线段的垂直平分线的性质和判定习题

线段的垂直平分线的性质和判定习题在平面几何的学习中，线段的垂直平分线是一个基础而重要的概念。其性质与判定定理不仅是解决几何问题的有力工具，也为后续学习轴对称、圆等内容奠定了坚实基础。本文将通过对性质与判定定理的梳理，并结合典型习题进行解析，帮助读者深化理解，提升应用能力。一、线段的垂直平分线的性质与判定回顾在深入习题之前，我们有必要先回顾一下线段垂直平分线的核心内容，这是解决一切相关问题的出发点。（一）性质定理定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。简述：若点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB。这个定理揭示了垂直平分线上的点所具有的共性，即到线段两端的距离相等。它常用于证明两条线段相等，或在已知垂直平分线的情况下，进行线段长度的转化。（二）判定定理定理内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。简述：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。此定理则是从点到线段两端距离相等这一条件出发，判断该点的位置特性。它常用于确定垂直平分线的位置，或证明某条线是线段的垂直平分线（若一条直线上有两个点到线段两端距离相等，则此直线为该线段的垂直平分线）。性质定理与判定定理互为逆定理，它们从不同角度刻画了线段垂直平分线的本质，二者相辅相成，缺一不可。二、习题解析（一）直接应用性质定理例题1：如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN上，若AB=8，AC=5，求BC的长度及点C到AB的距离（若需要，可设垂足为D）。分析：题目明确指出MN是AB的垂直平分线，点C在MN上。根据性质定理，点C到A、B两端点的距离相等，即BC=AC。这是解决第一问的关键。至于点C到AB的距离，即垂线段CD的长度，在直角三角形ACD中，已知AC和AD（AB的一半），可利用勾股定理求出。解答：因为MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN上，所以根据线段垂直平分线的性质定理可得：BC=AC。又因为AC=5，所以BC=5。设MN与AB交于点D，则AD=AB/2=8/2=4，且CD⊥AB（垂直平分线定义）。在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，根据勾股定理：CD²+AD²=AC²即CD²+4²=5²CD²=25-16=9所以CD=3（CD为距离，取正值）。故点C到AB的距离为3。（二）直接应用判定定理例题2：已知在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：直线AD是线段BC的垂直平分线。分析：要证明AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的定义，需要证明两点：一是AD垂直于BC，二是AD平分BC。题目已知D是BC的中点，所以AD平分BC这一点已经满足。只需证明AD⊥BC。或者，我们也可以利用判定定理：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。由于AB=AC，可知点A在BC的垂直平分线上；又因为BD=DC，可知点D在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，故AD是BC的垂直平分线。这种方法似乎更简洁，也更能体现判定定理的应用。解答：证法一：因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。又因为D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质（此性质本质上也与垂直平分线相关），可得AD⊥BC，且AD平分BC（已知）。所以AD是线段BC的垂直平分线。证法二（应用判定定理）：因为AB=AC，所以点A到线段BC两个端点B、C的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理，点A在线段BC的垂直平分线上。因为D是BC的中点，所以BD=DC，即点D到线段BC两个端点B、C的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理，点D也在线段BC的垂直平分线上。由于两点确定一条直线，所以直线AD就是线段BC的垂直平分线。（三）性质与判定的综合应用例题3：如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。求证：AB=AD，CB=CD。分析：题目给出AC垂直平分BD，这意味着AC是BD的垂直平分线。根据垂直平分线的性质定理，BD垂直平分线上的任意一点到B、D两点的距离相等。点A和点C都是AC上的点，因此它们到B、D的距离分别相等。解答：因为AC垂直平分BD于点O，所以AC是线段BD的垂直平分线。点A在直线AC上，根据线段垂直平分线的性质定理，可得AB=AD。同理，点C也在直线AC上，根据线段垂直平分线的性质定理，可得CB=CD。（四）利用性质解决角度问题例题4：在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E。已知AC=8，BC=5，求△DBC的周长。分析：求△DBC的周长，即DB+BC+CD。已知BC=5，所以关键在于求出DB+CD。因为DE是AB的垂直平分线，根据性质定理，DA=DB。因此，DB+CD=DA+CD=AC。这样，△DBC的周长就转化为AC+BC，问题迎刃而解。解答：因为DE是AB的垂直平分线，交AC于点D，所以根据线段垂直平分线的性质定理，DA=DB。△DBC的周长=DB+BC+CD。又因为DB=DA，所以△DBC的周长=DA+CD+BC=AC+BC。已知AC=8，BC=5，所以△DBC的周长=8+5=13。（五）判定定理的实际应用例题5：已知点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使PA=PB。（要求：保留作图痕迹，不写作法）分析：这个问题实际上是要在直线l上找到一个点P，使其到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理，到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上。因此，直线l与线段AB的垂直平分线的交点，就是所求的点P。这体现了判定定理在作图中的指导作用。解答：（此处为文字描述作图步骤，实际操作需尺规作图）1.连接线段AB。2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB一半的长度为半径画弧，两弧分别相交于两点。3.过这两个交点作直线，此直线即为线段AB的垂直平分线。4.该垂直平分线与直线l的交点P，即为所求作的点。二、解题小结与注意事项通过以上习题的练习，我们可以总结出以下几点：1.明确条件，准确选用定理：看到“垂直平分线”，应立刻联想到性质定理，即其上的点到两端距离相等；要证明某点在垂直平分线上或某线是垂直平分线，则考虑判定定理，即到两端距离相等的点在垂直平分线上。2.关注“转化”思想：在求周长（如例题4）等问题时，常利用性质将线段进行等量代换，从而简化计算。3.结合图形，辅助理解：几何问题离不开图形，画图时要力求准确，标注已知条件和待求量，有助于直观分析。4.注意“垂直平分线”是直线：它具有无限延伸性，在应用性质时，只要点在这条直线上即可，不局限于线段本身。线段的垂直平分线的性质与判定定理看似简单，但灵活运用需要多思考、多练习。在解决问题时，要善于从复杂图形中识别出垂直平分线的基本模型，或将问题转化到我们熟悉的模型上来。希望通过本文的解析，能帮助读者更好地掌握这部分知识，并能运用它们解决更多几何问题。三、总结线段的垂直平分线的性质和判定是平面几何中处理距离相等问题的重要依据。性质定理“垂直平分线上点到两端点距离相等”为我们提供了“已知垂直平分线，则有等线段”的思路；而判定定理“到