全等三角形的性质和判定练习题

全等三角形的性质和判定练习题在平面几何的学习中，全等三角形是一个核心概念，它不仅是后续学习更复杂几何知识的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。掌握全等三角形的性质与判定方法，需要通过适量的练习来巩固和深化理解。本文将提供一系列练习题，并辅以必要的思路点拨，希望能帮助读者更好地掌握这部分知识。一、知识回顾：全等三角形的性质与判定在开始练习之前，我们先来简要回顾一下全等三角形的基本性质和判定定理，这是解决所有相关问题的基础。全等三角形的性质：1.对应边相等：若两个三角形全等，则它们的三组对应边分别相等。2.对应角相等：若两个三角形全等，则它们的三组对应角分别相等。3.对应线段相等：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线也分别相等。4.面积相等：全等三角形的面积相等。全等三角形的判定定理：1.SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。2.SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。3.ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。4.AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。5.HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（这是SSS或SAS在直角三角形中的特殊应用与简化）重要提示：在运用判定定理时，务必注意“对应”二字。边和角必须是严格对应的，否则可能导致错误的结论。例如，“SSA”（两边及其中一边的对角对应相等）不能作为判定两个三角形全等的通用方法。二、练习题（一）基础巩固1.填空题(1)已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，则∠F=______度。BC的对应边是______，AC的对应边是______。(2)如图1（请自行绘制：△ABC与△ADC有公共边AC，AB=AD，BC=DC），根据______定理可判定△ABC≌△ADC。(3)已知△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，要使△ABC≌△A'B'C'，还需添加一个条件：______（只需写出一个即可）。2.选择题(1)下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）A.三条边对应相等B.两边和一角对应相等C.两角和其中一角的对边对应相等D.两角和它们的夹边对应相等(2)如图2（请自行绘制：点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF），则△ABC≌△DEF的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS(3)在△ABC和△DEF中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F3.解答题已知：如图3（请自行绘制：点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE）。求证：△ABE≌△ACD。（二）能力提升4.如图4（请自行绘制：AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD）。求证：AB∥CD。（提示：欲证AB∥CD，可考虑证明内错角相等，即∠OAB=∠OCD或∠OBA=∠ODC。）5.已知：如图5（请自行绘制：在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线）。求证：AD平分∠BAC。（提示：利用SSS证明△ABD与△ACD全等。）6.如图6（请自行绘制：点B、F、C、E在同一直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD）。求证：AB=DE，AC=DF。（提示：先证∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，再结合BC=EF证明△ABC≌△DEF。）7.已知：如图7（请自行绘制：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F）。求证：AE=BF。（提示：连接CD，考虑直角三角形斜边中线的性质，或证明△ADE与△DBF全等。）8.如图8（请自行绘制：△ABC中，∠B=∠C，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE）。求证：DE∥BC。（提示：可尝试证明△ADE是等腰三角形，或连接CD、BE构造全等，但更简便的方法是直接利用已知条件证明△ADE中∠ADE=∠AED。）三、解题思路提示与部分参考答案（一）基础巩固1.(1)∠F=50°（三角形内角和180°，∠C=50°，对应角相等）。BC对应EF，AC对应DF。(2)SSS定理（公共边AC是第三边）。(3)AC=A'C'（SAS）或∠B=∠B'（ASA）或∠C=∠C'（AAS）。2.(1)B（SSA不能判定）(2)B（AB=DE，∠B=∠E（内错角），BC=EF（BE+EC=CF+EC），故SAS）(3)A（∠C=∠D，∠B=∠E，故需对应边AB=ED（AAS））3.证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（SAS）（二）能力提升4.证明：在△AOB和△COD中，OA=OC（已知）∠AOB=∠COD（对顶角相等）OB=OD（已知）∴△AOB≌△COD（SAS）∴∠OAB=∠OCD（全等三角形对应角相等）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）5.证明：∵AD是底边BC上的中线∴BD=CD在△ABD和△ACD中，AB=AC（已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）∴AD平分∠BAC。6.（思路）FB=CE⇒FB+FC=CE+FC⇒BC=EF；AB∥ED⇒∠B=∠E；AC∥FD⇒∠ACB=∠DFE。由ASA证△ABC≌△DEF，得AB=DE，AC=DF。7.（思路一）连接CD。在Rt△ABC中，D为AB中点，故CD=AD=BD。∠A=∠ACD。DE⊥AC，∠AED=∠DEC=90°。可证△AED≌△CED（AAS或ASA），得AE=EC。同理BF=FC。又AC=BC时结论显然，但一般情况下，若AC≠BC，则考虑另一种思路。（思路二）证△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，得AE/AC=AD/AB=1/2，BF/BC=BD/AB=1/2。若题目未说AC=BC，则此思路只能得AE=AC/2，BF=BC/2，无法直接得AE=BF。故原题可能隐含AC=BC，或需修正图形理解。最稳妥的是利用∠A=∠BDF，AD=BD，∠AED=∠DFB=90°证△ADE≌△DBF（AAS）。8.（思路）∵AB=AC（等角对等边），BD=CE，∴AD=AE。∴∠ADE=∠AED。又∵∠A+∠ADE+∠AED=∠A+∠B+∠C=180°，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC（同位角相等）。四、练习建议与注意事项1.动手实践：几何学习离不开图形。对于每一道题，务必亲手画出图形，标清已知条件和待求/待证结论，这是理清思路的关键。2.规范书写：证明过程要做到条理清晰，论据充分，步骤完整。每一步推理都要有依据（定义、公理、定理等）。例如，“∵”（因为）和“∴”（所以）的使用要准确。3.一题多解：对于一些题目，尝试从不同角度思考，寻找多种解题方法，这有助于拓宽思路，加深对知识的理解和灵活运用能力。4.错题反思：对于做错的题目，要认真分析错