2026年江苏省苏教版高二数学必修第5章同步练习题

2026年江苏省苏教版高二数学必修第5章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学必修第5章中，函数f(x)=ln(x^2+1)在区间(-1,1)上的单调性为（）A.单调递增且单调递减B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.单调递增解析：函数f(x)=ln(x^2+1)的导数为f'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,0)上f'(x)<0，函数单调递减；在区间(0,1)上f'(x)>0，函数单调递增。因此正确选项为C。2.根据苏教版高二数学必修第5章内容，若函数g(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e^2解析：函数g(x)的导数为g'(x)=e^x-a，由题意g'(1)=e-a=0，解得a=e，故正确选项为A。3.在苏教版高二数学必修第5章中，下列关于函数h(x)=x^3-3x+1的判断正确的是（）A.h(x)在(-∞,0)上单调递增B.h(x)在(0,2)上存在两个零点C.h(x)的极值点恰好在x=1处D.h(x)的最小值大于1解析：函数h(x)的导数为h'(x)=3x^2-3，令h'(x)=0得x=±1，当x∈(-∞,-1)时h'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时h'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时h'(x)>0，函数单调递增。又h(-1)=3>0，h(1)=-1<0，h(2)=3>0，由零点判定定理知h(x)在(0,2)上恰有一个零点。故正确选项为C。4.根据苏教版高二数学必修第5章知识，函数F(x)=∫[0,x]tan(t^2)dt的导数为（）A.tan(x^2)B.xtan(x^2)C.tan^2(x^2)D.0解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=tan(x^2)，故正确选项为A。5.在苏教版高二数学必修第5章中，若函数f(x)=xlnx在区间(0,e)上取得最大值，则其最大值为（）A.1B.eC.eln2D.1/2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，当x∈(0,1/e)时f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1/e,e)时f'(x)>0，函数单调递增。因此f(x)在x=1/e处取得最小值-1/e，在x=e处取得最大值e，故正确选项为B。6.根据苏教版高二数学必修第5章内容，函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，由零点判定定理知f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点，故正确选项为C。7.在苏教版高二数学必修第5章中，下列关于函数y=xe^(-x)的描述正确的是（）A.函数在x=1处取得极大值B.函数在(-∞,0)上单调递增C.函数的渐近线为y=0D.函数的拐点在x=2处解析：函数y=xe^(-x)的导数为y'=(1-x)e^(-x)，令y'=0得x=1，当x∈(-∞,1)时y'>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时y'<0，函数单调递减。因此x=1处为极大值点。又当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线。函数的二阶导数为y''=(x-2)e^(-x)，令y''=0得x=2，故x=2处为拐点。故正确选项为A。8.根据苏教版高二数学必修第5章知识，函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=2x-2C.y=xD.y=2x解析：函数f(x)的导数为f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=2，又f(1)=0，故切线方程为y=2(x-1)，即y=2x-2，故正确选项为B。9.在苏教版高二数学必修第5章中，下列不等式正确的是（）A.e^2>2^eB.ln3>ln2+1C.π^e>e^πD.2^√2>√2^2解析：对于选项A，令f(x)=xlnx-1，f'(x)=lnx+1，f'(1)=0，当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，函数单调递增，故f(e)>f(1)=0，即eln(e)-1>0，即e^2>2^e，故正确选项为A。10.根据苏教版高二数学必修第5章内容，函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值为（）A.2B.3C.4D.5解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)，又f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0，f(1+√(1/3))=4-3√(1/3)>0，f(1-√(1/3))=4+3√(1/3)>0，故最大值为f(1+√(1/3))=4-3√(1/3)，故正确选项为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，则实数a、b满足的关系式为__________。参考答案：a=-1，b=2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2+2ax+b，由题意f'(-1)=0且f'(1)=0，解得a=-1，b=2。2.函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在区间(-∞,+∞)上的最大值为__________。参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2-2(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1。3.若函数h(x)=e^x-ax在x=2处取得极小值，则实数a的值为__________。参考答案：e^2解析：函数h(x)的导数为h'(x)=e^x-a，由题意h'(2)=e^2-a=0，解得a=e^2。4.函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt在x=π处的导数为__________。参考答案：sin(π^2)解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=sin(x^2)，故F'(π)=sin(π^2)。5.函数f(x)=xlnx在x=1处的二阶导数为__________。参考答案：1解析：函数f(x)的导数为f'(x)=lnx+1，二阶导数为f''(x)=1/x，故f''(1)=1。6.函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的零点个数为__________。参考答案：3解析：函数g(x)的导数为g'(x)=3x^2-6x，令g'(x)=0得x=0或x=2，又g(-1)=-4<0，g(0)=2>0，g(2)=-4<0，g(3)=0，由零点判定定理知g(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点。7.函数y=xe^(-x)的渐近线方程为__________。参考答案：y=0解析：当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程为__________。参考答案：y=x-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，又f(2)=-4，故切线方程为y=-4。9.若函数h(x)=ln(x^2+1)-2x在x=1处取得极值，则该极值为__________。参考答案：-ln2解析：函数h(x)的导数为h'(x)=2x/(x^2+1)-2，令h'(x)=0得x=1，又h(1)=ln2-2=-ln2，故极值为-ln2。10.函数F(x)=∫[0,x]e^t^2dt在x=0处的导数为__________。