2026年江苏省部编版高中数学第5单元函数性质习题

2026年江苏省部编版高中数学第5单元函数性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)=\{\begin{cases}-2x-1,&x<-2\\3,&-2\leqx\leq1\\2x+1,&x>1\end{cases}\]当-2\leqx\leq1时，f(x)取最小值3，故选C。3.函数f(x)=2cos(2x+\frac{\pi}{3})的图像关于y轴对称的充要条件是（）A．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{3}\mod2\piB．\omega=2,\phi=\frac{\pi}{6}\mod2\piC．\omega=2,\phi=\frac{5\pi}{6}\mod2\piD．\omega=2,\phi=\frac{2\pi}{3}\mod2\pi解析：函数图像关于y轴对称需满足2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi，解得\phi=\frac{5\pi}{6}+k\pi，当k=0时\phi=\frac{5\pi}{6}，故选C。4.若函数f(x)=\frac{ax+b}{x+c}在x=1处取得极值，则a、b、c满足的关系式为（）A．a+b+c=0B．a+c=bC．ab=c^2D．a-b=c解析：f'(x)=\frac{a(x+c)-ax-b}{(x+c)^2}=\frac{ac-b}{(x+c)^2}，由f'(1)=0得ac-b=0，即ab=c^2，故选C。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-16,f(0)=2,f(2)=-4,f(3)=0，零点为-2<x<0,x=3，共3个零点，故选C。6.函数f(x)=\ln(x^2+1)-2x在(-∞,+\infty)上的单调递减区间为（）A．(-1,1)B．(-∞,-1)C．(1,+\infty)D．(-∞,-1)\cup(1,+\infty)解析：f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-2=\frac{-2(x^2-1)}{x^2+1}，令f'(x)<0得x^2>1，即x<-1或x>1，故选D。7.函数f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}在区间[-3,1]上的值域为（）A．[1,2\sqrt{3}]B．[2,2\sqrt{3}]C．[1,\sqrt{3}]D．[2,\sqrt{3}]解析：f(x)=\sqrt{(x+1)^2+2}，当x=-1时f(x)取最小值\sqrt{2}，当x=1时f(x)=2\sqrt{3}，值域为[\sqrt{2},2\sqrt{3}]，故选A。8.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1处取得极值，且其图像与直线y=3x-2相切，则p、q的值分别为（）A．p=-3,q=1B．p=3,q=-1C．p=-1,q=3D．p=1,q=-3解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f'(1)=0得3+2p+q=0，又f(1)=1+p+q+1=3，解得p=-3,q=1，故选A。9.函数f(x)=\frac{e^x-1}{x}在x=0处连续但不可导，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3解析：\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1，f(0)=a，由连续性得a=1，又f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}，故选B。10.函数f(x)=\sinx-\cosx在[0,2\pi]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令f(x)=0得\sinx=\cosx，即\tanx=1，在[0,2\pi]上解为x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^2e^{-x}在区间(-∞,+\infty)上的最大值为________。参考答案：1解析：f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=0,f(2)=4e^{-2}=1，最大值为1。2.函数f(x)=|x^3-2x|在[-2,2]上的最大值为________。参考答案：4解析：f(x)=\{\begin{cases}x^3-2x,&x\geq0\\-x^3+2x,&x<0\end{cases}\]f'(x)=\{\begin{cases}3x^2-2,&x>0\\-3x^2+2,&x<0\end{cases}\]驻点x=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}，f(-2)=12,f(-\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{8\sqrt{6}}{9},f(0)=0,f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{8\sqrt{6}}{9},f(2)=4，最大值为4。3.函数f(x)=\ln(1+x)-\frac{x^2}{2}在区间[0,+\infty)上的单调性为________。参考答案：单调递减解析：f'(x)=\frac{1}{1+x}-x=\frac{1-x-x^2}{1+x}，当x>0时1-x-x^2<0，f'(x)<0，故单调递减。4.函数f(x)=\frac{2x}{x^2+1}在区间(-1,1)上的值域为________。参考答案：(-1,1)解析：f'(x)=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}，令f'(x)=0得x=0，f(-1)=f(1)=1，f(0)=0，值域为(-1,1)。