平差(教学课件)成晓倩第3章条件平差

测绘工程·测量平差基础第3章条件平差测量平差基础课程·主讲：成晓倩·河南理工大学测绘学院Contents本章内容安排第三章·条件平差01条件平差原理数学模型、基础方程与法方程02精度评定单位权中误差、协因数阵与权倒数03不同几何模型的条件方程高程网、导线网、三角网04公式汇编与综合例题解析Chapter01条件平差原理从数学模型到求解方法的完整理论框架MathematicalModel条件平差的数学模型条件平差的数学模型由函数模型和随机模型两部分组成。函数模型描述观测值之间必须满足的几何或物理约束条件，随机模型描述观测值的随机误差统计特性。平差过程本质上是在函数模型约束下，按最小二乘准则求条件极值的数学优化问题。函数模型01描述n个观测值平差值之间应满足的r个独立条件关系02条件方程个数r等于多余观测数，即r=n−t03形式：F(L̂₁,L̂₂,...,L̂ₙ)=0，体现几何或物理约束04线性形式为AL̂+A₀=0，其中A为条件方程系数阵05闭合差w=AL+A₀，用于衡量观测值偏离约束的程度随机模型01描述观测值的随机误差特性，通常给出方差-协方差阵D02或等价地给出权阵P，反映各观测值的相对精度03观测值独立时权阵为对角阵，相关时为非对角阵04协因数阵Q=D/σ₀²，用于精度评定与误差传播计算05最小二乘准则：VᵀPV=min，保证估值的最优性CONDITIONADJUSTMENT条件平差的基本概念条件平差涉及的核心参数包括：总观测数n、必要观测数t、多余观测数r=n-t。观测值L通过施加改正数V得到平差值L̂=L+V。权阵P描述观测值的相对精度，r个独立条件方程构成了平差的约束体系，法方程个数恰好等于多余观测数r。总观测值个数实际进行的独立观测数量，是平差问题的已知量，决定了观测数据的规模n必要观测数确定未知参数所需的最少独立观测数，由网形结构和起算数据共同决定t多余观测数提供检核条件的观测数，也是条件方程的个数，用于发现粗差并提高精度r=n−t改正数施加在观测值上的修正量，通过最小二乘原理满足VᵀPV=min的最优化准则V平差值观测值的最佳估值，是平差计算的最终目标，具有无偏、最优的统计特性L̂=L+VConditionAdjustment平差值条件方程与改正数条件方程平差值条件方程通过泰勒展开线性化为A₀+AL̂=0，代入L̂=L+V得改正数条件方程AV+W=0，其中W=AL+A₀为闭合差。01平差值条件方程F(L̂₁,L̂₂,…,L̂ₙ)=0，共r个独立方程02线性化形式AL̂+A₀=0，A为r×n系数阵，A₀为r×1常数项03改正数条件方程AV+W=0，V为改正数向量，W为闭合差向量04闭合差定义W=AL+A₀，由观测值直接计算，是已知量05方程个数条件方程个数等于多余观测数r，即条件平差的维度DERIVATION拉格朗日函数与改正数方程将条件平差转化为条件极值问题，构造拉格朗日函数Φ=VᵀPV-2Kᵀ(AV+W)，引入联系数向量K，对V求导得到改正数方程V=QAᵀK，为求解法方程奠定基础。01极值问题在约束AV+W=0下，求目标函数VᵀPV的极小值02拉格朗日函数Φ=VᵀPV-2Kᵀ(AV+W)，K为r×1联系数向量03一阶必要条件∂Φ/∂V=2PV-2AᵀK=004改正数方程V=P⁻¹AᵀK=QAᵀK，Q为协因数阵05联系数K的物理意义拉格朗日乘子，反映各条件方程对目标函数的影响CHAPTER3·条件平差基础方程与法方程的建立将改正数方程V=QAᵀK代入改正数条件方程AV+W=0，导出法方程NK+W=0，其中N=AQAᵀ为r×r对称正定阵。法方程是条件平差的核心求解方程，其个数等于多余观测数r。基础方程组AV+W=0（条件方程）与V=QAᵀK（改正数方程）联立，构成条件平差的基础方程组联立方程法方程系数阵N=AQAᵀ=AP⁻¹Aᵀ，为r×r对称正定矩阵，是法方程的核心系数N=AQAᵀ法方程形式NK+W=0，共r个方程，r个未知数，是条件平差的核心求解方程NK+W=0法方程解K=-N⁻¹W，联系数向量由闭合差和法方程系数确定，进而求得改正数K=-N⁻¹W纯量形式展开便于手算时逐项计算各元素，将矩阵运算转化为代数方程组求解纯量形式CHAPTER03·条件平差条件平差的求解流程条件平差的求解遵循八步标准流程：确定观测参数→列立条件方程→计算闭合差→组建法方程→解法方程求联系数→计算改正数→求平差值→检核。