2026年全国中考数学真题专题汇编 专题15 二次函数的基础知识综合

PAGEPAGE2/15（424题202601二次函数02ab、c及判别式符号，结合定点、对称轴03二次函数04二次函数考点01二次函数的图象和性质1（2026· 时，随的增大而减2（2026· x3时，yxy1x221ykx1（k为常数） B．2 C．3 D．43（2026·湖北·中考真题）Axyy1Bxyyx21 y1y2y3时，下列大小关系的是 x1x2

x1x2

x3x2

x3x14（2026· 5（2026·若a3，求此函数图象的顶点坐标；当1x4时，yx的增大而减小；当8x12时，随的增大而增大，求a考点02二次函数 的图象和性1（2026· 2ab3a 对任意实数tat2bt4a2bA(1my1B(1my2y12（2026·福建·中考真题）yx22nxA3a，B5b．若ab，且ab0，则n 3（2026· （a0）的部分图象如图所示，则下列结论中正

B．b4ax5x1y4（2026·

abmambx的方程ax2bxcn1为 B．2 C．3 D．45（2026· x2acD．b24ac6（2026· 的图象经过点A(1,0)、B(5,0)，下列说法正 A．cC．b24ac

B．4a2bcDx7（2026·江苏苏州·中考真题）yx22mxm21的图像为抛物线Cy与抛物线C交于A，B两点过抛物线C的顶点作轴的平行线l过A，B分别作l的垂线垂足为M，N四边形ABNM为正方形，则a 8（2026·m0，则y1 y2（填“”“”或“9（2026·北京·中考真题）xOy中，抛物线Cyax2bxca0经过点01a a x1M是抛物线C1上的点，Mt，抛物线C2M，且可以由抛物线C1平移得到（特别M是C1C2即为C1t为何值，抛物线C2Oa的取值范围．10（2026· 的自变量与函数的几组对应值如下表 a0b24ac0x1时，有最小值为4x0时，的值随若将该二次函数的图象沿6个单位长度，交轴于ABAB考点03二次函数的最值1（2026·B之间运动，不与A，B重合过E作CE的垂线交AD边于点F，则AEAF的最大值是（ A．

B． C．

2（2026·亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0x28．设C28496y1B是这条抛物线的顶点．y1与的函数关系式； y与yx226x140 1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到mn判断n小于m，请直接写出m与n的差．考点04实际问题与二次函数1（2026·ycm与水平距离xcm的关系可以表示为y0.1x26x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ B．30 C．90 D．3602（2026·y1x24xx0P20,50，则这次射出的水流（填“能”或“能3（2026·单件水果进价y2（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为6,3并且经过3,12，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 4（2026·查找图纸：立柱ED5mFG7m，EDFG之间的距离DG8m．点F是过点EN的抛物线AG2m．为49．实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的影子落在操场上的H点处，测得影长HB7.5mAB，CDEF，GH，MN在同一竖直平面内；点MN，A，B在同一竖直方向上，点H，B，C小组以点DAD所在直线为轴，DE所在直线为轴建立的平面直角任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点EFN任务二：请你求出矩形另一边MN（sin490.75cos490.66tan495（2026·60301元，就可5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？6（2026·x轴，水管y轴，建立平面直角坐标系．160.8米，喷出的抛物线形水柱3.5米处达到最高．yax2bx0.8a0a，b7（2026·速超过2m/s100米比PAGEPAGE101：用w（ms） m/s记为，与w描述与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T的关系解释原因．3yaw2bw描述与w的关系．y0.004w20.07w请你估计顺风风速2ms时的成绩变化量100米比赛，第一次在顺风2ms的条件下跑出11.12s的成绩，第二次在逆风1ms的条件下跑出11.30s的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平PAGEPAGE2/15（424题202601二次函数02ab、c及判别式符号，结合定点、对称轴03二次函数04二次函数考点01二次函数的图象和性质1（2026· 时，随的增大而减ya(xh)2k的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即∴a3∴抛物线开口向上，故A错误对称轴为直线，故B正确顶点坐标为54，故C错误时，随的增大而增大，故D2（2026· x3时，yxy1x221ykx1（k为常数） B．2 C．3 D．4y1x2x1(x2)21，∵a10y01x2x0x0x4，即抛物线与轴交于00和40x0y1x2x0x0y0x2Δ[4k1]241416(k1)2160综上所述，正确的说法共3个．x4k1x40ykxy x④联立y1(x2)21∴x2时，随的增大而增大，又32∴x3时3（2026·湖北·中考真题）Axyy1Bxyyx21 y1y2y3时，下列大小关系的是 x1x2