5.函数f(x)=\sin^2x+\cosx在[0,\pi]上的最小值为________。参考答案：-1解析：f(x)=1-\cos^2x+\cosx=-\cos^2x+\cosx+1，令t=\cosx，t\in[-1,1]，g(t)=-t^2+t+1，对称轴t=\frac{1}{2}，g(-1)=1,g(\frac{1}{2})=\frac{3}{4},g(1)=1，最小值为-1。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图像关于点(1,0)对称的充要条件是________。参考答案：f(x)=-f(2-x)解析：若图像关于(1,0)对称，则f(1+x)+f(1-x)=0，即(x^3-3x^2+2x+1)+(1-x)^3-3(1-x)^2+2(1-x)+1=0，化简得f(x)=-f(2-x)。7.函数f(x)=\frac{1}{x^2+2x+3}在区间(-1,1)上的最大值为________。参考答案：\frac{1}{4}解析：f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+2}，当x=0时f(x)取最大值\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}。8.函数f(x)=\sinx+2\cosx在[0,2\pi]上的最大值为________。参考答案：\sqrt{5}解析：f(x)=\sqrt{5}\sin(x+\phi)，其中\cos\phi=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin\phi=\frac{1}{\sqrt{5}}，最大值为\sqrt{5}。9.函数f(x)=x^2-2ax+a^2+1在R上单调递增的充要条件是________。参考答案：a\leq0解析：f'(x)=2x-2a，令f'(x)\geq0对所有x成立，需a\leq0。10.函数f(x)=\frac{e^x-1}{x}在x=0处连续但不可导，则实数a的值为________。参考答案：1解析：见第9题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上必存在反函数。参考答案：错解析：单调递增函数未必处处连续，如f(x)=x^3在(-∞,0)上单调递增但无反函数。2.函数f(x)=x^3-3x+1在(-1,1)上存在唯一零点。参考答案：对解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=\pm1，f(-1)=-3,f(1)=-1，f(0)=1，由零点定理及f'(x)<0在(-1,1)上成立，零点唯一。3.函数f(x)=\ln(x^2+1)在(-∞,+\infty)上为偶函数。参考答案：对解析：f(-x)=\ln((-x)^2+1)=\ln(x^2+1)=f(x)，为偶函数。4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。参考答案：对解析：极值点处导数为0（费马定理）。5.函数f(x)=\frac{1}{x^2+1}在(-∞,+\infty)上为有界函数。参考答案：对解析：0\leqf(x)\leq1，函数有界。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在(-1,2)上存在两个零点。参考答案：对解析：f(-1)=-3,f(0)=2,f(1)=0,f(2)=-1，由零点定理存在零点在(-1,0)和(1,2)。7.函数f(x)=\sinx+\cosx在[0,\pi]上单调递减。参考答案：错解析：f'(x)=\cosx-\sinx，令f'(x)=0得x=\frac{\pi}{4}，f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]上递增，在[\frac{\pi}{4},\pi]上递减。8.函数f(x)=e^x在R上为严格凸函数。参考答案：对解析：f''(x)=e^x>0对所有x成立，严格凸。9.函数f(x)=\ln(1+x)-x在(-1,+\infty)上单调递减。参考答案：对解析：f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}<0，单调递减。10.函数f(x)=\frac{1}{x}在(-1,1)上为凹函数。参考答案：错解析：f''(x)=\frac{2}{x^3}，在(-1,0)上凹，在(0,1)上凸。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)在(-1,3)上的单调区间。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}，当x\in(-1,1-\frac{\sqrt{3}}{3})时f'(x)>0，单调递增；当x\in(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})时f'(x)<0，单调递减；当x\in(1+\frac{\sqrt{3}}{3},3)时f'(x)>0，单调递增。2.函数f(x)=\sinx-\cosx在[0,2\pi]上的零点有哪些？解：令f(x)=0得\sinx=\cosx，即\tanx=1，在[0,2\pi]上解为x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}。3.函数f(x)=x^2e^{-x}在区间(-∞,+\infty)上的极值点有哪些？解：f'(x)=x(2-x)e^{-x}，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=0,f(2)=4e^{-2}=1，x=0为极小值点，x=2为极大值点。4.函数f(x)=\frac{1}{x^2+1}在(-∞,+\infty)上的值域是什么？解：令t=x^2\geq0，则f(x)=\frac{1}{t+1}，当t\to+\infty时f(x)\to0，当t=0时f(x)=1，值域为(0,1]。5.函数f(x)=\ln(x^2+1)-2x在(-∞,+\infty)上的单调递增区间是什么？