参考答案：1解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=e^x^2，故F'(0)=e^0=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上存在两个极值点。（×）解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，故存在两个极值点，该命题正确。2.函数g(x)=ln(x^2+1)在区间(-1,1)上是单调递减的。（×）解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,0)上g'(x)<0，函数单调递减；在区间(0,1)上g'(x)>0，函数单调递增。故该命题错误。3.若函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a必为e。（√）解析：函数h(x)的导数为h'(x)=e^x-a，由题意h'(1)=e-a=0，解得a=e，故该命题正确。4.函数F(x)=∫[0,x]tan(t^2)dt在x=0处的导数为tan(0^2)=0。（×）解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=tan(x^2)，故F'(0)=tan(0^2)=0，该命题正确。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为4。（×）解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，故最大值为f(0)=2，该命题错误。6.函数y=xe^(-x)在x=2处取得极大值。（×）解析：函数y=xe^(-x)的导数为y'=(1-x)e^(-x)，令y'=0得x=1，当x∈(-∞,1)时y'>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时y'<0，函数单调递减。因此x=1处为极大值点，该命题错误。7.函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在区间(-∞,+∞)上的最大值为1。（√）解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1，该命题正确。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程为y=2x-2。（×）解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，又f(1)=0，故切线方程为y=0，该命题错误。9.函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt在x=π处的导数为sin(π^2)。（√）解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=sin(x^2)，故F'(π)=sin(π^2)，该命题正确。10.函数y=xe^(-x)的渐近线为y=0。（√）解析：当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线，该命题正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数。参考答案：3解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，由零点判定定理知f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点。2.求函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在区间(-∞,+∞)上的最大值。参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1。3.求函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值时实数a的值。参考答案：e^2解析：函数h(x)的导数为h'(x)=e^x-a，由题意h'(1)=e-a=0，解得a=e^2。4.求函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt在x=π处的导数。参考答案：sin(π^2)解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=sin(x^2)，故F'(π)=sin(π^2)。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程。参考答案：y=x-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，又f(2)=-4，故切线方程为y=-4。6.求函数y=xe^(-x)的渐近线方程。参考答案：y=0解析：当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线。7.求函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在x=1处取得极值时该极值。参考答案：-ln2解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，又g(1)=ln2-2=-ln2，故极值为-ln2。8.求函数F(x)=∫[0,x]e^t^2dt在x=0处的导数。参考答案：1解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=e^x^2，故F'(0)=e^0=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为2，最小值为-4解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，故最大值为f(0)=2，最小值为f(-1)=-4。2.已知函数g(x)=ln(x^2+1)-2x，求其在区间(-∞,+∞)上的最大值。参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1。3.已知函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求实数a的值及函数的最小值。参考答案：a=e^2，最小值为e^2-1解析：函数h(x)的导数为h'(x)=e^x-a，由题意h'(1)=e-a=0，解得a=e^2，又h''(x)=e^x>0，故x=1处为极小值点，最小值为h(1)=e^2-e^2=0。4.已知函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt，求其在x=π处的导数及函数值。参考答案：F'(π)=sin(π^2)，F(π)=∫[0,π]sin(t^2)dt解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=sin(x^2)，故F'(π)=sin(π^2)，函数值为F(π)=∫[0,π]sin(t^2)dt。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在x=2处的切线方程。参考答案：y=x-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，又f(2)=-4，故切线方程为y=-4。6.已知函数y=xe^(-x)，求其渐近线方程及极值点。参考答案：渐近线为y=0，极值点在x=1处解析：当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线。函数的导数为y'=(1-x)e^(-x)，令y'=0得x=1，当x∈(-∞,1)时y'>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时y'<0，函数单调递减。因此x=1处为极大值点。7.已知函数g(x)=ln(x^2+1)-2x，求其在x=1处取得极值时该极值。参考答案：-ln2解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，又g(1)=ln2-2=-ln2，故极值为-ln2。8.已知函数F(x)=∫[0,x]e^t^2dt，求其在x=0处的导数及函数值。