2026年天津市人教版高中数学选修第二册第3章数列模拟试卷

2026年天津市人教版高中数学选修第二册第3章数列模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n+1解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，代入b_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=3n^2-2n可得c_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=1，与通项不符，故c_5=6×5-5=25。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2•(d_2q^2)=81，解得q=3。若d_3=-9，同理可得q=-3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第3项e_3等于（）A.7B.8C.9D.10解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^2+n可得e_n=2n（n≥2）。当n=1时，e_1=T_1=2，与通项不符，故e_3=2×3=6。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+3)（n∈N），则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设数列极限为L，由递推关系f_n+1=√(f_n+3)，两边取极限可得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，可得a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。选项A正确。8.已知数列{h_n}的前n项和为2^n-1，则该数列的第4项h_4等于（）A.8B.7C.6D.5解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=2^n-1可得h_n=2^{n-1}（n≥2）。当n=1时，h_1=T_1=1，与通项不符，故h_4=2^3=8。选项A正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n+1解析：由递推关系i_n+1=2i_n+1，变形为i_n+1+1=2(i_n+1)，可得数列{i_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即i_n+1=2^n，故i_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，代入i_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。选项C正确。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.16或-16D.1或-1解析：由等比数列性质j_3•j_5=j_4^2=8×32=256，可得j_4=16。若j_4=j_3•q=8q=16，解得q=2。若j_4=j_3•q=8q=-16，解得q=-2。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为45，公差为3，则a_1等于________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=45，d=3，解得n=5，代入a_1+6d=45可得a_1=3。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的通项公式b_n等于________。解：由递推关系b_n+1=3b_n，可得数列{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即b_n=2•3^{n-1}。3.若数列{c_n}的前n项和为n^3，则该数列的第3项c_3等于________。解：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^3可得c_n=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=1，与通项不符，故c_3=3×3^2-3×3+1=19。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式d_n=a_1q^{n-1}，代入d_1=1，d_4=16可得16=1•q^3，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和为2n^2+n，则该数列的第4项e_4等于________。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=2n^2+n可得e_n=4n-1（n≥2）。当n=1时，e_1=T_1=3，与通项不符，故e_4=4×4-1=15。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=f_n+2（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于________。解：由递推关系f_n+1=f_n+2，可得数列{f_n}是公差为2的等差数列，即f_n=3+2(n-1)=2n+1。前5项和S_5=5/2(2×3+8)=35。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_4=16，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质g_2•g_4=g_3^2=4×16=64，可得g_3=8。若g_3=g_2•q=4q=8，解得q=2。若g_3=g_2•q=4q=-8，解得q=-2。8.已知数列{h_n}的前n项和为3^n-1，则该数列的第3项h_3等于________。解：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=3^n-1可得h_n=2•3^{n-1}（n≥2）。当n=1时，h_1=T_1=2，与通项不符，故h_3=2×3^2=18。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_n+1=i_n+4（n∈N），则该数列的前6项和S_6等于________。解：由递推关系i_n+1=i_n+4，可得数列{i_n}是公差为4的等差数列，即i_n=5+4(n-1)=4n+1。前6项和S_6=6/2(2×5+20)=78。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式j_n=a_1q^{n-1}，代入j_1=2，j_3=8可得8=2•q^2，解得q=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^2+n可得a_n=2n（n≥2），当n=1时，a_1=T_1=2，与通项不符，故该数列不是等差数列。错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于±2。（）解：由等比数列通项公式b_n=a_1q^{n-1}，代入b_1=1，b_4=16可得16=1•q^3，解得q=2或q=-2。正确。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系c_n+1=c_n+1，可得数列{c_n}是常数列，即c_n=c（常数），故该数列既不是等差数列也不是等比数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3等于5。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，可得a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=2^n-1可得e_n=2^{n-1}（n≥2），当n=1时，e_1=T_1=1，与通项不符，故该数列不是等比数列。错误。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n（n∈N），则该数列的通项公式f_n等于2^n。（）解：由递推关系f_n+1=2f_n，可得数列{f_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n=2^n。正确。7.在等比数列{g_n}中，若g_2•g_4=g_3^2，则该数列的公比q等于1。（）解：由等比数列性质g_2•g_4=g_3^2，可得该数列的公比q可以取任意值。错误。8.已知数列{h_n}的前n项和为n^3，则该数列的第3项h_3等于27。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^3可得h_n=3n^2-3n（n≥2）。当n=1时，h_1=T_1=1，与通项不符，故h_3=3×3^2-3×3=18。错误。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=3i_n（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于3^n-1。