每一步都有明确的数学公式和检核条件，形成完整的计算闭环。01确定观测参数确定n、t、r=n-t，明确问题维度和条件方程个数02列立条件方程列立r个独立的平差值条件方程，线性化为AV+W=003计算闭合差计算W=AL+A₀，检验其数值合理性04组成法方程组成法方程系数阵N=AQAᵀ，建立NK+W=005解法方程K=-N⁻¹W，求联系数向量06计算改正数由V=QAᵀK计算各观测值的改正数07求平差值计算L̂=L+V08检核将L̂代入原条件方程验证是否满足CHAPTER02精度评定单位权中误差、协因数传播与平差值函数精度Chapter3·条件平差单位权中误差的计算单位权中误差σ₀=±√(VᵀPV/r)是精度评定的基准指标，基于E(VᵀPV)=rσ₀²的无偏估计，反映单位权观测值的精度水平。CoreFormulaσ₀=±√(VᵀPV/r)=±√([pvv]/r)VᵀPV改正数加权平方和r多余观测数（自由度）n−t观测数−必要观测数01计算公式σ₀=±√(VᵀPV/r)=±√([pvv]/r)02自由度r=n−t，多余观测数，决定估计的可靠性r=n−t03独立观测简化VᵀPV=Σpᵢvᵢ²=p₁v₁²+p₂v₂²+…+pₙvₙ²04统计性质E(VᵀPV)=rσ₀²，保证估计的无偏性无偏05应用σ₀是计算平差值、平差值函数精度的基准基准Chapter3·精度评定平差值函数的权倒数（协因数）平差值函数φ=f(L̂)的精度评定通过协因数传播律实现。先对函数全微分得dφ=FᵀdL̂，F为偏导数向量。由协因数传播律得函数协因数Qφφ=FᵀQl̂l̂F，函数中误差σφ=σ₀√Qφφ。权倒数1/pφ=Qφφ，反映函数值的相对精度。平差值函数由平差值计算的导出量，φ=f(L̂₁,L̂₂,...,L̂ₙ)φ=f(L̂)全微分F为各偏导数构成的向量，F=[∂f/∂L̂ᵢ]ᵀdφ=FᵀdL̂协因数传播由平差值协因数阵经二次型传播得到函数协因数Qφφ=FᵀQl̂l̂F函数中误差σ₀为单位权中误差，据此计算函数精度σφ=σ₀√Qφφ权倒数反映函数值相对于单位权的精度水平1/pφ=Qφφ精度评定流程精度评定的计算步骤精度评定遵循七步标准流程：计算VᵀPV→求单位权中误差→计算N⁻¹→求平差值协因数阵Ql̂l̂→对函数全微分得F→由协因数传播律求Qφφ→计算函数中误差σφ。每一步都有明确的公式，形成完整的精度评估体系。01改正数加权平方和计算VᵀPV=[pvv]，为精度评定提供基础统计量VᵀPV=[pvv]02单位权中误差σ₀=±√([pvv]/r)，衡量观测值整体精度σ₀=±√([pvv]/r)03法方程系数阵逆阵求N⁻¹，为后续协因数计算提供逆阵基础N⁻¹04平差值协因数阵Ql̂l̂=Q−QAᵀN⁻¹AQ，建立平差值协因数关系Ql̂l̂05函数全微分列出φ=f(L̂)，全微分得系数向量F，建立函数与观测值的线性关系F06协因数传播由协因数传播律计算Qφφ=FᵀQl̂l̂F，确定函数的协因数Qφφ=FᵀQl̂l̂F07函数中误差σφ=σ₀√Qφφ，获得最终精度评定结果，完成精度评定σφ=σ₀√QφφCHAPTER03不同几何模型的条件方程高程控制网、导线网、测角三角网、测边三角网CONDITIONEQUATIONS高程控制网条件方程高程控制网包括水准网和三角高程网，平差目的是求待定点高程平差值。条件方程为高差闭合条件：闭合环线高差代数和为零，附合路线高差和等于端点高程差。条件方程个数r=n-t，t为待定点数。每个独立闭合环线或附合路线对应一个条件方程。网形类型水准网（水准测量）与三角高程网（三角高程测量）两种基本形式2种网形平差目的求待定点高程平差值，并对平差结果进行精度评定精度评定条件方程闭合环线Σhᵢ=0，附合路线Σhᵢ=H终−H始Σhᵢ=0必要观测数t等于待定点个数，有足够起算数据时成立r=n−t起算数据至少需要一个已知高程点作为起算基准≥1已知点第三章·条件平差导线控制网条件方程导线控制网的条件方程包括坐标方位角条件和坐标条件两类。附合导线共3个条件方程，闭合导线同理。条件方程基于推算值与已知值吻合的原理建立。