参考答案：F'(0)=1，F(0)=0解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=e^x^2，故F'(0)=e^0=1，函数值为F(0)=∫[0,0]e^t^2dt=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.A5.B6.C7.A8.B9.A10.C解析：2.函数f(x)=ln(x^2+1)的导数为f'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,0)上f'(x)<0，函数单调递减；在区间(0,1)上f'(x)>0，函数单调递增。故正确选项为C。3.函数g(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则g'(1)=e-a=0，解得a=e，故正确选项为A。4.函数h(x)=x^3-3x^2+2的导数为h'(x)=3x^2-6x，令h'(x)=0得x=0或x=2，又h(-1)=-4<0，h(0)=2>0，h(2)=-4<0，h(3)=0，由零点判定定理知h(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点，故正确选项为C。5.根据微积分基本定理，函数F(x)=∫[0,x]tan(t^2)dt的导数为F'(x)=tan(x^2)，故正确选项为A。6.函数f(x)=xlnx在x=1处取得最大值，则f'(1)=ln1+1=1>0，又f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0得x=1/e，当x∈(0,1/e)时f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1/e,e)时f'(x)>0，函数单调递增。因此f(x)在x=1处取得最大值e，故正确选项为B。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，由零点判定定理知f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点，故正确选项为C。8.函数y=xe^(-x)的导数为y'=(1-x)e^(-x)，令y'=0得x=1，当x∈(-∞,1)时y'>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时y'<0，函数单调递减。因此x=1处为极大值点，故正确选项为A。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，又f(1)=0，故切线方程为y=0，故正确选项为B。10.对于选项A，令f(x)=xlnx-1，f'(x)=lnx+1，f'(1)=0，当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，函数单调递增，故f(e)>f(1)=0，即eln(e)-1>0，即e^2>2^e，故正确选项为A。11.函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，由零点判定定理知f(x)在(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共2个零点，故正确选项为C。二、填空题1.a=-1，b=22.13.e^24.sin(π^2)5.16.37.y=08.y=x-29.-ln210.1三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.√解析：2.函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，故存在两个极值点，该命题正确。3.函数g(x)=ln(x^2+1)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)，在区间(-1,0)上g'(x)<0，函数单调递减；在区间(0,1)上g'(x)>0，函数单调递增。故该命题错误。4.函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则h'(1)=e-a=0，解得a=e，故该命题正确。5.根据微积分基本定理，函数F(x)=∫[0,x]tan(t^2)dt在x=0处的导数为F'(0)=tan(0^2)=0，该命题正确。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，故最大值为f(0)=2，该命题错误。7.函数y=xe^(-x)的导数为y'=(1-x)e^(-x)，令y'=0得x=1，当x∈(-∞,1)时y'>0，函数单调递增；当x∈(1,+∞)时y'<0，函数单调递减。因此x=1处为极大值点，该命题错误。8.函数g(x)=ln(x^2+1)-2x的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1，该命题正确。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，又f(1)=0，故切线方程为y=0，该命题错误。10.根据微积分基本定理，函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt在x=π处的导数为F'(π)=sin(π^2)，该命题正确。11.当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线，该命题正确。四、简答题1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数参考答案：3解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，又f(-1)=-4<0，f(0)=2>0，f(2)=-4<0，f(3)=0，由零点判定定理知f(x)在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个零点。2.函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在区间(-∞,+∞)上的最大值参考答案：1解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,-1)时g'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时g'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时g'(x)>0，函数单调递增。又g(-1)=ln2+2>1，g(1)=ln2-2<1，故最大值为g(-1)=ln2+2=1。3.函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值时实数a的值参考答案：e^2解析：函数h(x)的导数为h'(x)=e^x-a，由题意h'(1)=e-a=0，解得a=e^2。4.函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt在x=π处的导数参考答案：sin(π^2)解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=sin(x^2)，故F'(π)=sin(π^2)。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的切线方程参考答案：y=x-2解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，又f(2)=-4，故切线方程为y=-4。6.函数y=xe^(-x)的渐近线方程参考答案：y=0解析：当x→+∞时y→0，故y=0为水平渐近线。7.函数g(x)=ln(x^2+1)-2x在x=1处取得极值时该极值参考答案：-ln2解析：函数g(x)的导数为g'(x)=2x/(x^2+1)-2，令g'(x)=0得x=1，又g(1)=ln2-2=-ln2，故极值为-ln2。8.函数F(x)=∫[0,x]e^t^2dt在x=0处的导数参考答案：1解析：根据微积分基本定理，函数F(x)的导数为F'(x)=e^x^2，故F'(0)=e^0=1。五、应用题1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值参考答案：最大值为2，最小值为-4解析：函数f(x)的导数为f