2(，C为AB的中点，两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)与双曲线x2-=1联立，Ly=x-1x2-=12x-3Ly=x-1所以|AB|=(-3-1)2+(-4-0)2=42.x0=y1x0=0=2可得直线AB的斜率kAB=可得直线OE的斜率kOE==，-=1x-9=19-=1x-9=19x-x，OE整理可得y-y=9即kABx-x，OE可得kAB⋅kOE=-2kAB=9，即kAB=-，则直线l的方程为y-2=-(x+1(，即9x+2y+5=0，(9x+2y+5=0x2-=1，消去y可得45x2+90x+61=0，则直线l的方程为y+3=3(x+1(，即3x-y=0，OE=-6，可得kAB⋅kOE=-6kAB=9，即kAB=-，则直线l的方程为y+3=-x-即6x+4y+9=0，(6x+4y+9=0x2-=1，消去y可得12x2-12x-25=0，-=1，A.23B.3C.2D.4轴上.=2+x1,|MF2|=2-x1=4-x根据椭圆的特点，可知：-2≤x1≤2F=322A.2-y2=1B.x2-C.2-2=1D.2-2=1可得出该双曲线的方程.2x2-b2=2x2-2cx0+a2=(x0-2x2-b2=2x2-2cx0+a2=a-x0≥a+c，则a+c=3，=3a=122=c2-a2c=2=3a=122=c2-a2c=2x2-y2x2-y22A.B.C.D.A.B.C.D.=1,a=2，-ac-4a2=0⇒3e2-e-4=0，解之得e=(负值舍去).A.B.C.D.A.B.C.D.AF|=、(x1+c(2+y，由消去y1，得(x1+c(2+y=(x1+c(2+b2-+2cx1+c2+b2=e2x+2cx1+a2=(a+注意到|x1|≤a，则a+ex1>0.于是|AF|=(x1+c(2+y=a+ex1，=(x2+c(2+y=a+ex2.因此|AF|-|BF|=e(x1-x2(.“-====,:e=.37.(24-25高二上·浙江台州·期末)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，点M(x0,y0(是椭圆E上第一象限的一点，△MF1F2的内心为N(x1,y1(，若x0=、5x1，则椭圆E的方程为()=2求解即可.由椭圆上任意点P(x,y)及左、右焦点F1(-c,0)、F2(c,0)，、(x-c)2+y2=|a-x|；故椭圆x2+y2=1两个焦半径为|PF|=a+如图,设△MF1F2的内切圆与三边切于点D,G,E，则|GF1|-|GF2|=|DF1|-|EF2|=|MF1|-|MF2|=(a+ex0(-(a-ex0(=2ex0，G=xN=x1，所以椭圆E的方程为+26y+2=0，-21+y2)2-4y1y2，4=2ab2=24x2-y2.=.11+|AF|222 222 2=a+1|AF|==2-22+22+2-+==2.|AF|=.可得结果.-3(，y=2(x-3(,232+y2=1,消去y整理得9x2-163x+20y=2(x-3(,23又AF>BF，所以xA=，xB=，由相似的性质可知，==3.所以中点的横坐标为=1.2+4≥4即可求得答案；求得答案.联立方程{2+1得y2-4my-4=0，故y1+y2=4m,y1y2=-4，所以|AF|⋅|BF|=(x1+1((x2+1(=(my1+2((my2+2(=m2y1y2+2m(y1+y2(+4=m2(-4(+2m⋅4m+4=-4m2+8m2+4=4m2+4≥4，当且仅当m=0时等号成立，④以线段AF为直径的圆与y轴相切；A.2B.3C.4D.5斜率乘积为-1可知⑤正确.，-2pty-p2=0，∴y1y2=-p2，-=-，FF==x1+，=p⋅1+cosθ+=x1+，∴线段AF中点到y轴的距离为x1+p=1|AF|p,则抛物线在点A处的切线斜率k1=p2pxp,则抛物线在点A处的切线斜率k1=p2pxp,则抛物线在点B处的切线斜率k2=-p2px当y<0时，y=-p,则抛物线在点B处的切线斜率k2=-p2pxp2=-1k2=p2=-1k2=-p2B(x2A.F的坐标为(1,0(B.x1x2+y1y2=-3C.