第三章 第4节　导数与函数的极值

第4节导数与函数的极值[课程标准要求]1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大(小)值.夯实·必备知识知识梳理1.函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧

,右侧

,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.f′(x)<0f′(x)>02.函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧

,右侧

,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.3.极小值点、极大值点统称为

,极小值和极大值统称为

.f′(x)>0f′(x)<0极值点极值释疑·(1)对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.(2)极大值与极小值之间没有必然的大小关系.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x0为极值点.(

)(2)函数f(x)在(a,b)内单调,则函数f(x)在(a,b)内一定没有极值.(

)(3)函数的极值点是自变量的值,极值是函数值.(

)(4)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(

)×√√√2.(人教A版选择性必修第二册P98习题5.3T4改编)如图所示是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4A【解析】

由题意知,只有在x=-1处,f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,故f(x)的极小值点只有1个.故选A.3.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为(

)A.-1 B.0 C.1 D.eC【解析】

f′(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f′(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.故选C.4.(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)函数f(x)=x2-2x的极小值点为

,极小值为

.

1

-1【解析】

f′(x)=2x-2,令f′(x)=0得x=1,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得x<1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值点为1,极小值为f(1)=-1.提升·关键能力由函数图象判断极值考点1[例1]

(多选)已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则(

)A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的极小值点C.函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增D.-2是函数y=f(x)的极大值点AC【解析】

根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A,C正确;因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B,D错误.故选AC.解题策略·由图象判断函数y=f(x)的极值(1)由导函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.[针对训练]

设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(x-1)3f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)D【解析】

由题意得,当x∈(-∞,-3)时,y>0,(x-1)3<0,则f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,(x-1)3<0,则f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,(x-1)3>0,则f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,(x-1)3>0,则f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).故选D.求函数的极值点、极值考点2解题策略·运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)解方程f′(x)=0,求出方程在定义域内的所有根.(4)检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,确定函数的单调性.(5)求出极值.[针对训练]

求函数f(x)=ex(x2-x-1)的极值.【解】

f′(x)=(x2+x-2)ex=(x+2)(x-1)ex,由f′(x)>0可得x<-2或x>1,由f′(x)<0可得-2<x<1,则函数f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减.由函数的极值(点)求参数考点3[例3]

(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=

.

-4【解析】

由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以f′(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2),因为2是函数f(x)的极值点,所以f′(2)=2-a=0,得a=2,当a=2时,f′(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4),[真题精研]

本题源于教材人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9,主要考查利用函数极值的充要条件求参数.[真题变式]

(1)(2026·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于(

)A.-7 B.0C.-7或0 D.-15或6AA解题策略·(1)已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意根据极值点处的导数为0和在极值点处取得极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.A.[-1,2] B.[0,1]C.[0,2] D.[-1,1]A教考衔接5三次函数[教材拓展]

(人教A版选择性必修第二册P99习题5.3T13拓展)三次函数的图象与基本性质三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:项目a>0a<0图象Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0单调性在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减在R上单调递增在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减;在(x1,x2)上单调递增在R上单调递减极值点两个极值点x1,x2无极值点两个极值点x1,x2无极值点[名师解读]1.三次方程f(x)=0的实根个数(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,设f′(x)=0的两根为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.(1)设f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.(2)我们还可以利用导数求三次函数图象的对称中心.第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0);第二步,令g(x)=f′(x),对g(x)求导,得g′(x)=6ax+2b(a≠0);3.三次函数f(x)图象的切线条数如图,过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心N作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)图象的切线,有且仅有三条.(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点或对称中心N作f(x)图象的切线,有且仅有一条.(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心N)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.切线条数口诀:内一、上二、外三.[对接高考]

(1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(

)A.a<b

B.a>bC.ab<a2

D.ab>a2D【解析】

(1)若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a≠b.所以f(x)有a和b两个不同零点,且在x=a左右附近不变号,在x=b左右附近变号.依题意,a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,所以在x=a左右附近f(x)的值都是小于零的.当a<0时,由x>b,得f(x)≤0,画出f(x)的图象如图所示,由图可知b<a,a<0,故ab>a2.当a>0时,由x>b,得f(x)>0,画出f(x)的图象如图所示,由图可知b>a,a>0,故ab>a2.综上所述,ab>a2成立