解：f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-2=\frac{-2(x^2-1)}{x^2+1}，令f'(x)>0得x^2<1，即x\in(-1,1)。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在(-1,2)上的零点分布情况如何？解：f(-1)=-3,f(0)=2,f(1)=0,f(2)=-1，由零点定理存在零点在(-1,0)和(1,2)。7.函数f(x)=\sinx+\cosx在[0,\pi]上的最大值和最小值分别是多少？解：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，当x=\frac{\pi}{4}时f(x)取最大值\sqrt{2}，当x=\pi时f(x)=-1，最小值为-1。8.函数f(x)=\frac{e^x-1}{x}在x=0处连续但不可导，求f(0)的值。解：\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1，由连续性得f(0)=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}，f(-1)=-3,f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+\frac{4}{9},f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-2\sqrt{3}}{9}+\frac{4}{9},f(3)=0，最大值为\frac{2\sqrt{3}}{9}+\frac{4}{9}，最小值为-3。2.函数f(x)=\sinx-\cosx在[0,\pi]上的最大值和最小值分别是多少？解：f(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})，当x=\frac{3\pi}{4}时f(x)取最大值\sqrt{2}，当x=\pi时f(x)=-1，最小值为-1。3.求函数f(x)=x^2e^{-x}在区间(-∞,+\infty)上的最大值。解：f'(x)=x(2-x)e^{-x}，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=0,f(2)=4e^{-2}=1，最大值为1。4.函数f(x)=\frac{1}{x^2+1}在(-∞,+\infty)上的值域是什么？解：令t=x^2\geq0，则f(x)=\frac{1}{t+1}，当t\to+\infty时f(x)\to0，当t=0时f(x)=1，值域为(0,1]。5.函数f(x)=\ln(x^2+1)-2x在(-∞,+\infty)上的单调递减区间是什么？解：f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-2=\frac{-2(x^2-1)}{x^2+1}，令f'(x)<0得x^2>1，即x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在(-1,2)上的零点分布情况如何？解：f(-1)=-3,f(0)=2,f(1)=0,f(2)=-1，由零点定理存在零点在(-1,0)和(1,2)。7.函数f(x)=\sinx+\cosx在[0,\pi]上的最大值和最小值分别是多少？解：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，当x=\frac{\pi}{4}时f(x)取最大值\sqrt{2}，当x=\pi时f(x)=-1，最小值为-1。8.函数f(x)=\frac{e^x-1}{x}在x=0处连续但不可导，求f(0)的值。解：\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1，由连续性得f(0)=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.C5.C6.D7.A8.A9.B10.C二、填空题1.112.413.单调递减14.(-1,1)15.-116.f(x)=-f(2-x)17.\frac{1}{4}18.\sqrt{5}19.a\leq020.1三、判断题1.错22.对23.对24.对25.对26.对27.错28.对29.对30.错四、简答题1.解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0得x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}，当x\in(-1,1-\frac{\sqrt{3}}{3})时f'(x)>0，单调递增；当x\in(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})时f'(x)<0，单调递减；当x\in(1+\frac{\sqrt{3}}{3},3)时f'(x)>0，单调递增。2.解：令f(x)=0得\sinx=\cosx，即\tanx=1，在[0,2\pi]上解为x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}。3.解：f'(x)=x(2-x)e^{-x}，令f'(x)=0得x=0,2，f(0)=0,f(2)=4e^{-2}=1，x=0为极小值点，x=2为极大值点。4.解：令t=x^2\geq0，则f(x)=\frac{1}{t+1}，当t\to+\infty时f(x)\to0，当t=0时f(x)=1，值域为(0,1]。5.解：f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-2=\frac{-2(x^2-1)}{x^2+1}，令f'(x)>0得x^2<1，即x\in(-1,1)。6.解：f(-1)=-3,f(0)=2,f(1)=0,f(2)=-1，由零点定理存在零点在(-1,0)和(1,2)。7.解：f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})，当x=\frac{\pi}{4}时