|AB|的最小值为2D.1+方程y2-4my-4=0的判别式Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m，y1y2=-4，x1+x2=my1+1+my2+1=4m2+2，x1x2=·=(y2(2=((2=1，故x1x2+y1y2=1-4=-3，故B正确；=x1+x2+p=x1+x2+2=4m2+4，+1((x2+1(x1+x2+x1x2+1x1+x2+1+1得1+1=|AF|+|BF|+1((x2+1(x1+x2+x1x2+1x1+x2+1+1A.y12=-16B.OA⋅OB=-8C.|AB|= ,B(x22(代入x=∵倾斜角为的直线的斜率为k=tan=、3，y2=8x整理为x=，x=代入y=3(x-2(得到y=3-2(， 2-8y-163=0， 、2=-163=-16，A正确；、2(在x=上，1x2=O⋅O=x1x2+y1y2=4-16=-12，B错误.对于选项C，将y=、3(x-2(代入y2=8x，得到[、3(x-2([2=8x，整理为3x2-20x+12=0，则x1+x2=，|AF|=x1+,|BF|=x2+，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=+4=，C错误；3+1对于选项D，点O到直线y=3(x-2(的距离为d=23=3，3+1=，故D正确.A.抛物线C的准线方程为x=-2B.若直线AB过点F，则y1y2=-4D.若直线AB过点F，则以线段AB为直径的圆与C的准线相切选项B：若直线AB过焦点F(2,0(，设直线AB为x=my+2，代入抛物线方程得y2-8my-16=0，由韦达定理得y1y2=-16≠-4，故B错误.选项C：若OA⊥OB，设直线AB为x=my+t，代入抛物线得y2-8my-8t=0，由O⋅O=x1x2+y1y2=t2-8t=0，解得t=8(t=0舍去)，选项D：若直线AB过F，由抛物线定义，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+2(+(x2+2(=x1+x2+4，中点到准线x=-2的距离为48.已知抛物线x2=4y上的一点M(x0,y0(到其焦点F的距离为3，则y0的值为()A.1B.2C.D.即y0+1=3，解得y0=2.49.过抛物线y=49.过抛物线y=()A.4B.5C.6D.7=2⇒y1+y=2⇒y1+y2=4，根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=6.+3P+3PA.A.32面积公式即可求解.++,b=c=3FF=2c=231=2PF21=2,代入(m+n(2=3mn+12可求得mn=4，即m2+n2=mn+12，所以(m+n(,代入(m+n(2=3mn+12可求得mn=4，=3==3=(24-25高二上·福建厦门·期中)已知焦点在x轴上的椭圆+=1x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4,1(，则椭圆的短半轴长为() 由题意得x1+x2=-8，y1+y2=2，直线AB的斜率为k==1，+=1(x1+x2((x1-x+=1(x1+x2((x1-x2((y1+y2((y1-y2(对值为()A.B.1C.V3D.2-(2k2+4(x+k2=0，Δ=(2k2+4(2-4k4=16k2+16>0，则x1+x2=2k2+4x1x2-y2=1(a>0b>0(，斜率为4A.2B.5C.4D.5①-②得(x1-x2((x1+x2(=(y1-y2((y1+y2(则k==⋅,+x2=2,y1+y2=2,A.x-2y=0B.x-y-2=0C.2x-y-10=0D.2x-y-6=0则动点P到定点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，设A(x1,y1(,B(x2,y2(，则y=8x1,y=8x2，则y-y=8x1-8x2，则(y1+y2((y1-y2(=8(x1-x2(,故直线l的方程为y-2=2(x-4(，即2x-y-6=0，55.过抛物线y2=2px的焦点F作弦PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()A.相离B