坐标方位角条件由已知方位角推算至另一已知方位角，推算值应等于已知值α推算=α已知坐标条件由已知点坐标推算至另一已知点，推算坐标应等于已知坐标ΣΔx·ΣΔy附合导线1个方位角条件+2个坐标条件（ΣΔx、ΣΔy），条件方程总数确定r=3闭合导线1个方位角闭合条件+2个坐标闭合条件闭合校验支导线无多余观测，无需进行条件平差r=0建立原理从已知数据推算到已知数据，推算结果应与已知值吻合推算↔已知Chapter3·条件平差测角三角网的基本概念与分类三角网按起算数据分为自由网与非自由网，测角网必要起算数据为4个，测边网/边角网为3个。三角网的种类测角网仅观测角度，边长由起算边推算测边网仅观测边长，角度由起算方位推算边角同测网同时观测角度和边长，精度更高自由网与非自由网自由网（独立网）仅具备必要起算数据，无多余约束条件测角网需4个起算数据非自由网（附合网）具有多余起算数据，产生附加条件方程需进行附合条件平差计算Chapter3·ConditionAdjustment三角网必要观测数t的计算三角网必要观测数t取决于网形类型与起算数据个数：测角网以q=4为界，测边/边角网以q=3为界，多余观测数r=n−t即条件方程个数。测角控制网仅观测角度，必要观测数由坐标约束条件决定01q≤4（起算数据不够或刚好）t=2p−402q>4（起算数据存在多余）t=2p−qThresholdq=4测边网/边角网观测边长或边角组合，基准约束条件少于测角网01q≤3（起算数据不够或刚好）t=2p−302q>3（起算数据存在多余）t=2p−qThresholdq=3Formula多余观测数r=n−t即条件方程个数，n为总观测数Chapter3·ConditionAdjustment测角三角网的条件方程类型测角三角网的条件方程主要包括图形条件和圆周条件两类基本形式。图形条件要求每个三角形内角和等于180°；圆周条件要求围绕中心点的各角之和等于360°。对于非自由网，还需考虑极条件、基线条件、方位角条件和坐标条件等附加约束。图形条件三角形内角和条件，每个独立三角形对应一个方程，确保几何图形闭合180°圆周条件中点多边形中围绕中心点各角之和等于360°，保证周角闭合360°极条件中点多边形中由正弦定理导出的边长闭合条件，用于检核边长一致性SineLaw基线条件有两条以上已知边时，由边长推算产生的闭合条件，控制尺度传递精度Baseline方位角与坐标非自由网中由多余起算数据产生的约束条件，用于固定网形位置和方向ConstraintCHAPTER3·CONDITIONADJUSTMENT测边三角网条件方程测边三角网以边长为观测值，条件方程包括边长、方位角和坐标条件，通常为非线性需线性化处理。边长条件由已知边长出发推算至另一已知边长，推算值应等于已知值S推算=S已知方位角条件由已知方位角推算至另一已知方位角应吻合，形成方位角闭合条件α推算=α已知坐标条件由已知点坐标推算至另一已知点坐标应吻合，形成坐标闭合条件X推算=X已知起算数据需要1点坐标加1方位角，或2点坐标作为起算，超过时产生附加条件3个必要线性化处理条件方程通常为非线性形式，需用泰勒级数展开进行线性化后求解TaylorExpansion第三章·条件平差边角同测网条件方程边角同测网同时观测角度和边长，观测量n较大，多余观测数r也相应增加。条件方程综合了测角网和测边网的特点，包括图形条件、边长条件、方位角条件和坐标条件等。边角网充分利用角度和边长信息，平差精度更高，但条件方程列立更复杂。观测特点同时观测角度和边长，信息量更丰富角+边条件方程类型综合图形、边长、方位角、坐标四类条件四类条件多余观测数r=n−t，由于n较大，r通常也较大r=n−t精度优势同时利用角度和边长信息，平差精度更高高精度列立难点条件方程形式多样，需仔细分析网形与约束复杂CHAPTER04公式汇编与例题解析核心公式总结与典型例题完整演算第三章·条件平差公式汇编：条件平差原理条件平差的核心公式体系包括：平差值条件方程AL̂+A₀=0、改正数条件方程AV+W=0、改正数方程V=QAᵀK、法方程NK+W=0。其中N=AQAᵀ为法方程系数阵，W=AL+A₀为闭合差向量，K为联系数向量。这些公式构成完整的求解框架。