x1x2

x3x2

x3x1y1yx21x2x31xyxy1x1x21x1xy1y2y31x1x2x31，By1y2y31x1x2x3，Ay1y2y31x3x2x1，C选项可能；综上，D选项不可能．4（2026· 【答案】【答案】yx20)226可知，该解析式为顶点式，二次项系数a10，该二次函数的顶点坐标为20x20时，二次函数取得最小值265（2026·若a3，求此函数图象的顶点坐标；当1x4时，yx的增大而减小；当8x12时，随的增大而增大，求a(2)6a（1）将a3y3x24ax4y3x121（2）x2a，根据当1x4时，yx的增大而减小；当8x12时，随的增大而增大，得到42a8，即可求得a（1）a3y3x24ax43x243x43x26x43x121（2）y3x24ax4x4a2a2 ∵当1x4时，yx2a4，解得a6∵当8x12时，随2a8，解得a12a的取值范围是6a考点02二次函数 的图象和性1（2026· 2ab3a 对任意实数tat2bt4a2bA(1my1B(1my2y1【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a0P的坐标为(23b4a，即4ab0，故Ax2，即b2ya(x2)23x0y4a3，即抛物线与轴的交点坐标为(04a3y104a31，解得3a1，故By4a2bc对任意实数tat2btc4a2bcat2bt4a2bC∴1m2m1，1m2m1当m0y1y2，故D2（2026·

A3a，B5b．若a

，且ab

，则n AB两点横坐标代入抛物线解析式，得到abn的表达式，再结合ab和ab0的n的取值范围，即可判断符合条件的选项．yx22nxA3aB5bx3代入解析式得a322n396n，x5代入解析式得b522n52510nab，且ab0∴a0b∴2510n96n解得1.5n观察选项，只有n23（2026· （a0）的部分图象如图所示，则下列结论中正

B．b4ax5x1yacxb20b4a,b0abc<0，选项A抛物线关于对称轴x2对称，b4aa4ac0，即5ac0Cx5x1y0，选项D，得abc04（2026·

abmambx的方程ax2bxcn1为 B．2 C．3 D．4A坐标可得b2ac

，利用c的范围求a

xb1∴b2aA10∴abc

，即a2ac0∴c3a∵3c2∴33a2∴2a1x∴当x1时 有最小值abc∴对于任意实数m，都有am2bmcabc∴am2bma

，即abmamb

的最小值为nyn

yax2bx

∴关于的方程∴关于的方程ax2bxcn1没有实数根，5（2026· x2acD．b24acyx22x3∵a1∴函数图象的开口向下，则选项Ayx22x3yx124x1B正确；a1b2c3，2ac2131Cb24ac22413160，则选项Dc解得b2acabc得：abc06（2026· PAGEPAGE10 A．cC．b24ac

B．4a2bcDx【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则c0，故选项A不符合题意；x2时，yax2bxc0，即4a2bc0，故选项B符合题意；b24ac0Cx153，故选项D7（2026·江苏苏州·中考真题）yx22mxm21的图像为抛物线Cy与抛物线C交于A，B两点过抛物线C的顶点作轴的平行线l过A，B分别作l的垂线垂足为M，N四边形ABNM为正方形，则a yx22mxm21xm2ABNMC的顶点作轴的平行线lA，B分别作lM，NABNBa1ABa ,,a代入yxm1，则m m1aa26a50解得a15a21（舍∴a5aaa∴Bm ,a8（2026·m0，则y1 y2（填“”“”或“【答案】【答案】yx24x4x2)2a10x2x2时，随的增大而增大，m0m1m02y1y29（2026·北京·中考真题）xOy中，抛物线Cyax2bxca0经过点01a a x1M是抛物线C1上的点，Mt，抛物线C2M，且可以由抛物线C1平移得到（M是C1C2即为C1t为何值，抛物线C2Oa【答案】【答案】(1)b2c1(2)a1且a（1）利用抛物线过01a直接得cxb1，化简求出b a

