第三章 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

第1节导数的概念及其意义、导数的运算[课程标准要求]夯实·必备知识知识梳理1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)释疑·2.函数y=f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个

的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=

.唯一确定3.导数的几何意义f′(x0)切线释疑·(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=0αxα-1cosx-sinxaxlnaex释疑·函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数.5.导数的四则运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′=

;(2)[f(x)g(x)]′=

;f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)6.简单复合函数的导数一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=

.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y′u·u′x重要结论1.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.重要结论基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(

)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(

)(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.(

)(4)若f(x)=-sinx,则f′(x)=cos(-x).(

)××××√2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2

T6改编)已知函数f(x)=2xf′(1)+xlnx,则f′(1)等于(

)A.e B.1 C.-1 D.-eC【解析】

f′(x)=2f′(1)+ln

x+1,当x=1时,f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.故选C.3.(人教A版选择性必修第二册P64练习T2改编)函数f(x)=ex+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为(

)A.x+y-1=0 B.x+y+1=0C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0A【解析】

因为f(x)=ex+x2-2x,所以f′(x)=ex+2x-2,所以f′(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故选A.4.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2

T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a=

.

提升·关键能力导数的概念与运算考点1[例1]

(1)(多选)下列函数的求导运算正确的是(

)BDB解题策略·(1)导数运算的原则:先化简解析式,将其转化为可直接应用求导公式的形式(如和、差、积、商),再求导.(2)导数运算的方法.①连乘积形式:先展开为多项式,再求导.②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.解题策略·③对数形式:先化为和、差的形式,再求导.④根式形式:先写成分数指数幂的形式,再求导.⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.⑥复合函数:明确复合关系,由外向内,层层求导.[针对训练]

1.(多选)下列求导结果正确的是(

)ADD导数的几何意义及应用考点2角度1求曲线的切线方程A(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

,

.

解题策略·在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:①求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程;②求曲线过点P(x0,y0)的切线方程.在点P处的切线,一定是以点P为切点;过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P都不一定是切点.(1)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).解题策略·(2)求过点P(x0,y0)的切线方程的步骤.第一步,设出切点坐标P′(x1,f(x1));第二步,写出在点P′(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步,将点P(x0,y0)代入切线方程,求出x1;第四步,将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)·(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.[针对训练]A.x+πy-π=0 B.x-πy-π=0C.x-πy+π=0 D.πx-y-π=0A2.(2026·江西景德镇模拟)过点A(0,1)且与曲线f(x)=x3+2x-1相切的直线方程是(

)A.y=5x+1 B.y=2x+1C.y=x+1 D.y=-2x+1A角度2求参数的值或范围[例3]

(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线

y=ex+x+a的切线,则a=

.

4【解析】

法一对于y=ex+x+a,求导得y′=ex+1,因为直线y=2x+5是曲线的切线,直线的斜率为2,令y′=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.[真题精研]

本题源于教材人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11,主要考查导数的几何意义,此类题还可以把条件中的切线方程改为在点切线、过点切线、切线条数等.D(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)解题策略·处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的以下三个关系列出参数的方程:(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点在曲线上.微点提能5公切线问题微点解读题型演绎题型一求共切点的公切线方程[典例1]

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m和h(x)=6lnx-4x,设两曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则公切线的方程为

.

2x-y-6=0解题策略·求两曲线共切点公切线的一般思路(1)设两曲线的公共切点为P0(x0,y0).(3)求公共切点P0的横坐标x0,再代入y=f(x)或y=h(x),求y0.(4)写出所求公切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0)或y-y0=h′(x0)(x-x0).题型二求切点不同的公切线方程[典例2]

函数f(x)=lnx+1的图象与函数g(x)=ex-1的图象的公切线方程为

.

y=x或y=ex-1解题策略·求两曲线切点不同的公切线的一般思路(1)分别设出两曲线的切点P1(x1,