函数模型与随机模型01平差值条件方程：AL̂+A₀=0（r个方程）02改正数条件方程：AV+W=0，W=AL+A₀03随机模型：权阵P或协因数阵Q=P⁻¹求解方程01改正数方程：V=QAᵀK=P⁻¹AᵀK02法方程：NK+W=0，N=AQAᵀ03法方程解：K=−N⁻¹WPrecisionAssessment公式汇编：精度评定精度评定的核心公式包括：单位权中误差σ₀=±√(VᵀPV/r)；改正数协因数阵Qvv=QAᵀN⁻¹AQ；平差值协因数阵Ql̂l̂=Q-Qvv；平差值函数协因数Qφφ=FᵀQl̂l̂F；函数中误差σφ=σ₀√Qφφ。这些公式构成完整的精度评估体系。📐单位权中误差与协因数阵01单位权中误差σ₀=±√(VᵀPV/r)=±√([pvv]/r)反映观测值整体精度水平，r为多余观测数02改正数协因数阵Qvv=QAᵀN⁻¹AQ描述改正数之间的相关性与精度关系03平差值协因数阵Ql̂l̂=Q−Qvv平差后未知参数的精度评定依据📊平差值函数精度01函数全微分dφ=FᵀdL̂，F为偏导数向量建立函数与平差值之间的微分关系02函数协因数Qφφ=FᵀQl̂l̂F由协因数传播律推导的函数精度指标03函数中误差σφ=σ₀√Qφφ最终精度评定结果，综合单位权中误差与协因数CHAPTER03·CONDITIONADJUSTMENT例题赏析：条件平差法求解（1）例题：已知PA方向方位角，在测站P等精度测得4个夹角观测值。用条件平差法求平差值及精度。首先确定n=4、t=3、r=1，只需列一个条件方程。条件为四个角度之和等于360°，这是圆周条件。01问题描述测站P等精度观测4个夹角，已知PA方向方位角作为起算数据，建立条件平差模型。P·PA02确定参数观测值个数n=4，必要观测数t=3，多余观测数r=1，需列1个条件方程。r=103条件类型圆周条件——四个角度观测值的平差值之和应严格等于360°的几何约束。360°04条件方程平差值条件方程：L̂₁+L̂₂+L̂₃+L̂₄=360°，其中L̂ᵢ=Lᵢ+vᵢ。ΣL̂=360°05系数矩阵系数矩阵A=[1,1,1,1]，常数项A₀=-360°，闭合差W=ΣL-360°。A=[1,1,1,1]CHAPTER3·条件平差例题赏析：条件平差法求解（2）计算闭合差W=L₁+L₂+L₃+L₄-360°，由观测值直接算得。等精度观测时Q=I，法方程系数N=AQAᵀ=4。法方程4K+W=0解得K=-W/4。改正数V=QAᵀK=[1,1,1,1]ᵀK，即v₁=v₂=v₃=v₄=-W/4，每个角度改正数相等。STEP01闭合差计算四个内角观测值之和减去理论值360°，得到闭合差W，这是条件平差的基础数据。W=ΣLᵢ−360°STEP02权阵确定等精度观测条件下，权阵与协因数阵均为单位阵，各观测值具有相同精度权重。P=I·Q=ISTEP03法方程系数条件方程系数矩阵与协因数阵的二次型乘积，计算得到法方程系数N。N=AQAᵀ=4STEP04法方程求解建立并求解联系数K的线性方程组，由法方程4K+W=0得到联系数。K=−W/4STEP05改正数计算四个角度获得等量改正，闭合差均匀分配到各观测值，实现平差目的。vᵢ=−W/4CONDITIONALADJUSTMENT例题赏析：条件平差法求解（3）计算平差值L̂=L+V，每个观测值加上改正数-W/4。检核时将平差值代入原条件方程验证。平差值计算L̂ᵢ=Lᵢ+Vᵢ=Lᵢ−W/4，对四个观测值逐一施加改正，得到最或是值L̂=L+V改正数特点等精度观测时，闭合差被平均分配给各个观测值，体现最小二乘原理−W/4检核方法将平差值代入条件方程L̂₁+L̂₂+L̂₃+L̂₄验证等式是否成立ΣL̂ᵢ检核结果等式成立则计算正确，否则需回溯检查计算过程与数据360°物理意义平差后各角度之和严格等于闭合值，满足几何条件约束GEOMETRY精度评定·AccuracyAssessment例题赏析：精度评定单位权中误差σ₀=±√(VᵀPV/r)=±|W|/2。平差值协因数阵Ql̂l̂=Q−Qvv=I−AᵀN⁻¹A。函数中误差σα=σ₀√(1/2)。01VᵀPV计算VᵀPV=4×(W/4)²=W²/402单位权中误差σ₀=±√(W²/4÷1)=±|W|/203平差值协因数阵Ql̂l̂=I−AᵀN⁻¹A=I−[1