（2）先写出顶点为Mty1的平移后抛物线C2，代入原点00得到关于t则判别式0，解不等式得到a（1）解：抛物线C:yax2bxca0经过点01a a c1a抛物线Cx1 b1 b2（2）解：设点Mty1M是抛物线C1

at22t1a由题意，抛物线

:yaxt2at22t1a设抛物线CyN0,yy2at22t1a t为何值，抛物线C2ty20t的方程2at22t1a0a00，即48a1a0481a8a40a1a1且a010（2026· 的自变量与函数的几组对应值如下表 a0b24ac0x1时，有最小值为4x0时，的值随22y0，求出其与轴的两个交点坐AB．（2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故a0，①正确；抛物线与轴有两个交点，故b24ac0，②正确；x1时，有最小值为4x1将点03a43，解得a1yx126yx1246yx1210，令y0，则x12100x1101x210yx1210与轴的交点为1010101∴AB101101210考点03二次函数的最值1（2026·B之间运动，不与A，B重合过E作CE的垂线交AD边于点F，则AEAF的最大值是（ A．

B． C．

AExBEABAE3x，然后证明AEFBCEAEAFxx3x1x25x AExBEABAE3 ∵10，0x3∴当x 5时，AEAF取得最大值，212 x5AEAF1x25xAEAF 1255525 2 x xx3∴AEAFxx3∴AF3 ∴AF∴AB∵CE∴AEFBCE90∴AEF∽2（2026·亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0x28．设C28496y1B是这条抛物线的顶点．(1)y1与的函数关系式； (2)y与yx226x140 1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到mn判断n小于m，请直接写出m与n的差．【答案】(1)

3x182646（0x【分析（1）B(18646)yyax182646 （2）x13y2y2309x13y1y1y2y1y2myy1y2y的最大值，即可得到n的值，计算mn即可．（1）B(18646)y1与关系的抛物线的顶点，y1ax182646A0,160y1与关系的抛物线上，a(018)2646160，解得a3yy3x1826460x28 （2）解：①yx226x140x132309a10，开口向下，又0x28，x13y2y2309x13

313182646608.5，309309m646309955yyy x18646x13 5x280xx16n940mn9559405x162940x13，y x 考点04实际问题与二次函数1（2026·ycm与水平距离xcm的关系可以表示为y0.1x26x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ B．30 C．90 D．360y0.1x26x0.1x260x0.1x30290x30时，y∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm2（2026·y1x24xx0P20,50，则这次射出的水流（填“能”或“能x20y1x24xx050x20y1x24xy120242040∵40503（2026·单件水果进价y2（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为6,3并且经过3,12，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 yx12x，设单件水果利润为：wy ∵a1∴ 时，单件利润w的最大值为7元39∴wyy2x21x12x39x10x18x5 7 x 3x12x 3ax 4（2026·查找图纸：立柱ED5mFGDG8m．点F是过点EN为49．实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的影子落在操场上的H点处，测得影长HB7.5mAB，CDEF，GH，MN在同一竖直平面内；点MN，A，B在同一竖直方向上，点H，B，C小组以点DAD所在直线为轴，DE所在直线为轴建立的平面直角任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点EFN任务二：请你求出矩形另一边MN（sin490.75cos490.66tan49EFNy1x827E0,564a75，解得a1EFNyax827a0 8（2）ANA100N1055，再解Rt△HMB【答案】(1)y1x82∵AG2m，DG∵ADAGDG2810mx10y1x827y11082755∴N10,55 8∴BMHBtanH7.51.15∴MNBMNAAB8.6255510.75m答：矩形另一边MN的长度为5（2026·【答案】(1)每月产量的增长率为20%(2)应降价9元，最大利润为2205元【答案】(1)每月产量的增长率为20%(2)应降价9元，最大利润为2205元（2）设降价元，每天总利润 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根（1）解：设每月产量的增长率为，根据题意列方程得:2000(1x)22880解得x1解得x10.220%,x22.2答:每月产量的增长率为（2）解：设降价元，每天总利润 元根据题意，每件盈利为30x元，每天销售量为605x∴y30x605x5x290x