（）解：由递推关系i_n+1=3i_n，可得数列{i_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即i_n=3^{n-1}。前n项和S_n=1+3+9+…+3^{n-1}=(3^n-1)/2，故该数列的前n项和S_n不等于3^n-1。错误。10.在等差数列{j_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_1+a_5=10。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，可得a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5，故a_1+a_5=2×5=10。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故a_n=4n-5（n≥2），综合可得a_n=4n-5。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，代入b_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_2•c_4=c_3^2=4×16=64，可得c_3=8。若c_3=c_2•q=4q=8，解得q=2。若c_3=c_2•q=4q=-8，解得q=-2。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^3，求该数列的通项公式a_n。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^3可得d_n=3n^2-3n（n≥2）。当n=1时，d_1=T_1=1，与通项不符，故d_n=3n^2-3n（n≥2）。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n（n∈N），求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系e_n+1=3e_n，可得数列{e_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即e_n=2•3^{n-1}。前n项和S_n=2+6+18+…+2•3^{n-1}=2(3^n-1)/2=3^n-1。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=3，f_5=9，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式f_n=a_1+(n-1)d，代入f_1=3，f_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故f_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：由数列前n项和与通项关系g_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=2n^2+n可得g_n=4n-1（n≥2）。当n=1时，g_1=T_1=3，与通项不符，故g_n=4n-1（n≥2）。8.在等比数列{h_n}中，若h_3=8，h_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质h_3•h_5=h_4^2=8×32=256，可得h_4=16。若h_4=h_3•q=8q=16，解得q=2。若h_4=h_3•q=8q=-16，解得q=-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=10%，a_1=100，可得a_n=100×(1+10%)^{n-1}。第5年产量a_5=100×(1+10%)^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后的人口数量。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=2%，a_1=100，可得a_n=100×(1+2%)^{n-1}。5年后人口a_5=100×(1+2%)^4≈108.24万。3.某投资账户每年收益率为5%，若初始投资为10万元，求3年后的账户余额。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=5%，a_1=10，可得a_n=10×(1+5%)^{n-1}。3年后余额a_3=10×(1+5%)^2≈11.53万元。4.某产品成本每年下降3%，若当前成本为100元，求2年后的成本。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1-r)a_n，代入r=3%，a_1=100，可得a_n=100×(1-3%)^{n-1}。2年后成本a_2=100×(1-3%)^1≈97元。5.某工厂计划每年比上一年增加8%的销售额，若第一年销售额为200万元，求该工厂第4年的销售额。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=8%，a_1=200，可得a_n=200×(1+8%)^{n-1}。第4年销售额a_4=200×(1+8%)^3≈274.41万元。6.某城市人口每年增长1.5%，若当前人口为50万，求3年后的人口数量。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=1.5%，a_1=50，可得a_n=50×(1+1.5%)^{n-1}。3年后人口a_3=50×(1+1.5%)^2≈52.53万。7.某产品价格每年上涨4%，若当前价格为50元，求2年后的价格。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=4%，a_1=50，可得a_n=50×(1+4%)^{n-1}。2年后价格a_2=50×(1+4%)^1≈52元。8.某工厂计划每年比上一年增加12%的产量，若第一年产量为80万吨，求该工厂第3年的产量。解：由等比数列递推关系a_n+1=(1+r)a_n，代入r=12%，a_1=80，可得a_n=80×(1+12%)^{n-1}。第3年产量a_3=80×(1+12%)^2≈105.12万吨。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.C7.A8.A9.C10.A解析：1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。二、填空题1.32.2•3^{n-1}3.194.25.156.357.2或-28.189.7810.2解析：1.由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=45，d=3，解得n=5，代入a_1+6d=45可得a_1=3。三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.√解析：1.由数列前n项和与通项关系a_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^2+n可得a_n=2n（n≥2），当n=1时，a_1=T_1=2，与通项不符，故该数列不是等差数列。错误。四、简答题1.a_n=4n-5解：当n=1时，a_1=S_1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故a_n=4n-5。2.S_n=n•2^n-1解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，代入b_n=2^n-1可得S_n=n•2^n-1。3.q=2或-2解：由等比数列性质c_2•c_4=c_3^2=4×16=64，可得c_3=8。若c_3=c_2•q=4q=8，解得q=2。若c_3=c_2•q=4q=-8，解得q=-2。4.d_n=3n^2-3n（n≥2）解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=n^3可得d_n=3n^2-3n（n≥2）。当n=1时，d_1=T_1=1，与通项不符，故d_n=3n^2-3n（n≥2）。5.S_n=3^n-1解：由递推关系e_n+1=3e_n，可得数列{e_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即e_n=2•3^{n-1}。前n项和S_n=2+6+18+…+2•3^{n-1}=2(3^n-1)/2=3^n-1。6.f_n=3/2n+3/2解：由等差数列通项公式f_n=a_1+(n-1)d，代入f_1=3，f_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故f_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。7.g_n=4n-1（n≥2）解：由数列前n项和与通项关系g_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），代入T_n=2n^2+n可得g_n=4n-1（n≥2）。当n=1时，g_1=T_1=3，与通项不符，故g_n=4n-1（n≥2）。8.q=2或-2解：由等比数列性质h_3•h_5=h_4^2=8×32=256，可得h_4=16。若h_4=h_3•